精品解析：河南省洛阳市洛宁县2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年10月份学情调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5，3 B. 5，2，3 C. ，2， D. 2，， 3. 下列方程不能用直接开平方法求解的是（ ） A. B. C. D. 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A 2 B. 3 C. 0 D. 4 5. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C D. 6. 用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 2025 7. 已知，则实数m的范围为（　　） A. B. C. D. 8. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 10. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 化简：______． 12. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 13. 已知，则的值为________． 14. 若某等腰三角形底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 15. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）用配方法：； （2）用因式分解法：． 18. 下面是小明同学解一元二次方程过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得． …第一步 移项，合并同类项，得． …第二步 系数化为1，得． …第三步 任务： （1）小明的解法从第______步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 19. 如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当，，，求剩余部分的面积． 20. 我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 21. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 22. 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（为正整数）________ （3）求的值． 23. 阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： （1）请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． （2）已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年10月份学情调研 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 使二次根式有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的求解即可得． 【详解】解：使二次根式有意义，则， 解得， 故选：A． 2. 一元二次方程二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，5，3 B. 5，2，3 C. ，2， D. 2，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一元二次方程一般形式中各项系数的定义． 根据一元二次方程的一般形式，直接确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：方程，其中二次项是，所以二次项系数； 一次项是，所以一次项系数； 常数项． 故答案为：D． 3. 下列方程不能用直接开平方法求解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直接开方法求一元二次方程的解的类型客直接得出答案． 【详解】能用直接开平方法求解的是：、和； 故选C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）． 4. 最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. 3 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．此题考查了同类二次根式的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类二次根式的根指数、被开方数相同． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得：， 故选：A． 5. 在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 6. 用配方法将转化为的形式，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，通过配方法将方程转化为平方形式，确定参a和b的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 7. 已知，则实数m的范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的混合运算及无理数的估算是解题的关键．先根据二次根式的混合运算法则计算得，再根据的近似值计算的值，即得答案． 详解】解： ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 9. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查二次根式的性质、求算术平方根，根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解． 【详解】∵， 且， ∴， ， ∴， . 故选：B. 10. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件及乘除法则进行化简再进行一一判断得出答案． 【详解】解：∵a+b＜0，ab＞0， ∴a，b同为负数， ∴无意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除及有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了化简二次根式． 由化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知关于的方程的一个根是，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将代入原方程，得出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的一个根是， ∴ 解得：， 故答案为：． 13. 已知，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 将代入运用二次根式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：将代入得： ． 故答案为：6． 14. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 15. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则可列方程______． 【答案】x（x+12）=864 【解析】 【分析】利用长乘以宽=864，列出方程即可得出答案． 【详解】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）=864． 故答案为：x（x+12）=864． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出矩形的长是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用平方差公式计算即可； （）根据二次根式的乘除运算法则和性质分别化简，再合并即可； 本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）用配方法：； （2）用因式分解法：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， 即， ∴或， ∴，． 18. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：． 解：方程两边同除以，得． …第一步 移项，合并同类项，得． …第二步 系数化为1，得． …第三步 任务： （1）小明的解法从第______步开始出现错误； （2）请写出此题的正确解题过程． 【答案】（1）一 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据解题过程结合等式的性质即可解答； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； 【小问2详解】 解∶ ， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19. 如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形． （1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积； （2）当，，，求剩余部分的面积． 【答案】（1）； （2）384． 【解析】 【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可； （2）根据（1）所列出的式子，再把，，代入即可求出答案． 【小问1详解】 剩余部分的面积为：； 【小问2详解】 把，，代入得： ． 【点睛】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图形，得出等量关系． 20. 我们知道形如的式子叫二次根式．二次根式有性质，已知数在数轴上的位置如图所示，请化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值和二次根式，整式的加减法，根据题意得出相应式子的符号是解题关键． 先根据数轴判断实数的符号，式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ，，， ∴ ． 21. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式变形即可得到答案； （2）根据完全平方公式变形即可得到答案； （3）根据勾股定理进行求解，再根据完全平方公式变形即可得到答案； 【详解】（1），． ，， ，， ． （2）． ，， ，， ，， ． （3）． ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，解题关键是根据已知条件找到根式转变完全平方的规律． 22. 阅读下面计算过程： 试求： （1）________； （2）（为正整数）________ （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化，能正确分母有理化是解题的关键． （1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ． 23. 阅读下列材料．完成相应问题： 我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子： 对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得． 问题： （1）请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解． （2）已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． （1）直接利用直接开平方法解方程即可； （2）先用完全平方公式将方程左边因式分解，再利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解：开方得：或 解得：或； 【小问2详解】 解： 或 解得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $