精品解析： 浙江省杭州江南实验学校2025-2026学年上学期九年级数学独立作业1

杭州江南实验学校2025学年第一学期九年级独立作业1（问卷） 数 学 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如为常数，的函数叫做二次函数”进行判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 代入到，求出的值，即可求解． 【详解】解：令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：B． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：图象的顶点坐标是， 故选：D． 4. 如图，点A，B，C是上的三点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 5. 已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 6. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正五边形和圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：D． 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【详解】解：连接OA，则OA=10cm， ∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm， ∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得 OD=cm， ∵OC=10cm， ∴CD=OC-OD=4cm， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键． 8. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式： (表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 由题意知，，由，求最值即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴当时，， 故选：A． 9. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，可得，进而可得，则，即，从而可得答案． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 即， 故C选项正确，符合题意； 根据已知条件不能得出A、B、D选项， 故A、B、D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 10. 已知二次函数，且为其图象上两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质；通过计算点A、B的纵坐标表达式，比较m和n的大小关系，结合二次函数开口方向及参数条件判断正确选项即可． 【详解】解：∵已知二次函数，且为其图象上两点， ∴当时，． 当时，． 比较和，即判断是否成立． 将不等式整理为： ， ， 当：不等式等价于，即．此时若，则． 当：不等式等价于，即．此时若，则． 选项C：若且，则，满足，故选项C正确． 其他选项： 选项A、B中且，但包含和，无法确定与的大小关系． 选项D中且，显然，与结论矛盾． 综上，正确答案为C． 故选：C． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点在抛物线上，则的值为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将点的横坐标代入抛物线解析式求解． 【详解】解：将代入抛物线， 得：． 故答案为：18． 12. 已知二次函数的图象如图所示，当时，y的值为_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 由图象得，二次函数的图象经过点，对称轴为，根据二次函数的对称性得到图象也经过点，据此即可解答． 【详解】解：由图象得，二次函数的图象经过点，对称轴为， ∴二次函数的图象也经过点， ∴当时，y的值为2． 故答案为：2． 13. 如图，已知A、B、C是上的三个点，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 在优弧上取点D，连接、，根据圆内接四边形的性质，求出的度数，根据圆周角定理求出的度数即可 ． 【详解】解：在优弧上取点D，连接、，如图， 根据圆内接四边形的性质可知， ，又， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，M是弦的中点，，，，则所在圆的半径是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径是， 故答案为：． 15. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由表可知，二次函数与直线的交点为和，再根据函数交点的位置即可确定不等式的解集． 【详解】解：由表可知，二次函数经过点和， ∵和都在直线上， ∴二次函数与直线的交点为和， 由表可知，当时，二次函数的图象在直线的上方， ∴当时，， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 16. 如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，作交延长线于点，连接，则，根据等圆心角对等弦得到，根据圆周角定理得到，进而得到，利用勾股定理求出的长，再根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，作交延长线于点，连接， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， ∴的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，圆周角定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【解析】 【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）代入x=-2求出y值，将其与3比较后即可得出结论． 【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3； ∵二次函数的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5），则有： 解得； ∴y=﹣x2﹣2x+3． （2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3， ∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 18. 如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． （1）求的度数； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 19. 如果抛物线与x轴有两个不同的公共点． 求k的取值范围； 如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值． 【答案】（1）；（2）的值为2． 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； 先确定正整数k的值为1，2，当时，抛物线解析式为，当时，抛物线解析式为，然后分别解方程和可确定满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得， 解得； ， 正整数k的值为1，2， 当时，抛物线解析式为，当时，，解得，，该抛物线与x轴的公共点的横坐标不是整数； 当时，抛物线解析式为，当时，，解得，，该抛物线与x轴的公共点的横坐标为0和， 的值为2． 故答案为:（1）；（2）k的值为2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系：抛物线与x轴的交点个数由判别式确定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 20. 如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等弦对等弧即可证明； （2）连接，根据垂直的定义得到，则有，利用圆周角定理得到，则有，根据得到，最后利用弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 又∵的半径为4， ∴． 21. 已知二次函数，它的图象过点，并且与x轴负半轴交于点B． （1）求二次函数的解析式和点B的坐标； （2）画出函数图象，直接写出当时函数值y的取值范围． 【答案】（1），点B的坐标为 （2）画出函数图象如下： 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与轴的交点、画二次函数图象、二次函数的最值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到，求出的值，得出二次函数的解析式，再令，即可求出点B的坐标； （2）根据函数解析式画出函数图象，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将代入到，得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 令，则， 解得，， ∵二次函数与x轴负半轴交于点B， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴当时，函数值y有最大值4， 当时，； 当时，； ∴当时函数值y的取值范围为． 22. 已知，正方形内接于，点P是弧上一点，连接交于点E． （1）如图1，若点P是弧的中点， ①求的度数． ②求证：． （2）如图2，若图中，求的值． 【答案】（1）①； ②证明：∵正方形， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到，根据弧中点的定义得到，则，即可求解；②根据正方形的性质得到，，利用角的和差求出，利用三角形内角和定理求出，则有，再利用等角对等边即可证明； （2）连接、，通过证明得到，再根据垂直平分线的性质得到，则有，利用三角形内角和定理求出，利用含30度角的直角三角形性质以及勾股定理得到，设，表示出和的长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∵点P是弧的中点， ∴， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵正方形， ∴，，垂直平分， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分，点在上， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形与圆的综合，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形，二次根式的应用，掌握相关知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）0， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； 【小问2详解】 ①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 24. 如图1，是圆的直径，弦于，且在上，连结，将绕点逆时针旋转，使得至，交圆于，连结，交于，交圆于． （1）求证：； （2）如图2，连结． ①若为的中点，求和的面积比； ②若，设，求的最大值． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ， 是圆的直径， 将绕点逆时针旋转，使得至， ，， 则， 是圆的直径，弦于， ，， ， 是圆的直径， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由圆周角定理确定是的直径，再结合题意，根据等腰直角三角形的判定与性质得到，然后由垂径定理得到，，从而得到，接着由直径所对的圆周角是直角、平行线的判定与性质得到，则，再由得到，进而确定，最后由即可得到，进而由圆周角定理得证； （2）①过点作，如图所示，先得到，则，从而根据两个三角形全等的判定得到，则，进而由三角形面积公式表示出，过点作，如图所示，结合等腰直角三角形的判定与性质得到，设，则由勾股定理可得，再由角平分线定理得到，进而求出，代入计算即可得到答案； ②连接，利用等腰直角三角形的性质表示出、的长，在中，由勾股定理得到，整理得到，再由完全平方公式变形得到，求出的最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①过点作，如图所示： 为的中点， ， 是圆的直径， ， ，则， 由（1）知，，， 由得， ， 在和中， ， ， ， 过点作，如图所示： 由（1）知，， ， 则， ， 是等腰直角三角形， 则， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 设，则由勾股定理可得， 平分，，， ， 则， ； ②连接，如图所示： 由（1）知，，则， 四边形是的内接四边形，且， ，， 即是等腰直角三角形，， ， ， 由题意可知，是等腰直角三角形，则， 由勾股定理可得， 则， 在中，由勾股定理可得，即， ， 整理得：， 由，得， 则，即， ， 解得， 的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题属于压轴题，综合性很强，难度较大，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂径定理、平行线的判定与性质、圆中弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、角平分线性质定理、圆内接四边形、勾股定理、完全平方公式运用及不等式性质等知识，熟记相关几何性质并根据题目所求灵活运用数学知识求解是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州江南实验学校2025学年第一学期九年级独立作业1（问卷） 数 学 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 抛物线与y轴的交点坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C是上的三点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，⊙是正五边形的外接圆，点P为上的一点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 8. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式： (表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，且为其图象上两点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知点在抛物线上，则的值为___________． 12. 已知二次函数的图象如图所示，当时，y的值为_____ ． 13. 如图，已知A、B、C是上的三个点，，则_____． 14. 如图，中，M是弦的中点，，，，则所在圆的半径是______． 15. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如表： x 0 1 3 y 3 5 3 则不等式的解集为__________． 16. 如图，是的直径，点D，C在上，，，，则的半径为__________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 18. 如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． （1）求的度数； （2）若，求的值； 19. 如果抛物线与x轴有两个不同的公共点． 求k的取值范围； 如果k为正整数，且该抛物线与x轴的公共点的横坐标都是整数，求k的值． 20. 如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 21. 已知二次函数，它的图象过点，并且与x轴负半轴交于点B． （1）求二次函数的解析式和点B的坐标； （2）画出函数图象，直接写出当时函数值y的取值范围． 22. 已知，正方形内接于，点P是弧上一点，连接交于点E． （1）如图1，若点P是弧的中点， ①求的度数． ②求证：． （2）如图2，若图中，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． （1）求c的值，并用含a的式子表示b； （2）过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 24. 如图1，是圆的直径，弦于，且在上，连结，将绕点逆时针旋转，使得至，交圆于，连结，交于，交圆于． （1）求证：； （2）如图2，连结． ①若为的中点，求和的面积比； ②若，设，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $