精品解析：广东省湛江市廉江市良垌中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期八年级《数学》 阶段训练题（一） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 3. 椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来相同的三角形玻璃（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 7. 如图，点在上，点在上，，添加的条件不能证明，的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 9. 下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A B. C. D. 10. 如图，在中，和分别为两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，则的度数为______． 12. 如图，，若，，则的长为______． 13. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 14. 如图，在中，，点为边上一点，，，则________． 15. 如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ________． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 已知，，是的三边． （1）若，，求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； 17. 如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 18. 如图，在中，，平分．若，，求度数； 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，四边形中，点E在边上，且． （1）实践与操作：请用无刻度直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：． 20. 如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． （1）求的度数． （2）若，求证：． 21. 如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若，，求度数； （2）若，，求与的周长和． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 23. （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期八年级《数学》 阶段训练题（一） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理和全等三角形的性质，根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 3. 椅子是日常生活中常见的一种家具，现代的椅子追求美观时尚，一些椅子被赋予了更多科技，使人类的生活更加方便．下列椅子的设计中利用了“三角形的稳定性”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．根据三角形稳定性逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，C选项椅子的设计中利用了“三角形稳定性”， 故选：C． 4. 如图，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来相同的三角形玻璃（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定定理即可． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，符合题意． 故选：D． 7. 如图，点在上，点在上，，添加的条件不能证明，的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；具体选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．先根据题意得到， ，然后根据全等三角形的判定方法对各选项逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ， ∴添加，可利用证明， 添加，可利用证明， 添加，或，可利用证明， 故选：C． 8. 如图，，垂足为，是上一点，且，．若，，则的长为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明，得到，由线段的和差关系得到的长，即可得到的长，进而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 10. 如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别对四个结论进行分析，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定与性质等来判断． 【详解】解：在中，， ∴． ∵，分别平分，， ∴，． ∴． 在中，，故①项正确． ∵，分别为的两条角平分线，且相交于点，根据三角形三条角平分线交于一点， ∴平分．故②项正确． ∵在，，的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴点到边，，的距离相等．故③项正确． 如图，在上截取，连接． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由①知， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴，又， ∴， ∴． ∴．故④项正确． 综上，①②③④都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在中，，则的度数为______． 【答案】##34度 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余即可求出答案，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为： 12. 如图，，若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质，关键是掌握全等三角形对应边相等．根据全等三角形的对应边相等可知，，进而可求解 ． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：4． 13. 如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是_________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 14. 如图，在中，，点为边上一点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由可得，可得，由平角的性质和三角形内角和定理可得，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义． 作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案． 【详解】解：作射线，如图， 由三角形外角的性质得到：， 又，，， 则， 平分， ， ， 即． 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分） 16. 已知，，是的三边． （1）若，，求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系（确定第三边的取值范围），等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）由三角形三边之间的关系可得，于是得解； （2）由“第三边为奇数”且可得，进而可得，于是可得答案． 【小问1详解】 解：由三角形三边之间的关系可得：， 即：， ， 第三边的取值范围为； 【小问2详解】 解：第三边奇数，且， ， ∵， ， 是等腰三角形． 17. 如图，点A，B，D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质求得，再利用证明，即可求证． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 18. 如图，在中，，平分．若，，求的度数； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据，，求出，结合平分，则，又因为，所以，再代入数值到进行计算，即可作答． 详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴ 则 ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，四边形中，点E在边上，且． （1）实践与操作：请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）应用与计算：若（1）中所作的角平分线与边交于点F，连接．求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）由角平分线的性质得到，再证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 【小问2详解】 证明：平分， ， 又，， ， ． 20. 如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． （1）求的度数． （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数； （2）结合（1）可求得，利用同位角相等，两直线平行即可判定． 小问1详解】 解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若，，求的度数； （2）若，，求与的周长和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】习题回顾：证明见解析；变式思考：相等，理由见解析；探究延伸：，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 习题回顾：先证明，，再利用三角形的外角的性质可得：，，从而可得结论； 变式思考： 先证明，，结合， 可得； 探究延伸： 先证明，， 可得， 结合，，，， 可得， 从而可得答案． 【详解】习题回顾：证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； 变式思考：， 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 探究延伸：， 证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 23. （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系． （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $