精品解析：安徽省安庆市怀宁县2025-2026学年九年级上学期第一次自主检测数学试题

怀宁县2025-2026学年度九年级上学期第一次自主检测 数学试题卷 注意事项：1．你拿到的试卷，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，务必在“答题卷”上答题． 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分；每小题只有一个正确答案） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 3. 若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最大值与最小值分别是（ ） A. 7和0 B. 7和 C. 7和 D. 7和 6. 在反比例函数（m为常数）的图象上有三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 8. 若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，有下列结论：①当随着t的增大而减小；②飞机滑行时停止；③当时，或．④飞机滑行最远距离是，其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 一次函数与二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 方程的根为 D. 当时 10. 下表给出了二次函数的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的个数有（ ） x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … ①对称轴为直线 ② ③函数有最小值4 ④当时，y随x的增大而增大 ⑤二次函数的图象与x轴交于两点，在二次函数图象上存在3个P点，使得． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，则的值是________ 12. 已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为________ 13. 已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 三、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 14. 已知二次函数与坐标轴交于点，求这个二次函数的表达式 15. 已知关于x的二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于C点，求． 四、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 16. 已知二次函数在时取得最小值．若是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 17. 已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． 五、解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 18. 已知关于的函数． （1）求证：此函数与轴总有交点； （2）若此函数是二次函数，其图象与轴总有交点，且图象与轴交点的横坐标都是整数，求正整数的值． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求t的值． 六、解答题（本大题共2小题，每题12分，共24分） 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过． （1）当时，则________，此时二次函数的最小值是________． （2）已知点与在抛物线上，其中，若且请比较与的大小． 21. 【生产背景】背景1：国庆前期，某服装厂安排名工人加工生产“男装”和“女装”，因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工2件男装或4件女装． 背景2：每天加工的服装扣除各种成本，服装厂的获利情况是： （1）男装：当每天加工件时，每件男装获利元，如果每天多加工1件，那么平均每件男装的获利将减少5元； （2）女装：每件获利元． 【探究任务】现在安排名工人加工男装，服装厂每天的总利润为y元． 任务1：用含x式子表示加工女装的工人人数为________； 任务2：求y与x之间的函数表达式； 任务3：制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润是多少？ 七、解答题（本大题共1小题，共14分） 22. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 怀宁县2025-2026学年度九年级上学期第一次自主检测 数学试题卷 注意事项：1．你拿到的试卷，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，务必在“答题卷”上答题． 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分；每小题只有一个正确答案） 1. 下列函数中属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，理解二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，把形如（）（是常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 【详解】A、，是一次函数，故该选项不正确，不符合题意； B、，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； C、二次函数为，故该选项不正确，不符合题意； D、，是二次函数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 3. 若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 4. 已知点在抛物线（m为常数）上，则抛物线一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是先求出的值，再逐一判断各点是否在抛物线上． 先将点代入抛物线解析式求出，得到抛物线解析式，再将选项中的点代入解析式进行验证． 【详解】解：因为点在抛物线上， 所以把代入可得： ，即， 解得． 所以抛物线的解析式为． A、当时，，所以点在抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，所以点不在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上． 故选：A． 5. 函数的最大值与最小值分别是（ ） A. 7和0 B. 7和 C. 7和 D. 7和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为7，最小值为． 故选：C． 6. 在反比例函数（m为常数）的图象上有三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∴． 故选：A． 7. 二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合．   故选：A ． 8. 若某飞机落地时，飞机在地面滑行距离s（米）与滑行时间t（秒）的关系近似满足：，则该飞机从落地到停止，有下列结论：①当随着t的增大而减小；②飞机滑行时停止；③当时，或．④飞机滑行最远距离是，其中正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合实际情景是解题的关键． 根据函数性质，结合实际情景逐个分析即可． 【详解】， 开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值450， 故飞机滑行时停止，滑行最大距离为，故②错误，④正确； 当，此时飞机停止滑行，故①错误； 时，即，解得或（舍去），故③错误； 所以其中正确的个数有1个． 故选：D． 9. 一次函数与二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 方程的根为 D. 当时 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据函数图象可得抛物线经过，，对称轴为直线，则抛物线解析式为，代入得，，即可判断A选项，将代入解析式，即可判断B选项，根据函数图象即可判断C、D选项，即可求解． 【详解】解：根据函数图象可得抛物线经过，对称为直线， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 代入得， 解得：，故A错误； ∴ 当时，，故B选项正确； 根据函数图象可得： C. 方程的根为，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 10. 下表给出了二次函数的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的个数有（ ） x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … ①对称轴为直线 ② ③函数有最小值4 ④当时，y随x的增大而增大 ⑤二次函数的图象与x轴交于两点，在二次函数图象上存在3个P点，使得． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何综合． 根据表格数据可推出函数的对称轴为直线，进而得到抛物线开口向下，，，当时，y随x的增大而增大，函数有最大值4，再结合二次函数的几何综合分析求解，即可解题． 【详解】解：由表格可知，当，以及当时，函数值都为， 对称轴为直线， 故①说法错误； 当时，函数值， 二次函数开口向下，， 又“左同右异”，则， 当时，函数值为， ， ， 故②说法正确； 二次函数开口向下，对称轴为直线， 函数有最大值4，且当时，y随x的增大而增大， 故③说法错误，④说法正确； 由表格可知，当时，， 对称轴为直线， 当时，， 二次函数的图象与x轴交于两点， ， ， ， 则， 时，P为顶点，时，可取两个P点，使得． 在二次函数图象上存在3个P点，使得． 故⑤说法正确； 综上所述，说法正确的个数有3个． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 11. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，则的值是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握抛物线平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据题意，抛物线反向平移得到，据此确定的值即可． 【详解】解：由题可知， 抛物线向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到， 抛物线向下平移4个单位后的解析式为， 再向左平移2个单位后的解析式为， 则， 故答案为：． 12. 已知抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数与轴交点的横坐标等于对应的一元二次方程的解．根据抛物线的对称轴，求出抛物线与轴另一个交点，再利用待定系数法求出参数的值，最后再解方程即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为， 抛物线与轴另一个交点为， 把和代入得， ， 解得， 方程为， 解得． 故答案为：． 13. 已知抛物线的图象与x轴相交于点A和点，与y轴交于点C，连接，有一动点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点，设点D的横坐标为m． （1）连接则的最大面积为________； （2）当时，在平面内存在点M，使以为顶点的四边形为平行四边形，请写出点M的坐标________． 【答案】 ①. ②. 或或 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线和直线解析式，设，，则，故，进而求解即可； （2）分别以、、为平行四边形对角线进行求解即可． 【详解】解：，， ， 将，代入得， ， 解得， ， 当时，，即； 设直线解析式为， ，解得， ， 设，， ，  ， ，开口向下， 当时，的最大值为， 故答案为：； （2）， ， 设， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ； 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 当为平行四边形的对角线时， ，解得， ， 故答案为：或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，灵活运用平行四边形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 14. 已知二次函数与坐标轴交于点，求这个二次函数的表达式 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，根据题意设是解题的关键． 由题可设，再代入点求解即可． 【详解】解：二次函数过，则可设． 把点代入上式得，解得， 所求的二次函数的表达式是， 即． 15. 已知关于x的二次函数的图象开口向下，与x轴交于两点，与y轴交于C点，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，本题先根据二次函数的定义确定k的值，再结合图象开口向下确定k的具体取值，然后求出二次函数与坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】解：根据题意得： 解得或， 又图象开口向下， ， ， 当时，解得或 当时， 点， ． 四、解答题（本大题共2小题，每题8分，共16分） 16. 已知二次函数在时取得最小值．若是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数在时取得最小值，确定函数的顶点式，进而得到函数表达式，再根据点在抛物线上求出的值，最后结合求出的值，代入函数表达式求出m的值． 【详解】解：根据题意设，则由知二次函数经过点， ∴把点代入得 ， 即， 把代入，得， ． ． 又对称轴为直线， ， 解得． 17. 已知函数，其中与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求当时，y的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查求函数解析式，已知自变量的值求函数值，由题意设，代入对应值求出解析式，再将代入，求出y的值． 【详解】解：由题意设，则 当时，；当时，， ，解得， 函数解析式为 当时，． 五、解答题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 18. 已知关于的函数． （1）求证：此函数与轴总有交点； （2）若此函数是二次函数，其图象与轴总有交点，且图象与轴交点的横坐标都是整数，求正整数的值． 【答案】（1） 证明：当时，显然与轴交于点； 当时， ， ∴此抛物线与轴总有交点； 综上可得：此函数与轴总有交点； （2）正整数的值为或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是建立二次函数与一元二次方程之间的关系． （）当时和当时两种情况求证即可； （）当，则有，然后解方程得，，再由题意即可求出正整数的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当，则， ∴或， 解得，， 当为正整数或或时，为整数，即抛物线与轴总有交点，且它们的横坐标都是整数， ∴正整数的值为或或． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求t的值． 【答案】（1）的值为的值为4 （2）t的值为5 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）根据，构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 把代入得， 解得， 的值为的值为4； 【小问2详解】 解：当时，， ， 为x轴上的一动点， ， ， ， 解得， ∴t的值为5． 六、解答题（本大题共2小题，每题12分，共24分） 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过． （1）当时，则________，此时二次函数的最小值是________． （2）已知点与在抛物线上，其中，若且请比较与的大小． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）当时，即经过，然后代入求出，再进行配方配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解； （）把点代入，再由即可求解． 【小问1详解】 解：当时，即抛物线经过， ∴，解得， ∴， 当时，有最小值，是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意把点代入函数得即， ∴ 又，且， ∴，， ∴ ∴． 21. 【生产背景】背景1：国庆前期，某服装厂安排名工人加工生产“男装”和“女装”，因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工2件男装或4件女装． 背景2：每天加工的服装扣除各种成本，服装厂的获利情况是： （1）男装：当每天加工件时，每件男装获利元，如果每天多加工1件，那么平均每件男装的获利将减少5元； （2）女装：每件获利元． 【探究任务】现在安排名工人加工男装，服装厂每天的总利润为y元． 任务1：用含x式子表示加工女装的工人人数为________； 任务2：求y与x之间的函数表达式； 任务3：制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润是多少？ 【答案】任务1：人；任务2：；任务3：每天安排人生产“男装”，人生产“女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，能根据实际意义的等量关系列出函数解析式，并能利用二次函数的性质求最值是解题的关键， 任务一：由题意得，即可求解； 任务二：总利润=男装的利润+女装的利润，即可求解； 任务三：配方得，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务1：解：由题意得人； 任务2：解：， 任务3：解：， ， ∴当时，， ∴每天安排30人生产“男装”，70人生产“女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是16800元． 七、解答题（本大题共1小题，共14分） 22. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部实轮廓线可以看作是二次函数图象抛物线的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求该二次函数的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于两点，抛物线与x轴交于另一点C，点是叶片上的一对对称点，交直线于点G．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小明同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，且上下方轮廓线均经过原点，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点式，代值列方程求解即可； （2）先求出，得到，再求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）抛物线的顶点坐标为， 设，把代入得 二次函数的解析式为，即； （2）直线与坐标轴交于两点， ∴令，得，令，则， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ； 直线是心形叶片的对称轴，且点是叶片上的一对对称点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 对于为，当时，为， 解得或， ， ， ， ； （3）把代入得 ， 右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，把代入解得， ， 设M点坐标为，则， ， ∴当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $