15.3.2 等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定 课件 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 数学 八年级 上册 1.知道等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形是轴对称图形. 2.会叙述、推理证明等边三角形的性质和判定. 3.经历应用等边三角形性质和判定的过程，增强分析问题、解决问题的 能力 . 重 点等边三角形的性质、判定及其应用. 难 点等边三角形的判定与性质的综合运用. 同步导学 素养目标 情境导入 · 前面我们学习了等边三角形的定义，知道等边三角形是腰与底边相等的 特殊的等腰三角形.如果在手头只有量角器的情况下，你能通过测量判断一 个三角形是不是等边三角形吗? 同步导学 自主预习 预学思考 1.等边三角形的三个角有什么关系? 解：等边三角形的三个角相等且都等于60°. 2.满足什么条件的三角形是等边三角形? 解：三个角都相等的三角形或有一个60°角的等腰三角形是等边三角形. 同步导学 自学检测 1.在一个三角形中，添加下列条件，不能得到该三角形是等边三角形的是 (D ) A. 有两个内角是60°的三角形 B. 三边都相等的三角形 C. 有一个角是60°的等腰三角形 D. 有两个外角相等的等腰三角形 2.在△ ABC 中 ，AB=AC=2,∠B=60°, 则BC的长为( A) A.2 B.3 C.4 D.5 同步导学 知 识 点 一等边三角形的性质 阅读课本本课时“探究”后面第一、第二自然段的内容，解 答下列问题. 如图，△ ABC 是等边三角形，试完成如下证明过程. 证明：在等边△ ABC中，由定义有AB= AC. B ∴ ∠B =∠C.同理可得∠B=∠A,∠A=∠C,∴∠A= ∠B=∠C. 又∠A+∠B+∠C=180° , ∴∠A=∠B=∠C= 60° 合作探究 知识生成 同步导学 C 归纳总结 等边三角形的三个角都相等 ，并且每一个角都等于 60°. 同步导学 对 点 训 练 如图，△ ABC 是等边三角形，点D在AC 边上，∠DBC=35°, 则∠ADB 的度 数为(D ) 同步导学 A.25° B.60° C.85° D.95° 知识点二 等边三角形的判定 阅读课本本课时“探究”后面第三自然段至“例4”的内容，解答下列问题. 1.如果一个三角形有两个角是60°,那么第三个角的度数为 60°,从而可 知该三角形是 等边 三角形. 2.若一个等腰三角形有一个角等于60°(若这个角是顶角，则两个底角分别 等 于 60°;若这个角是底角，则另一个底角为 60°,顶角为60°),则这 个三角形是等 边 三角形. 同步导学 归纳总结 判定一个三角形是等边三角形的方法： ①定义法： 三条边都相等 的三角形是等边三角形. ② 三个角都相等 的三角形是等边三角形. ③有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 同步导学 对 点 训 练 1.在△ ABC中，∠A=60°, 添加下列一个条件后，仍不能判定△ ABC为等 边三角形的是(C ) A.AB=AC B. ∠A=∠B C.AD⊥BC(D 为BC上 一点) D. ∠B=∠C 同步导学 2.如图，在△ ABC 中 ，D 为AB 上一点，AD=DC=BC, 且∠A=30°, AD=5, 则AB 的长为 10 同步导学 A 题型精讲 题 型 》等边三角形判定与性质的综合应用 例 如图，在△ ABC 中 ，AB=AC,∠BAC=120° ,AD⊥BC, 垂足为G, 且AD=AB,∠EDF=60° ,其两边分别交边AB,AC 于点E,F. 同步导学 D 同步导学 (1)求证：△ ABD 是等边三角形. 证明：∵ AB=AC,AD⊥BC, ∵AD=AB, ∴△ ABD是等边三角形. ∵∠BAC=120° , (2)求证： BE=AF. 【答案】由(1)可知，△ ABD 是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60° ,BD=AD. ∵∠EDF=60°, ∴∠ADB=∠ED??, ∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, ∴∠BDE=∠ADF. 同步导学 同步导学 ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴BE=AF. 在△BDE 和△ ADF 中 ， 变式训练 如图，在△ ABC中，∠B=60° ,延长BC到点D, 延长BA到点E, 使 AE=BD, 连接CE,DE, 使EC=DE, 求证：△ ABC 是等边三角形. 同步导学 ∵EC=ED, ∴∠ECD=∠EDC, ∴∠ECB=∠EDF, ∴易证得△ ECB≌△ EDF(SAS), 同步导学 证明：如图，延长BD 至 点F, 使DF=BC, 连 接EF. ∴BE= EF. ∵ ∠B=60° , ∴△BEF为等边三角形， ∴BE=BF. ∵AE=BD, ∴DF=AB. ∵BC=DF, ∴AB=BC, ∴△ABC是等边三角形. 同步导学 个基础达标/作业 1.如图，以点0为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B, 再以点B 为圆心，BO的长为半径画弧，两弧交于点C, 画射线OC, 则∠O的度数为 ( C ) 同步导学 A.30° B.45° C.60° D.75° 分层作业 同步导学 2.如图，在等边三角形ABC中 ，AD是边BC的高，则∠BAD的度数为30° . 同步导学 C 3.如 图 ，AD是等边△ ABC的中线，AE=AD, 求∠EDC的度数. 同步导学 ∴∠ADC=90° . ∵AD=AE, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15 °. 解：∵AD 是等边△ A?? 的中线， ∴AD⊥BC, 4.如图，在四边形ABCD 中 ，AB//DC,DB 平分∠ADC,∠A=60°. 求证：△ ABD是等边三角形. 同步导学 同步导学 证明：∵ AB//DC,∠A=60° , ∴∠ADC=120° . ∵DB 平分∠ADC, ∴△ ADB是等边三角形. 。 能力巩固 作业 5.图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知△ ABC 是等边三角形， ∠A=60°, 当时针OP 正对点A时恰好是12:00.若时针OP与△ ABC 的一边 平行时，时针所指的时间不可能是( D ) 同步导学 图 1 图 2 A.1:00 B.3:00 C.5:00 D.8:00 6. (真情境)如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD 部分的长 度与支杆BC相等，且∠BCE=120° . 若CD的长度为55 cm, 则此时B,D 两 点之间的距离为 55 _cm. 同步导学 7.如图，在等边△ ABC 中，点P在△ ABC 内，点Q在△ ABC 外，且 ∠ABP=∠ACQ,BP=CQ. C 同步导学 (1)求证： AP=AQ. 解：证明：∵△ ABC是等边三角形， ∴AB=AC. 在△ABP和△ ACQ中 ， 同步导学 ∴△ABP≌△ ACQ(SAS), ∴AP=AQ. (2)△APQ 是什么形状的三角形?请判断并说明理由. 【答案】△ APQ 是等边三角形. 理由：由(1)知△ ABP ≌△ ACQ, ∴∠BAP=∠CAQ,AP=AQ, ∴∠BAP+∠CAP=∠CAQ+∠CAP, 即∠BAC=∠PAQ . ∵△ ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60° , ∴∠PAQ=60°. 又∵ AP=AQ,∴△APQ 是等边三角形. 同步导学 8. (新考法)课本再现： (1)如图1,△ ABC是等边三角形，DE//BC, 分别交AB,AC 于点D,E. 求 证：△ ADE 是等边三角形. 同步导学 图 1 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C. ∵DE//BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴∠A=∠ADE= ∠AED, ∴△ADE是等边三角形. “想一想，本题还有其他证法 吗 ? ” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=∠A=60°. ∵DE//BC, ∴∠B=∠ADE,∠C=①_ ∠AED, ∵② ∠ADE=③ ∠AED, ∴AE=AD,(④ 等角对等边.) ∴△ADE是等腰三角形. 又∵∠A=60°,∴△ADE是等边三角形. 同步导学 (2)如图2,等边三角形ABC的两条角平分线相交于点D, 点 E在BD的延长 线上，且AE=AD, 求证：△ ADE是等边三角形. 解：证明：∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=∠ABC=60°. ∵BE 和AD分别为∠ABC 和∠BAC 的平分线， 同步导学 ∵∠ADE为△ABD 的 外 角 ， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°. ∵AE=AD,∴△ ADE是等边三角形. 图 2 9.如图，C为线段AB 上一点，△ACM,△ CBN都是等边三角形， AN 交MC 于 点E,BM 交CN于点F, 连接EF. 同步导学 (1)求证： AN=BM. 证明：∵△ ACM,△ CBN是等边三角形， ∴AC=MC,BC=NC, ∠ACM=60° , ∠NCB=60° , ∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN, 即∠ACN=∠MCB. 在△ ACN和△ MCB中 ， ∵AC=MC,∠ACN=∠MCB,NC=BC, ∴△ ACN≌△MCB(SAS), ∴AN=BM. 同步导学 (2)求证：△ CEF为等边三角形. 【答案】由(1)可知△ ACN≌△ MCB , ∴∠CAN=∠CMB. 又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°, ∴∠MCF=∠ACE. 在△ CAE 和△ CMF 中， ∠CAE=∠CMF,CA=CM,∠ACE=∠MCF, 同步导学 ∴△CAE≌△ CMF(ASA), ∴CE= CF. 又∵∠ECF=60° , ∴△ CEF为等边三角形. 同步导学 日 素 养 拓 展 作 业 10 . (新趋势)定义：如果三角形有两个内角的差为60°,那么这样的三角 形叫作“准等边三角形”. 【理解定义】 (1)顶角为120°的等腰三角形 不是 . (填“是”或“不是”)“准等边三角形”. 同 步 导 学 【巩固新知】 (2)已知△ ABC是“准等边三角形”,其中∠A=36°,∠C>90°, 求∠B的 度数 . 解 ：∵△ ABC 是“准等边三角形”,∠A=36 , ∴分两种情况：当∠C-∠A=6 0° 时，∴ ∠ , ∴∠B=180°-∠C-∠A=48° ; 同步导学 当∠C-∠B=60° 时，∵∠A=36° ,∠C+∠B=180°-∠A=144° , ∴2∠B=144°-60°=84° , ∴∠B=42° . 综上所述，符合题意的∠B的度数为48°或42° . 同步导学 $