精品解析：浙江省杭州绿城育华中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

杭州绿城育华学校初中部2025学年第一学期初二年级月考 数学学科试题卷 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可求解. 【详解】A选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 B选项，，，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形 C选项，，两边之和小于第三边，故不能组成三角形 D选项，，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边. 2. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连线转化为三角形而获得．根据三角形的稳定性回答． 【详解】解：主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性． 故选：A 3. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 4. 对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用举反例说明命题是假命题，要求举出的例子符合命题的条件，但不符合命题的结论；根据这一特点判断即可． 【详解】解：A、例子符合命题的条件，也符合命题的结论，故不是举反例； B、例子不符合命题的条件，也不符合命题的结论，故不是举反例； C、例子不符合命题的条件，但符合命题的结论，故不是举反例； D、例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，故是举反例； 故选：D． 5. 能把三角形面积分成相等两部分的是（ ） A. 该三角形一边的中垂线 B. 该三角形的角平分线 C. 该三角形的高线 D. 该三角形的中线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的定义和性质．根据等底等高的两个三角形面积相等可得：三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分判断即可． 【详解】解：把三角形的面积分为相等的两部分的是三角形的中线． 故选：D． 6. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．根据全等三角形的判定方法（）及三角形构成条件逐一分析选项即可． 【详解】选项A：已知．此为“边边角”（），但不能唯一确定三角形（除非是直角），可能存在两种不同形状的三角形，故排除． 选项B：已知．计算三边和：，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故排除． 选项C：已知．此为“角边角”（），因两角及夹边唯一确定三角形，且第三个角可通过内角和确定，符合全等条件，故可唯一确定． 选项D：已知三个角（）．此为“角角角”（），无法确定边长，无法画出唯一的三角形，故排除． 故选：C． 7. 如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，则，，由证得，得，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点，如图所示： 则，， ，， ； ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 9. 如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点，当A、P、G三点共线时，AP+PQ的值最小，求出AG的长即为所求． 【详解】解：过点A作AG⊥BC交于G，交CD于P点，过点P作PQ⊥AC交于Q点， ∵CD是∠ACB的平分线， ∴PG=PQ， ∴PA+PQ=AP+PG≥AG， ∴当A、P、G三点共线时，AP+PQ值最小， ∵BC=10，△ABC的面积为24， ∴AG=， ∴AP+PQ的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查最短距离的求法，熟练掌握角平分线的性质，垂线段最短是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接．若记为α，为β，则的度数为（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，平行线的判定以及性质等知识．过点B作交的延长线于点G，证明，可得．又点D是的中点，即得，从而可得，得，即可得． 【详解】解：过点B作交的延长线于点G，如图： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 已知一等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形顶角的度数为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，根据等腰三角形的一个内角为，分以下两种情况讨论，①为等腰三角形的顶角，②为等腰三角形的底角，再根据三角形内角和求出其顶角，即可解题． 【详解】解：等腰三角形的一个内角为， ①为等腰三角形的顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为； ②为等腰三角形的底角时，这个等腰三角形顶角的度数为； 故答案为：或． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 如图，，若利用证明，需添加的条件是_____．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，点E，F是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积， 解题的关键是掌握同高三角形面积之比等于对应底边之比． 【详解】解：∵点E，F是线段的三等分点， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 16. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 三、解答题（共8小题，共72分，17-22每小题各8分，23和24每小题各12分） 17. 如图，已知，其中． （1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作出的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结即可； （2）根据垂直平分线的性质得出EA=EC，根据根据题意以及三角形的周长公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长= ． 【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 如图，， ， （1）求证：． （2）线段与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析 【解析】 【分析】（1）由边边边容易证明全等； （2）由（1）得，再由等角对等边得． 【小问1详解】 证明：在 与 中， ， ∴ 【小问2详解】 解： 理由： ∴ ， 即 ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了边边边判定三角形全等，全等的性质，等腰三角形的判定． 19. 如图，在中，AE是的高． （1）如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； （2）如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） （3）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】（1）的度数为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 20. 小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【答案】（1）证明见解析 （2）合理；理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质等知识． （1）由同角的余角相等得到，根据即可证明； （2）由得到，据此计算即可得到答案． 【小问1详解】 证明：根据题意得， ∵于点D，于点E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 小问2详解】 解：小丽所在公园的秋千高度设置合理， 理由：∵点B到水平距离，于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小丽所在公园的秋千高度设置合理． 21. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：； （2）若G为中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质及等角的余角相等可得，再根据对顶角相等进行等量代换可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）过点E作，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，据此即可得到． 【小问1详解】 证明：∵， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点E作，垂足为F， ， ，， ， ∵G为中点， ， ，， ， ， ． 22. 如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E． （1）与全等吗？说明理由； （2）当，，，时，求的面积． 【答案】（1），理由见解析 （2）6 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定和性质． （1）由平行线性质得到，直接利用即可判定； （2）由（1）得，由垂直的定义得出，即可根据判定，即可得到，再由平行线的性质及角平分线的定义即得出平分，再根据角平分线的性质结合三角形面积公式即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点M， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∵，， ∴， 的面积． 23. 已知：如图，在中，于点为上一点，且． （1）判断和的位置关系，并说明理由； （2）连结，作交于点，试判断的形状； （3）若，，求的长． 【答案】（1），详见解析 （2）是等腰直角三角形，详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定以及一元二次方程： （1）证明后，得到，利用三角形内角和为求解即可； （2）利用证明，得到即可判断形状； （3）设，根据得到，利用三角形面积公式计算，进而得到的长度． 【小问1详解】 ． ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 是等腰直角三角形． ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【小问3详解】 设， ， ， ， ， ， ， 或（舍）， ， ， ． 24. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）或． 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；难点是类比思想在解题中的应用． （1）过点作于点，先证，再依据“”判定和全等，从而得，，据此可得出结论； （2）由（1）可知：，，再证和全等得，然后由 ，则，，进而可得，据此可得出结论； （3）过点作交的延长线于，由（1）可知，由（2）可知，再由 ，则，，，，进而得，，据此可得出答案． 【小问1详解】 证明：如图过点作于点， ，，，， ， ， ， 和中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 证明：过点作于点，则， 由（1）可知： ∴，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点． 【小问3详解】 解点在射线上， 有以下两种情况： （ⅰ）当点在线段上时，过点作于，如图所示： ， ， 由（2）可知：，则， 由（2）可知：，则， ， ． （ⅱ）当点在的延长线上时，过点作交的延长线于，如图所示： 由（2）可知：， 由（2）可知：， ， ， ，， ， ， ， ． 综上所述：的值为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州绿城育华学校初中部2025学年第一学期初二年级月考 数学学科试题卷 （满分：120分，时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 3，4，8 B. 5，6，10 C. 5，5，11 D. 5，6，11 2. 如图，北盘江大桥跨越云南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，差不多相当于200层楼的高度，垂直高度和桥梁跨度均属世界罕见，经吉尼斯世界纪录认证为“世界最高桥”．主桥采用双塔双索面钢桁架梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 四边形的不稳定性 C. 三角形两边之和大于第三边 D. 三角形内角和等于 3. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于命题“若，则”，能说明这个命题是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 5. 能把三角形面积分成相等两部分的是（ ） A. 该三角形一边的中垂线 B. 该三角形的角平分线 C. 该三角形高线 D. 该三角形的中线 6. 根据下列已知条件，能够画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，中边上的高为，中边上的高为．若，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 5 10. 如图，在中，，，，是边上的中线，过点C作的垂线交于点E，交于点F，连接．若记为α，为β，则的度数为（ ） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 二、填空题（共6小题，每小题3分） 11. 已知一等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形顶角的度数为____________． 12. 命题“对顶角相等”逆命题是_______． 13. 如图，，若利用证明，需添加的条件是_____．（写出一种即可） 14. 如图，中，D是边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为_________． 15. 如图，在中，为边上高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 16. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是________．（填写正确的序号） 三、解答题（共8小题，共72分，17-22每小题各8分，23和24每小题各12分） 17 如图，已知，其中． （1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连结（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，，求的周长． 18. 如图，， ， （1）求证：． （2）线段与相等吗？请说明理由． 19. 如图，在中，AE是的高． （1）如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； （2）如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） （3）如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 20. 小丽与小琳在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，小琳在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小丽距离地面的高度为，已知，于点D，于点E． （1）求证：； （2）为了安全考虑规定户外秋千设置高度在以下，小丽所在公园的秋千高度设置是否合理？为什么？ 21. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． （1）求证：； （2）若G为中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 22. 如图，在中，，过点G作交的延长线于点F，交于点E． （1）与全等吗？说明理由； （2）当，，，时，求的面积． 23. 已知：如图，在中，于点为上一点，且． （1）判断和的位置关系，并说明理由； （2）连结，作交于点，试判断的形状； （3）若，，求的长． 24. 如图，中，，，点为射线上一动点，连结，作且． （1）如图 1 ，请过 F 点作 交 于D 点，求证： ； （2）如图 2 ，连结 交于点，若 ，求证：点为中点． （3）当 E 点在射线上，连结与直线 交于 G 点，若 ，则 ．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $