山东省淄博第一中学2025-2026学年高一上学期第一次学习质量检测数学试卷

山东省淄博第一中学2025-2026学高一上学期第一次学习质量检测 数学试题 命题人：魏守涛 审核人：冯厚笠 2025.10 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合，，则是的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的最小值为（ ） A．-2 B． C．1 D．2 5．若，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 6．设,则的最大值为（ ） A．3 B． C． D． 7．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知x，y满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 10．下面命题正确的是（ ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 11．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 12．已知，关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 14．已知x＞1，则函数的最小值为 . 15．若“”是假命题，则实数的最大值为 . 16．函数（）的最大值为 . 四、解答题（本题共6小题，共77分） 17．（8分）比较与的大小. 18．（12分）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 19．（12分）已知集合，． （1）若，求的范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的范围． 20．（14分）已知正实数、满足． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 21．（14分）中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无需由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两面墙的长度均为设屋子的左右两面墙的长度均为m． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 22．（17分）对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”． (1)试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由； (2)若集合，证明：C不可能是“好集合”； (3)若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A D C C D C B 题号 11 12 13 答案 ABD BC ABC 1．A 【详解】当时显然是B的子集，但时，故为充分不必要条件，此题也属于简单题． 【考点定位】本题将集合与条件的判断有机的结合，属于小点小考的命题方法． 2．A 【分析】对原命题改量词，否结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，原命题的否定是：，. 故选：A. 3．D 【分析】求出集合，再利用交集含义即可. 【详解】因为，， 则，则. 故选：D. 4．A 【分析】首先得到，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 5．D 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：取，则，故C错误； 对于D：因为 ，则，又，所以，故D正确； 故选：D 6．C 【分析】根据基本不等式求出最值. 【详解】当，则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 7．C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 8．D 【分析】根据基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为，故， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：D 9．C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 10．B 【分析】首先确定目标式与已知代数式的线性关系，再应用不等式性质确定范围即可. 【详解】令， 则， 由，， 所以，即. 故选：B 11．ABD 【分析】根据充分不必要条件的定义判断A；根据全称命题的否定判断B；根据必要不充分条件的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，“”“”， 由不能推出， 故“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意，则”的否定是“存在，则，故B正确； 对于C，当“且”成立，则“”成立， 但“”成立时，“且”不一定成立，如：，，故C错误； 命题：且，故“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 12．BC 【分析】举反例排除AD，利用不等式的性质判断BC，从而得解. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以，，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则， 又，所以，故C正确； 对于D，取，满足且，但，故D错误. 故选：BC. 13．ABC 【分析】依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到，即可得到，从而判断A；再利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，所以，所以，故A正确； 又，所以，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C正确； 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故D错误. 故选：ABC 14．2+2 【解析】利用基本不等式求得最小值． 【详解】解：根据题意，＝2(x﹣1)++2， 又由x＞1，即x﹣1＞0， 则f（x）≥2＝2+2，当且仅当，即时，取等号. 所以函数f（x）的最小值为2+2； 故答案为：2+2． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 15． 【分析】根据存在量词命题的否定由不等式恒成立计算可得结果. 【详解】因为“”为假命题，所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立，即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 16． 【分析】由，可得，再早基本不等式可得出结论. 【详解】解：，， ， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故答案为： 17． 【分析】（1）作差比较，，从而可得结果； 【详解】（1）因为，所以 ； 18．(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 19．（1）；（2）． 【解析】（1）解不等式得集合，由交集结论得，由子集定义得出结论； （2）问题等价于，这时需讨论的情形． 【详解】（1）由题意，若，则，∴，解得； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则， 若即时，， 若，则，解得． 综上的取值范围是． 【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数范围，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 20．(1) (2)18 【分析】（1）由题意可得，结合基本不等式中“1”的妙用计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为18. 21．(1)4米 (2) 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，的取值范围为. 22．(1)集合A不是“好集合”， 集合B是“好集合”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接根据“好集合”的定义判断即可； （2）先将集合中的元素分为10个集合，再结合“好集合”的定义证明即可； （3）根据“好集合”的定义可以得到D中的任意两个不同的元素x，y，若，都有，进而得到的最小值为3，进而求解即可. 【详解】（1）因为，因为，所以集合A不是“好集合”， 因为，，，，，，， 所以集合B是“好集合”. （2）证明：将集合中的元素分为如下10个集合， ，，，，，，，，，， 所以从集合中取12个元素，则前8个集合至少要选10个元素， 所以必有2个元素取自前8个集合中的同一集合， 即存在两个元素的差的绝对值不大于2， 所以C不可能是“好集合”. （3）因为D是“好集合”，所以对于D中的任意两个不同的元素x，y， 不妨设，都有. 要想D所含元素个数最大，则要尽可能小， 故需使得的最小值为3. 将1~2026这2026个元素按如下分组： ，，……，，， 故应取，其中任意两元素差值都大于2，故其是“好集合”， 故“好集合”D所含元素个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况. - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $