第二章 有理数及其运算题型总结培优讲义（数轴、绝对值压轴）2025-2026学年北师大版（2024）七年级数学上册

北师大版七年级上第二章 有理数及其运算题型总结培优讲义（数轴、绝对值压轴） 【题型一】数轴上到定点定距离点表示数（分论讨论） 【例1】（2024秋•莲湖区校级月考）已知数轴上点A表示的数字为2，点B到点A的距离为6个单位长度，C为A，B的中点，则点C表示的数为 　 　 ． 【例2】（2024秋•新城区校级期中）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣8和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点A1落在点C的右侧，且A1B＝4，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣7 D．1或﹣3 【变式1】（2025秋•碑林区校级月考）在数轴上点A表示的数为﹣2，点B在点A的右侧，且与点A相距3个单位长度，则点B表示的数为 　 　 ． 【变式2】（2024秋•榆林期末）一条数轴上有两点A与B，原点为O，已知OA＝3，点B在点A的右侧且AB＝5，若点C是OB的中点，则点C所表示的数可能是　 　 ． 【变式3】（2024秋•武安市期末）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【题型二】数轴上的动点问题（代数表示点法） 【例1】（2024秋•丰润区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【例2】（2024秋•南郑区期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　 　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝5，则点D表示的数为 　 　 ； （3）若将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为 　 　 ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：AC﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【变式1】（2024秋•雁塔区校级期中）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【变式2】（2025秋•雁塔区校级月考）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）． （1）当x＝　 　 秒时，点P到达点A． （2）运动过程中点P表示的数是　 　 （用含x的代数式表示）； （3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值． 【题型三】数轴上两点中的应用及距离计算 【例1】（2024秋•雁塔区校级月考）我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为x1、x2，那么AB之间的距离可以表示为：|AB＝|x1﹣x2|；若C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：． 如图，O点是数轴上的原点，M、N是数轴上的两个点，M点对应的数是为﹣4，N点对应的数是为6． （1）若M以每秒2个单位的速度向右运动，N以每秒4个单位的速度向左运动，求 　 秒后O为MN的中点． （2）若M、N两个点同时出发沿着数轴运动．点M向右运动，点N向左运动，3秒后它们之间的距离为1个单位长度，且N的速度是M的两倍，分别求M、N的速度； （3）我们规定，在数轴上，当A、B两点都位于原点的右侧且其中一个点到原点的距离是另一个到原点的距离1.5倍：或当A、B两点都位于原点左侧且两个点到原点的距离都相等时，这两种情况均称为AB两点是“相见恨晚距离”．若动点P从原点出发，以每秒1个单位的速度向左运动到点M后原速返回到点N后停止运动，同时，动点Q从点N出发，以每秒2个单位的速度向左在M、N之间作往返运动，且当点P停止运动时，动点Q也之停止运动，求所有满足条件的PQ两点是“相见恨晚距离”的时间？ 【变式1】（2024秋•米脂县校级期中）如图，点A对应的数为﹣1，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为AB．例如：AB＝3﹣（﹣1）＝4，BC＝5﹣3＝2．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： （1）填空：CA＝　 　 ； （2）当CP＝7时，求AP+BP的值． 【变式2】（2025•秦皇岛一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若2表示的点与﹣2表示的点重合，则﹣3表示的点与哪个数表示的点重合； （2）若﹣4表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为5（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【题型四】数轴为背景新定义 【例1】（2024秋•雁塔区校级月考）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【变式1】（2024秋•汉滨区校级期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是【A，B】的金点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示数2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是l，那么点C是【A，B】的金点，但点C不是【B，A】的金点． （1）如图1，点B　 　 【D，C】的金点（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点G是【A，C】的金点，则点G在数轴上表示的数是多少？ （3）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣8，点B所表示的数为20．现有一点P从点B出发，向左运动，若点P运动到A点停止，点P在数轴上某处时，此时点P、A和B中恰有一个点为其余两点的金点，则点P表示的数是多少？ 【变式2】（2024秋•秦都区校级月考）如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示﹣6的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图②． （1）第　 　 次按键后，点M所在的位置正好是原点； （2）第6次按键后，点M所在位置表示的数字与点N所在位置表示的数字的差是多少？ 【题型五】数轴与绝对结合求最值 【例1】（2025•莲湖区校级开学）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　 　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　 　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　 　 ，如果|AB|＝2，那么x是　 　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　 　 ． 【例2】（2023秋•南郑区校级月考）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【变式1】（2024秋•西安期末）【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式2】（2025秋•景县校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5﹣（﹣2）|＝　7　 ． （2）同理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 　 　 ． （3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+6|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要找出x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值． （3）根据绝对值的意义，即可解答． 【题型六】利用数轴化简绝对值 【例1】（2024秋•秦都区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　 0，a+b 　 　 0，c﹣a 　 　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【变式1】（2025秋•新城区校级月考）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图．计算a﹣b﹣c的值． 【变式2】（2023秋•雁塔区校级月考）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 　 　 ． 【课后练习】 1．（2025秋•西安校级月考）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1．若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2024次后，点B所对应的数是（　　） A．不对应任何数 B．2022 C．2023 D．2024 2．（2024秋•富县期中）数轴上与点A距离3个单位长度的点表示的数是1，则点A表示的数是 　 　 ． 3．（2025秋•灞桥区校级月考）如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示﹣6的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图②． （1）第　 　 次按键后，点M所在的位置正好是原点； （2）第6次按键后，点M所在位置表示的数字与点N所在位置表示的数字的差是多少？ 4．（2024秋•千阳县期末）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： 14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的位置； （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 5．（2024秋•莲湖区校级月考）操作与探索： （1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． （2）请你自己画出数轴并表示有理数：，3． （3）如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到﹣1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 6．（2024秋•咸阳校级期中）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为﹣4、﹣2、1． （1）请在图中标出点B、C的位置； （2）一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 7．（2024秋•东港区校级期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少cm？ （2）求在数轴上点B所对应的数b； （3）若Q是数轴上一点，且满足A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，求点Q在数䌷上所对应的数． 8．（2024秋•杨陵区期末）邮递员从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续骑行2km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到邮局． （1）如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，1km为1个单位长度的数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； （2）C村离A村有多远？ （3）邮递员一共行驶了多少千米？ 9．（2024秋•高陵区月考）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是﹣6，点G表示的数是6． （1）表示原点的是点 　 　 ，点C表示的数是 　 　 ； （2）在点D的右侧有两点P、Q，点P到点C的距离是3；点Q到点E的距离是6，则点P，Q之间的距离是多少？ 10．（2024秋•颍州区校级期中）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　 和 　 　 ，B，C两点间的距离是 　 　 ； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　 ；如果|AB|＝3，那么x为 　 　 ； （3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　 ． 11．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值是 　 　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 12．（2024秋•镇坪县校级月考）一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图： （1）站在点 　 　 上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点 　 　 和点 　 　 、　 　 和 　 　 上的机器人表示的数到原点距离相等； （2）怎样将点A3移动，使它先到达A2点，再到达A5点，请用文字语言说明． （3）若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上第二章 有理数及其运算题型总结培优讲义（数轴、绝对值压轴） 【题型一】数轴上到定点定距离点表示数（分论讨论） 【例1】（2024秋•莲湖区校级月考）已知数轴上点A表示的数字为2，点B到点A的距离为6个单位长度，C为A，B的中点，则点C表示的数为 　 　 ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】根据题意，先计算出点B表示的数字，注意有两种情况；再计算点C表示的数字即可． 【解答】解：根据题意得，AB＝6，则点B表示的数字为2±6，即为8或﹣4； 因为C为A，B的中点，则点C表示的数为或，即为5或﹣1． 故答案为：5或﹣1． 【例2】（2024秋•新城区校级期中）在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣8和6，点C为A、B之间一点（不与A、B重合），以点C为折点，将此数轴向右对折，若A的对应点A1落在点C的右侧，且A1B＝4，则C点表示的数是（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣7 D．1或﹣3 【考点】数轴．版权所有 【分析】设点C表示的数为x，根据点A表示的数为﹣8，点B表示的数为6，得到AC＝x+8，BC＝6﹣x，根据AB＝AC﹣BC，或AB＝BC﹣AC，且AB＝4，分类讨论即得． 【解答】解：设点C表示的数为x，由条件可知AC＝x+8，BC＝6﹣x， ∵A1B＝4， ∴AB＝AC﹣BC，即2x+2＝4，解得x＝1， 或AB＝BC﹣AC，即﹣2x﹣2＝4，x＝﹣3． 故选：D． 【变式1】（2025秋•碑林区校级月考）在数轴上点A表示的数为﹣2，点B在点A的右侧，且与点A相距3个单位长度，则点B表示的数为 　 　 ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】根据数轴上两点之间距离的意义进行解答． 【解答】解：∵A表示的数为﹣2， ∴在A的右侧与点A相距3个单位长度的点B所表示的数为﹣2+3＝1， 故答案为：1． 【变式2】（2024秋•榆林期末）一条数轴上有两点A与B，原点为O，已知OA＝3，点B在点A的右侧且AB＝5，若点C是OB的中点，则点C所表示的数可能是　 　 ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】先根据点A的与原点的距离确定点可能对应的数，再根据两个点之间的距离得点B，再结合中点即可出答案． 【解答】解：由题意可得： 点A对应的数可能是3或﹣3． ∵点B在点A的右侧且AB＝5， ∴点B所表示的数为3+5＝8或﹣3+5＝2． ∴点C所表示的数为4或1． 故答案为：4或1． 【变式3】（2024秋•武安市期末）在课后延时服务中，某数学小组在一张白纸上制作一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 　 　 的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示﹣1的点与表示3的点重合，解答以下问题： ①表示5的点与D在数轴上表示的点重合，求点D表示的数． ②若数轴上A，B两点之间的距离为9（点A在点B的左侧），且A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据表示1的点与表示﹣1的点重合，可得其中点为原点，则﹣2与2重合； （2）根据表示﹣1的点与表示3的点重合，可得其中点为表示1的点，再根据互相重合的两个点到中点的距离相等即可求解． 【解答】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合， ∴折痕经过原点， ∴表示﹣2的点与表示2的点重合． 故答案为：2； （2）∵表示﹣1的点与表示3的点重合， ∴1， ∴折痕经过表示1的点， ①1﹣（5﹣1）＝﹣3， ∴点D表示的数为﹣3； ②A：13.5， B：15.5． ∴A，B两点表示的数分别为﹣3.5，5.5． 【题型二】数轴上的动点问题（代数表示点法） 【例1】（2024秋•丰润区期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB﹣OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为﹣4； 点P运动t秒的长度为6t， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6﹣6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10+4t， 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【例2】（2024秋•南郑区期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a．请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　 　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝5，则点D表示的数为 　 　 ； （3）若将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为 　 　 ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：AC﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据题意容易画出图形； （2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （3）将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为﹣2+x； （4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论． 【解答】解：（1）A表示﹣2，B表示﹣5，C表示4． （2）CA＝4﹣（﹣2）＝6（cm）；点D表示的数为﹣7或3； 故答案为：6，﹣7或3； （3）将点A向右移动x cm，则移动后的点表示的数为﹣2+x； 故答案为：﹣2+x； （4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：平移后，CA＝（4+4t）﹣（﹣2+t）＝（6+3t）cm， AB＝（﹣2+t）﹣（﹣5﹣2t）＝（3+3t）cm， ∴CA﹣AB＝（6+3t）﹣（3+3t）＝3（cm）， ∴CA﹣AB的值恒为3，不会随着t的变化而变化． 【变式1】（2024秋•雁塔区校级期中）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒． （1）求a、b、c的值； （2）若点P到A点的距离是点P到B点的距离的2倍，求点P对应的数； （3）当点P运动到B点时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A．在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由． 【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．版权所有 【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0，解可得a、b、c的值； （2）分两种情况讨论可求点P的对应的数； （3）分类讨论：当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时；当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后；当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时；当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0 ∴a+24＝0，b+10＝0，c﹣10＝0 解得a＝﹣24，b＝﹣10，c＝10 （2）﹣10﹣（﹣24）＝14， ①点P在AB之间，AP＝14， ﹣24， 点P的对应的数是； ②点P在AB的延长线上，AP＝14×2＝28， ﹣24+28＝4， 点P的对应的数是4； （3）设在点Q开始运动后第a秒时，P、Q两点之间的距离为4， 当P点在Q点的右侧，且Q点还没追上P点时，3a+4＝14+a，解得a＝5； 当P在Q点左侧时，且Q点追上P点后，3a﹣4＝14+a，解得a＝9； 当Q点到达C点后，当P点在Q点左侧时，14+a+4+3a﹣34＝34，a＝12.5； 当Q点到达C点后，当P点在Q点右侧时，14+a﹣4+3a﹣34＝34，解得a＝14.5， 综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【变式2】（2025秋•雁塔区校级月考）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）． （1）当x＝　 　 秒时，点P到达点A． （2）运动过程中点P表示的数是　 　 （用含x的代数式表示）； （3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）直接得出AB的长，进而利用P点运动速度得出答案； （2）根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案； （3）利用当点P运动到点C左侧2个单位长度时，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，分别得出答案． 【解答】解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4， ∴AB＝10， ∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动时间为10÷2＝5（秒）， 故答案为：5； （2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4； 故答案为：2x﹣4； （3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1， 当点P运动到点C左侧2个单位长度时， 2x﹣4＝1﹣2 解得：x＝1.5， 当点P运动到点C右侧2个单位长度时， 2x﹣4＝1+2 解得：x＝3.5 综上所述，x＝1.5或3.5． 【题型三】数轴上两点中的应用及距离计算 【例1】（2024秋•雁塔区校级月考）我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为x1、x2，那么AB之间的距离可以表示为：|AB＝|x1﹣x2|；若C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：． 如图，O点是数轴上的原点，M、N是数轴上的两个点，M点对应的数是为﹣4，N点对应的数是为6． （1）若M以每秒2个单位的速度向右运动，N以每秒4个单位的速度向左运动，求 　1　 秒后O为MN的中点． （2）若M、N两个点同时出发沿着数轴运动．点M向右运动，点N向左运动，3秒后它们之间的距离为1个单位长度，且N的速度是M的两倍，分别求M、N的速度； （3）我们规定，在数轴上，当A、B两点都位于原点的右侧且其中一个点到原点的距离是另一个到原点的距离1.5倍：或当A、B两点都位于原点左侧且两个点到原点的距离都相等时，这两种情况均称为AB两点是“相见恨晚距离”．若动点P从原点出发，以每秒1个单位的速度向左运动到点M后原速返回到点N后停止运动，同时，动点Q从点N出发，以每秒2个单位的速度向左在M、N之间作往返运动，且当点P停止运动时，动点Q也之停止运动，求所有满足条件的PQ两点是“相见恨晚距离”的时间？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）设t秒后O为MN的中点，O点表示的数为0，此时M点表示的数为﹣4+2t，N点表示的数为6﹣4t，根据中点公式列方程求解即可； （2）设点M的速度为a，则点N的速度为2a，3秒后点M表示的数为﹣4+3a，点N表示的数为6﹣2a×3＝6﹣6a，根据数轴上两点间距离列方程求解即可； （3）根据点的运动速度和方向分别表示出各个时间段内点P和点Q在数轴上所代表的数，再根据新定义列方程求解． 【解答】解：（1）当t秒后O为MN的中点，O点表示的数为0， 此时M点表示的数为﹣4+2t，N点表示的数为6﹣4t， 则由题意可得，MN的中点O表示的数为， 解得：t＝1，即秒后O为MN的中点． 故答案为：1． （2）设点M的速度为a，则点N的速度为2a，3秒后点M表示的数为﹣4+3a，点N表示的数为6﹣2a×3＝6﹣6a， 且距离为1个单位长度， 则1， ∴9a﹣10＝1或9a﹣10＝﹣1， 解得：a或a＝1． 故点M的速度为每秒个单位，点N速度为每秒个单位或点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位． （3）设y秒后PQ两点是“相见恨晚距离”．由题可知，当点P停止运动时，运动的总时间为秒， 此时Q点停止运动，运动路程为14×2＝28，运动的路线为N→M→N→数轴上表示﹣2的数的位置停止， ①当0＜y≤4时，点P在原点左侧，点P表示的数为0﹣y×1＝﹣y， 则点Q也必须在原点左侧时才满足“相见恨晚距离”，此时点Q表示的数为6﹣2y，且6﹣2y＜0， 根据题意令6﹣2y＝﹣y，解得：y＝6，不合题设，舍去； ②当4＜y≤5时，此时点P在原点左侧，点P表示的数为﹣4+（y﹣4）×1＝y﹣8， 点Q也在原点左侧（在M点右侧），点Q表示的数为6﹣2y， 根据题意令6﹣2y＝y﹣8，解得：y，符合题设； ③当5＜y≤7时，此时点P在原点左侧，点P表示的数为y﹣8， 点Q也在原点左侧（MO之间），点Q表示的数为﹣4+（y﹣5）×2＝2y﹣14， 根据题意令2y﹣14＝y﹣8，解得：y＝6，符合题设； ④当7＜y≤8时，此时点P在原点左侧，点Q在原点右侧，此情况不满足“相见恨晚距离”； ⑤当8＜y≤10时，点P在原点右侧，点P表示的数为y﹣8， 点Q也在原点右侧，点Q表示的数为2+（y﹣8）×2＝2y﹣14， 根据题意令1.5×（2y﹣14）＝y﹣8，解得：y（不合题设，舍去），或者 令2y﹣14＝1.5×（y﹣8），解得：y＝4（不合题设，舍去）； ⑥当10＜y≤13时，点P在原点右侧，点P表示的数为y﹣8， 点Q也在原点右侧（从点N向左运动），点Q表示的数为6﹣2×（y﹣10）＝26﹣2y， 根据题意令y﹣8＝1.5×（26﹣2y），解得：y，符合题设， 或令1.5×（y﹣8）＝26﹣2y，解得：y，符合题 设． ⑦当13＜y≤14时，点P在原点右侧，点Q在原点左侧，不满足“相见恨晚距离”． 综上所述，所有满足条件的PQ两点是“相见恨晚距离”的时间为s或6s或s或s． 【变式1】（2024秋•米脂县校级期中）如图，点A对应的数为﹣1，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为AB．例如：AB＝3﹣（﹣1）＝4，BC＝5﹣3＝2．已知点P为数轴上的动点，其对应的数为x，请解答下列问题： （1）填空：CA＝　 　 ； （2）当CP＝7时，求AP+BP的值． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据题中的方法求解； （2）先根据题中的方法求出x，再求解． 【解答】解：（1）由图形可知，点A对应的数为﹣1，点C对应的数为5， ∴CA＝5﹣（﹣1）＝6， 故答案为：6； （2）∵CP＝7， ∴CP＝|5﹣x|＝7， 解得：x＝﹣2或x＝12， 当x＝﹣2时，AP+BP＝[（﹣1）﹣（﹣2）]+[3﹣（﹣2）]＝6， 当x＝12时，AP+BP＝[12﹣（﹣1）]+（12﹣3）＝22． 综上，当CP＝7时，AP+BP的值为6或22． 【变式2】（2025•秦皇岛一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若2表示的点与﹣2表示的点重合，则﹣3表示的点与哪个数表示的点重合； （2）若﹣4表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为5（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出AB的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵2表示的点与﹣2表示的点重合， ∴对称中心为0， ∴﹣3表示的点与数3表示的点重合； （2）∵﹣4表示的点与2表示的点重合， ∴对称中心为， ①∵设1表示的点与x表示的点重合， 则， 解得：x＝﹣3， ∴1表示的点与数﹣3表示的点重合； ②∵A，B两点之间的距离为5， ∴AB的一半为， ∵A在B的左侧， ∴点A表示， 点B表示． 答：A、B两点表示的数分别是、． 【题型四】数轴为背景新定义 【例1】（2024秋•雁塔区校级月考）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【解答】解：（1）根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，只有点G符合条件， 故答案为：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16． 故答案为：﹣4或﹣16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【变式1】（2024秋•汉滨区校级期中）阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离3倍，我们就称点C是【A，B】的金点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示数2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是l，那么点C是【A，B】的金点，但点C不是【B，A】的金点． （1）如图1，点B　 　 【D，C】的金点（填“是”或“不是”）． （2）如图1，若点G是【A，C】的金点，则点G在数轴上表示的数是多少？ （3）如图2，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣8，点B所表示的数为20．现有一点P从点B出发，向左运动，若点P运动到A点停止，点P在数轴上某处时，此时点P、A和B中恰有一个点为其余两点的金点，则点P表示的数是多少？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据新定义进行解答； （2）分两种情况进行讨论：当点G在A，C之间时；当点G在点C右侧时．根据新定义列出方程解答； （3）分四种情况进行讨论：当点P是【A，B】的金点时；当点P是【B，A】的金点时；当点A是【B，P】的金点时；当点B是【A，P】的金点时，分别列方程解答． 【解答】解：（1）点B到点D的距离是3，点B到点C的距离是1，符合金点的定义， 故点B是【D，C】的金点； 故答案为：是； （2）点G是【A，C】的金点，则点G在数轴上表示的数是x， 分两种情况进行讨论： 当点G在A，C之间时，方程为：x+1＝3（2﹣x）， 解得：x， 当点G在点C右侧时，方程为：x+1＝3（x﹣2）， 解得：x； （3）点P在数轴上表示的数是a， 分四种情况进行讨论： 当点P是【A，B】的金点时：方程为：a+8＝3（20﹣a）， 解得：a＝13， 当点P是【B，A】的金点时：方程为：3（a+8）＝20﹣a， 解得：a＝﹣1， 当点A是【B，P】的金点时：方程为：20﹣（﹣8）＝3（a+8）， 解得：a， 当点B是【A，P】的金点时：方程为：20﹣（﹣8）＝3（20﹣a）， 解得：a． 【变式2】（2024秋•秦都区校级月考）如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示﹣6的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图②． （1）第　 　 次按键后，点M所在的位置正好是原点； （2）第6次按键后，点M所在位置表示的数字与点N所在位置表示的数字的差是多少？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是﹣6+2a，因为点M正好到达原点，所以﹣6+2a＝0，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为﹣6+6×2＝6，点N表示的数为﹣6﹣6＝﹣12，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少． 【解答】解：（1）∵[0﹣（﹣6）]÷2＝6÷2＝3， ∴第3次按键后，点M正好到达原点； 故答案为：3； （2）第6次按键后．点M表示的数为﹣6+6×2＝6，点N表示的数为﹣6﹣6＝﹣12． 6﹣（﹣12）＝18， ∴第6次按键后，点M所在位置表示的数字与点N所在位置表示的数字的差是18． 【题型五】数轴与绝对结合求最值 【例1】（2025•莲湖区校级开学）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是　 　 ，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　 　 ． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　 　 ，如果|AB|＝2，那么x是　 　 ． （3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　 　 ． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离． （3）根据|x﹣a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和，当x在﹣1和3之间的2时有最小值． 【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|＝3，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是|﹣20﹣（﹣5）|＝15．数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是|15﹣（﹣30）|＝45． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，如果|AB|＝2，那么x为1或﹣3． （3）|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|表示：数轴上一点到﹣1，2和3距离的和， 当x在﹣1和3之间的2时有最小值是4． 故答案为：3，15，45；|x+1|，1或﹣3；4． 【例2】（2023秋•南郑区校级月考）大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是　 　 ； （2）点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1． ①用代数式表示A、B两点之间的距离； ②如果|AB|＝2，求x的值． （3）直接写出代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值及相应的x的取值范围． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|（﹣2）﹣（﹣5）|＝3． （2）①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和﹣1，可得表示A、B两点之间的距离是|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，据此求出x的值是多少即可． （3）根据题意，可得代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和，所以当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是表示4的点与表示﹣1的点之间的距离，即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5． 【解答】解：根据分析，可得 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3； 数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是： |（﹣2）﹣（﹣5）|＝|﹣2+5|＝|3|＝3． （2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|． ②如果|AB|＝2， 则|x+1|＝2， x+1＝2或x+1＝﹣2， 解得x＝1或x＝﹣3． （3）∵代数式|x+1|+|x﹣4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣1所对应的两点距离之和， ∴当﹣1≤x≤4时，代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是：|4﹣（﹣1）|＝5， 即代数式|x+1|+|x﹣4|的最小值是5，x的取值范围是﹣1≤x≤4． 故答案为：5，﹣1≤x≤4． 【变式1】（2024秋•西安期末）【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数x，|x﹣2|+|x+3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，根据|x﹣2|＝5即可求得x的值； （2）计算|x﹣2|+|x+1|＝3，求得x的取值范围即可解题； （3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离，即可解题． 【解答】解：|x﹣2|可以理解为x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 到2的距离为5的数字有7和﹣3， 故答案为7或﹣3； （2）|x﹣2|+|x+1|＝3， 当x＜﹣1时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x﹣1﹣x＝1﹣2x＝3，x＝﹣1（不符合题意舍去）； 当1﹣≤x≤2时，|x﹣2|+|x+1|＝2﹣x+x+1＝3， 当x＞2时，|x﹣2|+|x+1|＝x﹣2+x+1＝2x﹣1＝3，x＝2（不符合题意舍去）； 综上所述，当﹣1≤x≤2时，x所表示的点到2和﹣1所对应的点的距离之和为3； 所以满足条件的整数为﹣1，0，1，2； （3）|x﹣2|+|x+3|可以理解为数轴上一个点到2和﹣3的距离， 求证方法和（2）相同，故有最小值为5． 【变式2】（2025秋•景县校级月考）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|5﹣（﹣2）|＝　 　 ． （2）同理|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣5和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 　 　 ． （3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+6|+|x﹣3|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了． （2）要找出x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值． （3）根据绝对值的意义，即可解答． 【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7． 故答案为：7； （2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2， 当x＜﹣5时， ∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7， ﹣x﹣5﹣x+2＝7， x＝﹣5（范围内不成立）， 当﹣5＜x＜2时， ∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7， x+5﹣x+2＝7， 7＝7， ∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1， 当x＞2时， ∴（x+5）+（x﹣2）＝7， x+5+x﹣2＝7， 2x＝4， x＝2， x＝2（范围内不成立）． 显然当x＝﹣5及x＝2时符合题意， ∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2； （3）有最小值． 当有理数x所对应的点在﹣6，3之间的线段上的点时， 最小值为9． 【题型六】利用数轴化简绝对值 【例1】（2024秋•秦都区校级期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c 　 　 0，a+b 　 　 0，c﹣a 　 　 0． （2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可； （2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0； 故答案为：＜，＜，＞； （2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a| ＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 【变式1】（2025秋•新城区校级月考）已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图．计算a﹣b﹣c的值． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】根据数轴上a、b、c和原点的位置，判断出三个数的取值，然后再代值求解． 【解答】解：b＜0，0＜a＜c， ∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝3； ∴原式＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0． 【变式2】（2023秋•雁塔区校级月考）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是 　 　 ． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】依题意a≤b≤c≤d 原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解． 【解答】解：依题意a≤b≤c≤d， 则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大， 则d＝9，a＝1 四位数要取最小值且可以重复， 故答案为1119． 【课后练习】 1．（2025秋•西安校级月考）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1．若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转一次后点B所对应的数为1，则连续翻转2024次后，点B所对应的数是（　　） A．不对应任何数 B．2022 C．2023 D．2024 【考点】数轴．版权所有 【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，2023除以3余数为1，根据余数可知点B在数轴上，然后进行计算即可得解． 【解答】解：如图， 由题意可得， 每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵2024÷3＝674……2， ∴翻转2024次后点B在数轴上， ∴点B对应的数是674×3+1＝2023． 故选：C． 2．（2024秋•富县期中）数轴上与点A距离3个单位长度的点表示的数是1，则点A表示的数是 　 　 ． 【考点】数轴．版权所有 【分析】分该点A在1的左边和右边两种的情况讨论即可求解． 【解答】解：①若该点A在1的左边距离3个单位长度， 则点A表示的数为：1﹣3＝﹣2； ②若该点A在1的右边距离3个单位长度， 则点A表示的数为：1+3＝4； 故答案为：﹣2或4． 3．（2025秋•灞桥区校级月考）如图①，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示﹣6的点A．小明同学设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右平移2个单位长度，点N向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图②． （1）第　 　 次按键后，点M所在的位置正好是原点； （2）第6次按键后，点M所在位置表示的数字与点N所在位置表示的数字的差是多少？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）设进行a次按键，由题意得，M点表示的数是﹣6+2a，因为点M正好到达原点，所以﹣6+2a＝0，解得a的值，即得第几次按键后，点M正好到达原点； （2）第6次按键后，点M表示的数为﹣6+6×2＝6，点N表示的数为﹣6﹣6＝﹣12，可得点M到达的点表示的数字比点N到达的点表示的数字大多少． 【解答】解：（1）由题意可得： 又∵[0﹣（﹣6）]÷2＝6÷2＝3， ∴第3次按键后，点M正好到达原点； 故答案为：3； （2）第6次按键后．点M表示的数为﹣6+6×2＝6，点N表示的数为﹣6﹣6＝﹣12． 6﹣（﹣12）＝18， ∴第6次按键后，点M所在位置表示的数字与点N所在位置表示的数字的差是18． 4．（2024秋•莲湖区校级月考）操作与探索： （1）如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． （2）请你自己画出数轴并表示有理数：，3． （3）如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于﹣3并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到﹣1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 【考点】数轴；有理数．版权所有 【分析】（1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的点A、B、C、D表示的数； （2）根据数轴上数的特点，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，准确的画出数值，3在数轴上的位置； （3）①根据数轴的知识，从数轴上找到大于﹣3并且小于3的整数； ②到表示﹣1的点的距离等于2个单位长度的点可能在﹣1的左边也可能在﹣1的右边，从而找到这些点表示的数． 【解答】解：（1）A、B、C、D表示的数分别是﹣3，﹣1.5，0，2； （2） （3）①由数轴得，大于﹣3并且小于3的整数有5个：﹣2，﹣1，0，1，2； ②在数轴上到表示﹣1的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是﹣1﹣2＝﹣3；﹣1+2＝1． 5．（2024秋•咸阳校级期中）如图，数轴上从左到右依次有点A、B、C、D，其中点C为原点，点A、B、D所对应的数分别为﹣4、﹣2、1． （1）请在图中标出点B、C的位置； （2）一个点从点A出发，向左移动5个单位长度到达点E，求点E对应的数． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据点B表示的数是﹣2，点C表示的数是0在数轴上标出即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【解答】解：（1）如图， （2）点E对应的数﹣4﹣5＝﹣9． 6．（2024秋•东港区校级期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣7，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度2.1cm，点C对齐刻度6.3cm． （1）求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少cm？ （2）求在数轴上点B所对应的数b； （3）若Q是数轴上一点，且满足A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，求点Q在数䌷上所对应的数． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）先求出数轴上点A和点B的距离，再根据刻度尺上点A和点B的距离即可求出答案； （2）用刻度尺上点A和点B的距离除以数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度即可求出数轴上点A和点B的距离，由此可得点B表示的数； （3）设数轴上点Q表示的数为x，则点A和点Q的距离为|x+7|，再由A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍，可得|x+7|＝2×3＝6，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵在数轴上点A和点C分别表示的数为﹣7，2， ∴数轴上点A和点C的距离为2﹣（﹣7）＝9， ∵在刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.3cm， ∴刻度尺上，点A和点C的距离为6.3cm， ∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是； （2）∵刻度尺上，点A和点B的距离为2.1cm， ∴在数轴上，点A和点B的距离为2.1÷0.7＝3， ∴点B表示的数为﹣7+3＝﹣4， ∴b＝﹣4； （3）设数轴上点Q表示的数为x， ∵点A和点B表示的数为﹣7， ∴点A和点Q的距离为|x﹣（﹣7）|＝|x+7|， ∵A、Q两点间的距离是A、B两点间的距离的2倍， ∴|x+7|＝2×3＝6， ∴x+7＝±6， ∴x＝﹣1或x＝﹣13， ∴点Q表示的数为﹣1或﹣13． 7．（2023秋•雁塔区校级月考）出租车司机小李某天上午营运时是在太原迎泽公园门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送八位乘客的行车里程（单位：km）如下：﹣3，+6，﹣2，+1，﹣5，﹣2，+9，﹣6． （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车消耗天然气量为0.2m3/km，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ （3）若出租车起步价为5元，起步里程为3km（包括3km，超过部分每千米1.2元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【考点】数轴；正数和负数．版权所有 【分析】（1）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （2）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （3）八名顾客均有起步价，再求出超出3千米的加价 即可求出总车费． 【解答】解：（1）﹣3+6﹣2+1﹣5﹣2+9﹣6＝﹣2（km）， 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在迎泽公园门口西边2km处． （2）（|﹣3|+|6|+|﹣2|+|1|+|﹣5|+|﹣2|+|9|+|﹣6|）×0.2＝6.8（m3）， 答：这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气6.8立方米． （3）[（6+5+9+6）﹣3×4]×1.2+8×5＝56.8（元）， 答：小李这天上午共得车费56.8元． 8．（2024秋•杨陵区期末）邮递员从邮局出发，先向西骑行3km到达A村，继续骑行2km到达B村，然后向东骑行9km到达C村，最后回到邮局． （1）如图，请在以邮局为原点，向东为正方向，1km为1个单位长度的数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； （2）C村离A村有多远？ （3）邮递员一共行驶了多少千米？ 【考点】数轴；正数和负数．版权所有 【分析】（1）根据已知条件在数轴上表示出来即可； （2）根据题意列出算式，即可得出答案； （3）根据题意列出算式，即可得出答案． 【解答】解：（1）； （2）C村离A村的距离为9﹣（﹣3+5）＝7（km）； （3）邮递员一共行驶了3+2+9+4＝18（千米）． 9．（2024秋•高陵区月考）如图，数轴上标出的所有点中，任意相邻两点间的距离都相等，已知点A表示的数是﹣6，点G表示的数是6． （1）表示原点的是点 　 　 ，点C表示的数是 　 　 ； （2）在点D的右侧有两点P、Q，点P到点C的距离是3；点Q到点E的距离是6，则点P，Q之间的距离是多少？ 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据数轴特点即可求解； （2）根据数轴特点求出点P、Q各表示上午数，然后用数轴见得距离即可求解． 【解答】解：（1）由数轴图可知AG的中点为D点， ∴原点是点D， [6﹣（﹣6）]÷6 ＝12÷6 ＝2， ∴每一格表示2个单位长度， ∴点C表示的数是﹣2， 故答案为：D，﹣2； （2）由题意，得点E表示的数为2， ∵点P、Q在点D的右侧，点P到点C的距离是3；点Q到点E的距离是6， ∴点P表示的数是3+（﹣2）＝1，点Q表示的数是2+6＝8， ∴点P，点Q之间的距离是8﹣1＝7． 10．（2024秋•颍州区校级期中）先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　 和 　 　 ，B，C两点间的距离是 　 　 ； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　 ；如果|AB|＝3，那么x为 　 　 ； （3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　 时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　 ． 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； （4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围． 【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2； （3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2， 故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2． 11．（2023秋•宁强县期末）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则1+1+1＝3； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则的值是 　 　 ； （2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求的值； （3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求的值． 【考点】绝对值．版权所有 【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可； （2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【解答】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0， 当a＞0，b＜0时，； 当 a＜0，b＞0时，． 故答案为：0． （2）abc＜0， ∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则：|1﹣1﹣1＝﹣3； ②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则1+1+1＝1； （3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a． a，b，c中只有一个负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 1﹣1﹣1＝﹣1． 12．（2024秋•镇坪县校级月考）一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A1，A2，A3，A4，A5表示，如图： （1）站在点 　 　 上的机器人表示的数的绝对值最大，站在点 　 　 和点 　 　 、　 　 和 　 　 上的机器人表示的数到原点距离相等； （2）怎样将点A3移动，使它先到达A2点，再到达A5点，请用文字语言说明． （3）若原点是零件供应点，那5个机器人分别到达供应点取货的总路程是多少？ 【考点】绝对值；数轴．版权所有 【分析】（1）比较各个机器人站的位置所表示的数的绝对值的大小即可； （2）根据数轴的概念和性质进行移动即可； （3）求出各个机器人站的位置所表示的数的绝对值的和即可． 【解答】解：（1）∵|﹣4|最大， ∴站在点A1上的机器人表示的数的绝对值最大， ∵|﹣3|＝|3|，|﹣1|＝|1|， ∴站在点A2和A5、A3和A4上的机器人表示的数到原点距离相等； 故答案为：A1；A2和A5；A3和A4； （2）点A3向左移动2个单位到达A2点，再向右移动6个单位到达A5点； （3）|﹣4|+|﹣3|+|﹣1|+|1|+|3|＝12． 答：5个机器人分别到达供应点取货的总路程是12． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $