3.北京四中考试真卷（人教版）-【真题圈】全国各地九年级上学期数学期中考试真卷

真题圈数学 8.在某次实验中，因仪器和观察的误差，使得三次实验所得实验数据分别为a,a2,a我们规定该 考试真题卷 九年级RU12N 实验的“最佳实验数据”x是这样一个数值：x与各数据a,a,a差的平方和最小，依此规定，则 需 x=() 3.北京四中考试真卷（期中） A.a ta,+a B.a+aj+aj C.++a D.ataz+a 3 3 (时间：120分钟满分：100分难度：★★★★) M咖 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.如图，AB为⊙O的切线，切点为点A,BO交⊙O于点C,点D在⊙O上，若∠ABO的度数是 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 32°，则∠ADC的度数是 1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 2 +1m 9 D 第9题图 第11题图 第12题图 2.如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙O的直径，∠BCD=54°，则∠A的度数是( 10.若正六边形的半径等于4，则它的边心距等于 A.369 B.33 C.30° D.27 11.如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D,E分别为边AB,AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC 的周长为25，BC的长是9，则△4DE的周长是 12.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门 洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m,地面入口宽为1m,则该门洞的半径为 500m m. 第2题图 第5题图 第6题图 13.如图所示，在边长为1的正方形网格中，O,A,B,C,D是网格线交点，若AB与CD所在圆的圆心 3.抛物线y=(x+1)(x-3)的对称轴是( 都为点O,那么阴影部分的面积为 A.x=-3 B.x=1 C.x=3 D.x=-1 4.若关于x的一元二次方程4x2+(4m+1)x+m2=0有实数根，则m的最小整数值为( A.1 B.0 C.-1 D.-2 5.如图，A,B,C是某社区的三栋楼，若在AC的中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300m,则 这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是() A.A,B,C都不在 B.只有B 20 C.只有A,C 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 D.A,B,C 14.某学校有一个矩形小花园，花园长20m,宽18m,现要在花园中修建人行甬道，如图所示，阴影 匹加 6.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE,点B的对应点D恰好落在边BC上，则 阳图 部分为甬道，其余部分种植花卉，同样宽度的甬道有3条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条 ∠ADE的度数为() 图 m. A.40 B.70 C,80 D.75 与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为306m2,则甬道的宽为 最品 15.抛物线y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的有 .(填序号) 7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y=x-2a+4,若A(a-l,y,B(a,y,,C(a+2,y)为抛 物线上三点，则y,乃，与y之间的大小关系是() ①abc>0:②a+b+c=2:③b>2a:④b>l. A.y<y B.yyy 16.如图，抛物线y=子2-4与x轴交于A,B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的圆上的动点， C.y D.y<y Q是线段PA的中点，连接OQ,则线段OQ的最大值是 三、解答题（本题共68分，第17、20、22、24、25、26、28题每题6分，第18题4分，第19、21、23 19.已知关于x的一元二次方程x2(3k+1)x+22+2k=0. 题每题5分，第27题7分) (1)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根。 17.用适当的方法解下列方程： (2)若等腰△ABC的一边长a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求k的值 (1)x2-23x+1=0. (2)x2-1=2(x+1) 圈 20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3V2,点D在AB上，且BA=3AD,连接CD 将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°至CE,连接BE,DE (1)求证：△ACD≌△BCE 品书 (2)求线段DE的长度 金皇软停 18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-1,1),B(-4,2),C(-3,3). (1)平移△ABC,若点A的对应点A,的坐标为(3，-1)，画出平移后的△A,B,C (2)将△4BC以点(0,2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A,B,C 第20题图 (3)已知将△A,B,C,绕某一点旋转可以得到△A,B,C2,则旋转中心的坐标为 第18题图 一2 21.“化圆为方”是古希腊尺规作图的难题之一，即求作·个正方形，使其面积等于给定圆的面积.这 22.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3.0),与y轴交于点C 个问题困扰了人类上千年，直到19世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借 (1)求抛物线的解析式 狗 用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下： (2)当0≤x≤3时，直接写出y的取值范围 已知：⊙0（纸片），其半径为x (3)垂直于y轴的直线1与抛物线交于点P(x,y,Q(x,y),与直线BC交于点N(x,y).若 求作：一个正方形，使其面积等于⊙O的面积 x,<x<x,结合函数的图象，直接写出x+x,+x的取值范围， ☒图 作法：①如图①，取⊙O的直径AB,作射线BA,过点A作AB的垂线I: 00 ②如图②，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线1于点C； ③将纸片⊙O沿着直线1向右无滑动地滚动半周，使点A,B分别落在对应的A',B处； ④取CB的中点M,以点M为圆心，MC为半径画半圆，交射线BA于点E; ⑤以AE为边作正方形AEFG. 正方形AEFG即所求 根据上述作图步骤，完成下列填空： (1)由①可知，直线1为⊙O的切线，其依据是 (2)由②③可知，AC=r,AB=πr,则MC= .M= (用含r的代数式表示) 65 (3)连接ME,在Rt△AME中，根据AM+AE2=EM,可计算得AE?=(用含r的代数 式表示)，由此可得S正方形Ac=So0 盗印必究 关爱学子 金 指绝密印 第21题图 一3 23.如图，AB是⊙O的弦，∠OAB=45°，C是优弧AB上的一点，BD∥OA,交CA的延长线于点D, 24.小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式"两种模式.在“直发式”模式下，球从发球器出 连接BC 口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第 (1)求证：BD是⊙O的切线 一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹 (2)若AC=4V3,∠CAB=75°，求⊙0的半径 近似为一条抛物线.如图①和图②，分别建立平面直角坐标系xOy .0 -0 “直发式” “间发式” 第23题图 ⑦ ② 第24题图 通过测量得到球距离台面高度y(单位：dm)与球距离发球器出口的水平距离x(单位：dm)的相等 关数据，如下表所示： 表1“直发式' x(dm)0 24 6 8 10 16 20 y(dm)3.84 3.96 4 3.96 3.642.56 1.44 表2“间发式" 直题圈 x (dm)0 246810 12 141618… y(dm)3.36 n1.680.8401.402.4033.203 根据以上信息，回答问题： (1)表格中m= ,n= (2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式. 酸配收府 (3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d,“间发式”模式下球第 二次接触台面时距离出球点的水平距离为d,则dd,(填“>”“=”或“<”)。 一4一 25.如图(1)，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A,B重合），AB=5cm,过 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2-2x-3(a≠0)与y轴交于点A,与直线x=-4交于点B. 点C作CD⊥AB于点D,E是CD的中点，连接AE并延长交AB于点F,连接FD,AC (1)若AB∥x轴，求抛物线的解析式. 小腾根据学习函数的经验，对线段AC,CD,FD的长度之间的关系进行了探究， (2)记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点)，若对于图象G上任意一点P(xp, 架 入，都有y。≥-3，求a的取值范围. 00 1235xm -4-南-20i234拉 ① ② 第25题图 下面是小腾的探究过程，请补充完整： 各用图 第26题图 (1)对于点C在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC,CD,FD的长度的几组值，如下表： 类别 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 AC/cm 0.1 0.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9 CD/cm 0.1 0.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0 FD/cm 0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.8 0.5 在AC,CD,FD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量 的长度和 的长度都是这个自变量的函数 (2)如图②，在同一一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象 (3)结合函数图象，解答问题：当CD>DF时，AC的长度的取值范围是 盗印必究 关爱学子 指绝器印 一5 27.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,点D为AB上一点，过点D作DE⊥AC于点E,过点D 28.在平面直角坐标系xOy中，⊙0的半径为√3，对于平面内一点A,若存在边长为1的等边 作DF⊥BC于点F,G为直线BC上一点，连接GE,M为线段GE的中点.连接MD,MF,将线 △ABC,满足点B在⊙0上，且OC≥OA,则称点A为⊙0的“近心点”，点C为⊙0的“远心点” 段MD绕点M旋转，使点D恰好落在AB边上，记为D, (1)①在图①中将图形补充完整 下列备点：D(3.0Bo.+5F}号c1,-巨)中，©0的近心点"有 ②求∠FMD的度数. (2)设点O与⊙0的“远心点”之间的距离为d,求d的取值范围 (2)如图②所示，DE=√5DF,当点G,M,D在一条直线上时，请直接写出∠GFM的度数 (3)直线y=-5x+b(>0)分别交，y轴于点M,N,且线段N上任意一点都是OO的近 心点”，请直接写出b的取值范围。 4 备用图 第27题图 第28题图 顶圈 金配收有 盗印必究 一6 参考答案 10.23【解析1如图，连接4O,OB,过点0作0G⊥AB于点G. 5am=7×2×2=2. 17.【解】(1)移项，得x2-2√5x=-1, 在R1△A0G中，OA=4,∠AOG=30, ,阴影部分的面积为2x-号-2=号-2 配方，得(x-V3)2=2. 开方，得5=士反 3.北京四中考试真卷（期中】 ∴0G=0A·cs30=4×5-25 故答案为号x-2 故答案为25 解得x=5+√2，x=5-√2 1.D (2)移项，得x2-1-2(+1)=0. 2.A【解析】如图.连接D.,CD是O0的直径.∴∠CBD 因式分解，得(x41)(x-3)=0, 90°.片∠BCD=54°，六.∠D=90°-∠BCD=36, 即x+1=0或x-3=0, ,∠A=∠D=36.故选A 解得x=3,名=-1. D 18【解】(1)如图，△AB,C即所求作的三角形 第13题答图 14.1【解析】设用道的宽为xm,根据题意可列方程为 第10题答图 (20-2x(18-x)=306,整理得x2-28+27=0, 1.7【解析】如图.由切线长定理得BF=BG,CM=CG,DF= 解得x=1,名=27（不合题意，合去）， DN,EN EM, .x=1 第2题答图 ∴：BF+CM=BG+GC=BC=9 故答案为1. 3.B【解析】：抛物线y■(41)(x-3)与x轴的交点坐标为(-1， ∴AF+4M=25-9-9=7. 15.②④【解析】：函数图象开口向上，.a>0 0以.(3,0以.对称轴为x=-13=1故选B ∴△ADE的周长■AD+ME+DE■AD+DF+AE+EM■AF+ :对称纳在y编左侧，一会<0，a与b同号，b>0 4.B【解析】，4x2+(4m+1)x+m2=0, AM=7. :抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0,abc<0,故①错误。 故答案为7 ,.d=(4m+1)2-16r2=16m2+8m+1-16m2=8m+L :函数图象经过点(1,2， :该-元二次方程有实数根，∴8m+1≥0.m≥-名 第18题答图 .把(1,2)f代人y=ar2+br+e得a×1+b×1+e=2, (2)如图，△A,B,C,即所求作的三角形 “,m的最小整数值为0 即a+b+c=2,故②正确 (3(2,1) 故选B ”-品l0->-2a, 19.(1)【证明】，4=-4ac=[-(3k+1)门2-4(2+2)=9R+6k+ 5,D【解析】：AB=300m,BC=400m,AC=500m, ∴b<2a,故③错误 1-88k=尺-2k+1=(k-1)2≥0 AB+BC=AC,△ABC是直角三角形，且∠ABC=9 由图象可知当x=-1时，y=-b+c<0. 无论k取何值，方程总有实数根 :点D是斜边AC的中点， a+b+c=2..a=2-b-c, (2)【解1①若a=6为底边长，则b,c为腰长，则b=c,则4= AD CD 250 m.BD=AC 250 m. 第11题答图 ∴，2-b-c-b+e<0.∴，2>2，解得b>1.故④正确 0,(k-1)2=0,解得k=1. ”250<300,.A,B.C三栋楼都在5G基站覆盖范丽内 12.1.3【解析】如图.设圆心为点E,门洞的半径为xm.由题意知 综上可知，②④正确.故答案为②④ 此时原方程化为x-4x+4=0, 故选D. 洞高DB■2.5m,入日宽AC■1m, 16,35【解析】如图，连接PB:抛物线y一子-4与x轴交于A, .x=无=2，即b=c=2, 6.B【解析】由旋转的性质可知，AD=AB,∠ADE=∠B, ·EB=(2.5-xm,AB=24C=0.5m B两点，令y=0,即}4=0， 此时△ABC的三边长为6,2,2，不能构成三角形，故合去. “.∠ADB=∠B. 根据勾股定理，得x2=(2.5-x)2+(05) 解得x1=4,高3=4， ②堵a=6为腰长，则b,c中一边为腰长，不妨设b=a=6, :∠BAD=40, 解得x=13.故答案为13 A(-4,0,B(4,0,.0B=4 代人方程得-6(3+1)+2+2k=0. “∠AD5=∠ADB=∠B=支×(180°-40)=70°，放选B C(0,3)..0C=3,.C=5. 解得k=3或k=5, 7,D【解析】由题意得抛物线的对称轴为x=一=a,抛物线 :Q是线段P别的中点，O是线段AB的中点， 则原方程化为x2-10x+24=0或x2-16r+60=0, 开口向上，到对称轴罩离越远的点对应的函数值感大，a-d= OQ是△ABP的中位线，O0=PB, 解得x=4,名2=6或x=6,无2=10 0,a-1-dl=1,a+2-=2,0s1<2,y,y,放选D. :当PB最大时OQ最大 即b■6，c■4，或方■6，c■10， &D【解析1由题意得(x-a,)2+(x-a)2+(xa,) 曲图可知当B,C,P三点共线，且点C在P,B之间时，PB最大 此时△ABC的三边长为6.6,4或6,6,10.都能构成三角形 =32-2(a,t,+a,)+G+a+a ∴.PB=BC+PC=7, 综上，=3或k=5 =ta-a++G+店+， 1m+ 00=与PB=35故答案为35 20.(1)【证明】：将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90至CE, 第12题容图 ,CD=CE,∠DCE=90 ÷当x=马++时，(x-a)4(x-4)4(x-8)产最小 13.号-2【解析】如图，由勾股定理得0C一00■2+2- :∠ACB=90°， 故选D. 22,则0C+0D=CD. ∴.∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD 9.29【解析】：AB切⊙0于点A,.0A1MB ∴∠COD=90° 即∠ACD=∠BCE ∠AB0=32°，.∠A0B=90r-32=58, :四边形OACB是正方形 AC=BC, ∠ADC=∠A0B=3×580=29 ∴，∠C0B=45°， 在△ACD与△BCE中，∠ACD-∠BCE, 5m-0-2a,5-g- CD=CE. 故答案为29° 360 第16题答图 ,△ACDa△BCE(SAS). 一7 (2)【解】在R:△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=32, 分析：由图象可知，当x<红，<x时，直线I在x轴下方，此时 解析式为y=0.01(x4)2+4. ②当a>0时，在4≤x。≤0时，y≥-3恒成立 .AB=AC+BC=6. 3<x,<4,x+忧=4,7<x+坏<8 令y■0，即-0.01(x-4)+4■0， 综上所述，a的取值范围是a>0或a≤-2 AB =3AD, 23.(1)【证明如图①，连接0B 解得黑■-16（舍去，馬■24， 27.【解】(1)①补全图形如图①. .AD=2,BD=4 :OA=0B,∠OAB=45 d=24 由(1)可知△ACD≌△BCE, ∴∠1=∠0AB=45 :在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的 .∠CBE=∠A=45,BE■AD=2, :AO∥DB. 运动轨迹近似为一条抛物线， ,∠DBE=∠ABC+∠CBE=90 ∠2=∠0AB=45, 由表2可得抛物线的顶点坐标为(16,3.20)， 在Rt△BDE中，∠DBE=90, ∴∠1+∠2=90 设抛物线的解析式为y=(x-16)43.20.将(8.0)代人， DE■B+BD .BD 1OB, ,DE=√22+42=25 ,BD是⊙O的切线 得0=64h+3.20. 21.【解】(1)经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 解得片=-0.05 (2)红+业压-r ∴，抛物线的解析式为y,=-005(x-16)2+3.20 第27题客图 ②如图②，延长FM,DE,相交于点H 分析：由题意知AC=r,AB=r 令y=0.即-0.05(x-16)24320=0, ∴CB'=AC+AB=r+E 解得无=8（含去），名=24， :∠C=90°，AC=BC, MC=罗-业 .d=24, ∠A=∠B=45°. 2 MA MC-AC. 第23题容图 id=d ∴∠DDF=135 ÷M=,业r=a,业 (2)【解】如图②，过点0作OE⊥AC于点E 25.【解】(1)AC CD FD DE⊥AC,DF⊥BC, 2 2 :OE⊥AC,AC=45」 ,∠DEC=∠C=∠DFC=90 (3)2 (2)函数图象如图所示。 ∴.AE=2N5 ∴，四边形DECF是矩形 分析：如图，根据勾股定理，得A=ME-M=MC-MP= ,∠BAC=759,∠OAB=45 .DE∥FC,∠EDF=90 =x ∴∠OAC=∠BAC-∠OAB=30 .∠H=∠MFG 设0E=x,期OA=2x :M为EG的中点 在Rt△OAE中，OE+AP=OP ∴，EM=GM x+(25)1=(2x) '∠FMG=∠HME. 解得x=2(负值舍去)》 ∴0A=2x=4, ·△FMG2△HME(AAS) 第25题答图 ∴⊙0的半径为4 (3)y5m4c<5m ∴.HM■FM 24.【解1(1)3.84252 又∠EDF=90P, 第21题答图 分析：当CD=DF时，此时点D为圈心， 分析：“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台卤的 DM HM=FM 22.【解1(1)把点A(1,0).B(3,0)的坐标分别代入y=2+x+c 6瑞化 运动轨迹近似为一条抛物线，由表1数据可知对称输为x■4， 则在Rt△ACD中，4D=CD=号AB=号cm, 由题意得MD=MD y=24x+3 e=3 “,当x=8时的函数值与x=0时的函数值相等，m=3.84. ·AC=D+cD=2cD=5巨 cm. ∴.DM=YM=FM, (2)-1≤y≤3 :在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的 结合图象可知当cD>DF时，5华cm<4C<5m ∠MDD=∠MDD=∠MDF=∠AMFD, 分析：如图，0≤x反3， 运动轨透近似为一条直线，设直线的解析式为y■h,将(0 26.【解】(1)当x=0时，y■r2-2x-3m-3, ∴.∠FMD'=36O°-∠MDD'-∠MD'D-∠MDF-∠MFD= 当x=0时，y=3,是最大值： t+6=16线解-0 336.(4168)分别代人，得=336， 点A(0,3). 360°-2∠DDF=360°-2X135°=90°， 当x=2时，y=4-8+3=-1,是最小值 1b=3.36, .y=0.42x+3.36. AB∥x轴，且点B在直线x=-4上， 即∠FMD=90 -1≤y63 当x=2时，y=0.42×2+336=252 点B(-4,-3) (2)15或75 -4r+3 (2)由题意知“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触 ∴抛物线的对称轴为x=-2, 分析：①如图③，连接EF 台面的运动轨迹近似为一条抛物线，。 DE=3 DF. 由(1)可得对称轴为x=4,顶点坐标为(4,4】 ∴抛物线的解析式为y=-2x2-8r-3 设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4,将(0.3.84)代入， (2)①当a<0时，，A(0,-3). .∠DEF=30 得3.84■16a44 ·要使当4≤x,≤0时，始终满足y,≥-3， .∠EFC=30° 解得a=0.01, 只需使抛物线y=ar2-2x-3的对称轴x=a与直线x=-2 由(1)得∠FMD=90, ∴，抛物线的解析式为y=-0.01(x4)244 重合或在直线x=-2的左侧 第22题答图 (3)■ 六FM⊥EG (3)7<x+,+,<8 分析：”“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的 a≤-2 :M为线段GE的中点 ∴.FM垂直平分EG, :SAaw=号oM·ON=号Mw·OH ∠GFM=∠EFC=15°. ×5b×b=号×2b×(5-1). 解得6=225 六6的取值范留为2.9≤6≤耳 第28题答图2 根据题意，等边△ABC的顶点A,C在以B为圆心，以1为半轻 的置上， 第27题容图 当AC⊥x轴时，点O与⊙O的“近心点”A之间的距离最大， ②如图④，连接EF, 设AC与x轴交于点G,连接OA 同理可得∠GFM=∠EFG=(180°-30°)=75°， :BC BA, 综上，∠GFM的度数为15或75° AG=CG=AC= 28.【解11)F.G (2)如图①，设点B为⊙0与x轴的交点，即B(5.0) o-a-G-F周-9 0=00=5+9=9 06c0-9-周-i 当O,A”,B在同一条直线上，即A也在x轴上时 点0与⊙0的“近心点”A之问的距离最小 此时OA'=OB-B=V3-1, 点O与⊙0的“近心点”之间的距离的取值范围为√ 第28题答活① -1≤df7 根据题意，等边△ABC的顶点A,C在以B为圆心，以1为半径 对于直线)=一9， 的圆上， 令x=0.则y=b,N(0,b),如图③. 当O,B,C在同一条直线上，即C也在x轴上时 w 点O与⊙0的“远心点”C之间的距离最大， 此时0C=OB+C=5+1. 当A”C1x轴时，点0与⊙0的“远心点C之间的距离最小， 设AC与x轴交于点K,连接OC BC=BA', :rK=CK=支C=: 第28题答图3 令y=0,则有0=-5， x+h, 0=08k=5-9=9 解得x=√5b, M(5b,0) oc-axck-9图=i “当b取最大值时，有5b=√万， 解得6=可 综上所述，点0与⊙0的“远心点“之间的距离d的取值范围为 当b取最小值时，过点O作OH1MN,垂足为H, 1≤d≤5+1 此时OH=V5-L 32-25≤b≤ M(5b,0),N(0,b) 分析：如图②，设点B为⊙0与x轴的交点，即B(√3,0) ..OM=3 b.ON =b. ∴MN=VOM'+OW=2b