15.3.2 等边三角形的性质与判定(第一课时)课件2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等边三角形的定义、性质与判定，通过复习导入环节的表格对比等腰三角形的定义、性质及判定，搭建旧知与新知的学习支架，帮助学生明确等边三角形作为等腰三角形特殊情况的逻辑脉络。 其亮点在于以问题链引导学生用数学眼光观察等边三角形的边角关系，通过性质证明和判定推理培养数学思维，结合对比归纳表格、典例变式及综合应用题提升数学语言表达能力。例如例3变式系列从不同位置验证结论，助力学生深化理解，教师使用可高效落实核心素养。

第十五章 轴对称 15.3.2 等边三角形的性质与判定(第一课时) 学习目标 1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系. 2.探索等边三角形的性质和判定． 3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 重点：等边三角形与等腰三角形的关系 难点：等边三角形的性质和判定 复习导入 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两边相等的三角形是等腰三角形 感悟新知 知识点1 等边三角形的性质 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 等腰三角形有一种特殊的情况，当底与腰相等时，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 等边三角形的三边、三角之间有什么关系？ 问题1： A B C AB=AC=BC ∠A=∠B=∠C =60° 感悟新知 知识点1 等边三角形的性质 猜想：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. A B C 已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. 性质1 感悟新知 知识点1 等边三角形的性质 A B C 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 问题2： 三条对称轴 性质2:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 对比归纳 图形 等腰三角形 　性 质 每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角平分线重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 针对训练 1.下列关于等边三角形的说法中,不正确的是(　 　) A.等边三角形是轴对称图形,三条高所在的直线都是它的对称轴 B.等边三角形是特殊的等腰三角形 C.等边三角形与等腰三角形具有相同的性质 D.等边三角形的三条角平分线的长度相等 C 典例解析 题型1 等边三角形的性质应用 例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°. 针对训练 2.如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE=CD．求证：BD=DE． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）． 典例解析 题型1 等边三角形的性质应用 例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？ 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN. ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 针对训练 3.如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度数． （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°. 又∵AE=CD, ∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°． 感悟新知 知识点2 等边三角形的判定 图形 等腰三角形 判 定 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？ 等边三角形的判定方法： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 针对训练 4.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） 不是 是 是 是 是 （4） （3） 不一定是 典例解析 题型2 等边三角形的判定的应用 例3 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB,AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 典例解析 题型2 等边三角形的判定的应用 例3变式1 若点D,E 在边AB,AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 典例解析 题型2 等边三角形的判定的应用 例3变式2 若点D,E 在边AB,AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠D，∠C =∠E． ∴∠EAD =∠D =∠E． ∴△ADE 是等边三角形． A D E B C 典例解析 题型2 等边三角形的判定的应用 例3变式3 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A=60°. ∵ AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠ AED= 60°. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 典例解析 题型3 等边三角形性质判定的综合运用 例4在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明． 解：△APQ为等边三角形． 证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC. ∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS). ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ是等边三角形． 针对训练 4.如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形． 证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF, ∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°. ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）. ∴DF=ED=EF. ∴△DEF是等边三角形． 针对训练 5.如图,△ABC和△CDE都为等边三角形,点E在BC上,AE的延长线交BD于点F. (1)求证:AE=BD; (2)求∠AFB的度数; (1)证明:∵△ABC和△CDE都为等边三角形, ∴∠ACE=∠BCD=60°, AC=BC,CE=CD, ∴△ACE≌△BCD(SAS), ∴AE=BD. (2)解:∵△ACE≌△BCD,∴∠CAE=∠CBD. 又∵∠AEC=∠BEF,∴∠AFB=∠ACB=60°. 针对训练 5.如图,△ABC和△CDE都为等边三角形,点E在BC上,AE的延长线交BD于点F. (3)连接CF,求证:CF平分∠AFD; (3)证明:作CM⊥AF于点M,CN⊥DF于点N. ∵△ACE≌△BCD, ∴S△ACE=S△BCD,AE=BD, ∴AE·CM=BD·CN, ∴CM=CN,∴CF平分∠AFD. 针对训练 5.如图,△ABC和△CDE都为等边三角形,点E在BC上,AE的延长线交BD于点F. (4)探究EF,DF,CF之间的数量关系,并证明. (4)解:EF+DF=CF.证明如下: 连接CF,延长AF到点Q,使FQ=DF,连接DQ. ∵∠AFB=∠ACB=60°, ∴∠DFQ=60°, ∴△DFQ是等边三角形, ∴DQ=DF,∠FDQ=∠CDE=60°, ∴∠CDF=∠EDQ. 又∵CD=DE,DF=DQ, ∴△CDF≌△EDQ(SAS),∴CF=EQ. ∴EF+DF=EF+FQ=EQ=CF. 归纳总结 等边 三角形 定义 底=腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边都相等 三角都相等 有一个角是60°的等腰三角形 作业布置 课堂作业:P84习题15.3的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $