第13章 三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

第13章 三角形 【考点1】三角形的识别与有关概念 【考点2】三角形的个数问题 【考点3】三角形的分类 【考点4】构成三角形的条件 【考点5】三角形的稳定性及应用 【考点6】根据三角形中线求长度 【考点7】根据三角形中线球面积 【考点8】与三角形的高有关计算问题 【考点9】三角形的内角有关计算 【考点10】三角形的外角有关计算 【考点11】三角形的内外角与角平分线计算综合 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 知识点7 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【考点1】三角形的识别与有关概念 1．下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 2．如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 3．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【考点2】三角形的个数问题 1．图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形就是三条首尾顺次相接的线段构成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，图中的三角形有，共5个， 故选C． 2．如图，，为上一点，则以为高的三角形的个数是（   ）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查三角形高的定义，根据图形可得，以为高的三角形有共6个三角形，熟记三角形高的定义是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，以为高的三角形有共6个三角形， 故选：A． 3．如图，以为边的三角形的个数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，一共有4个． 故答案为：4． 【考点3】三角形的分类 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 2．如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大角的类型即可确定三角形的类别． 【详解】解：设三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和为，可得： 解得： 因此，三个内角分别为：，， 最大角为，小于， 故三个角均为锐角， 因此，该三角形是锐角三角形， 故选A． 3．一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的分类，根据三角形内角和推理最大角的度数范围是解题的关键． 根据最小角为，设的最大角为，最小角为，结合三角形的内角和可推得最大角为锐角． 【详解】不妨设中的最小角，最大角为，则 即：三角形最大角为锐角． 故三角形一定为锐角三角形． 故选：A． 4．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键. 根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可. 【详解】解：等边三角形的每一个内角均为，由图可知该三角形有一个内角为，故不可能为等边三角形，故选项D符合题意. 故选：D． 5．在中，的补角是，则是 三角形． 【答案】钝角 【分析】本题考查了补角的定义、三角形的分类，熟练掌握补角的定义是解题的关键．根据补角的定义和三角形的分类即可解答． 【详解】解：的补角是， ， ， 是钝角三角形． 故答案为：钝角． 【考点4】构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．4，5，10 D．4，4，9 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是应用三角形中较小两边之和大于第三边进行判断． 【详解】A：，满足较小两边之和大于第三边，故选项符合题意． B：，不满足较小两边之和大于第三边，故选项不符合题意． C：，不满足较小两边之和大于第三边，故选项不符合题意． D：，不满足较小两边之和大于第三边，故选项不符合题意． 故选A． 2．下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．5，11，7 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，7，14 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，进行分析，实际判断时即两个较小边的和大于第三边即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，故本选项符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故不A符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 4．现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】考查了三角形的三边关系．首先把每三根组合的所有情况列举出来，再根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行分析． 【详解】解：其中每三根组合，有2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5； 其中能组成三角形的有2，3，4；2，4，5；3，4，5三组． 故选：C． 5．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（   ） A．15米 B．13米 C．1米 D．9米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键；根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：，即， A、B间的距离可能是9米， 故选：． 6．若一个三角形的三边分别为，则其周长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，进而可求周长的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系得：， 即：， ∴， ∴， 故答案是：． 【考点5】三角形的稳定性及应用 1．如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形稳定性解答即可． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 2．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角 【答案】C 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性，判断即可． 【详解】解：由题意，这样做的依据是：三角形具有稳定性； 故选：C． 3．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的性质，理解并掌握“三角形具有稳定性”的概念是解题的关键． 根据图示，三角形的性质即可求解． 【详解】解：自行车的车架焊接横梁，运用的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符， 故选：B． 4．如图，安装空调一般会采用该方法固定，其依据的几何原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【考点6】根据三角形中线求长度 1．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、中线的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，，则，再分且和且两种情况分别列出一元一次方程求解并运用三角形的三边关系判断即可解答． 【详解】解：设，则， 当且时，即，解得：， ∴，， ∵， ∴能组成三角形，即符合题意； 当且时，即，解得：； ∴，， ∵， ∴三边不能组成三角形，即不符合题意； 综上，的长是16． 故选A． 2．如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，是的边上的中线，可得，进而得出的周长，的周长，相减即可得到周长差． 【详解】是的中线， ， ∴与的周长之差为：； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键． 3．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 解得， 故选：D． 4．如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【考点7】根据三角形中线球面积 1．如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴， 同理：， ∴， ∵的面积是， ∴； 故答案为：12． 2．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 3．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 由点D，E，F分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 【详解】解∶∵点D，E，F分别为边，，的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∵是的中线，， ∴， 又是的中线，是的中线， ∴，， ∴， 又是的中线， ∴． 故答案为：1． 4．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了三角形面积、三角形中线的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，连接，由三角形中线的性质可得，，易得，；设，易得，即，，进而求得，进而求得图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 设， ∵， ∴，则． ∴，解得：， ． 故答案为18． 5．如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 【详解】解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 【考点8】与三角形的高有关计算问题 1．在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用三角形的等面积法即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 又，，， ， 解得：， 则的长为； （2）解：的边上的中线是，，， ， ， 则的面积为． 2．如图，中，，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，由三角形的内角和可得，再由角平分线可求得，由，可得，即可求的度数． 【详解】解： 中，，， ， 平分， ， ，， ， ． 3．如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质、三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练运用各性质与定理，结合已知条件逐步推导所需线段长度或角度． （1）先根据三角形面积公式(面积底高)，以为底、为高，结合已知面积和长度求出的长；再由中线性质(中线平分对边)，得为的一半，进而求出的长； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数；再由角平分线性质(角平分线平分角)，得为的一半；接着在中，利用直角三角形两锐角互余求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； （2）∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)求的度数（用含α、β的式子表示）； (2)若，求β的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，根据，列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵是中边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴． 【考点9】三角形的内角有关计算 1．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质．根据三角形外角性质求出，再根据三角形外角的性质，可求出的大小，根据，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴ ， 故选：B． 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．由平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，轴对称的性质． 由三角形的内角和求出，再由折叠得到，进而平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠得到， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为： 5．如图，在中，D是上一点，．求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角定理，解得的关键是设未知数，构建方程求解． 根据题意，设，则，，再利用求解即可． 【详解】解：设，则（三角形外角定理）， 则， ， 解得， ． 【考点10】三角形的外角有关计算 1．如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴． ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，已知点、、在一条直线上，若，，则 度． 【答案】25 【分析】本题考查三角形的外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：∵点、、在一条直线上， ∴为的一个外角， ∴， ∴； 故答案为：25． 3．如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解： ， ， 又， ， 故答案为：． 4．悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，延长交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，，由此等量代换即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点E，延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键． 根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解． 【详解】如图； ，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据题意先得到，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 根据三角形外角性质，， 所以的度数为． 故答案为：． 【考点11】三角形的内外角与角平分线计算综合 1．如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 根据和的平分线，相交于点G，可知，，根据得到，即可求出的度数． 【详解】的平分线相交于点， ， ， ， ． 故选C． 2．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可． 【详解】解： ，分别为的内、外角平分线， ，， 设，， ，， 又 ，分别为的内，外角平分线， ，， ，， 又， ， 又， ， ， 故答案为：． 3．如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】先根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，进一步求出后，即可求解． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质和角平分线定义，解题关键是正确进行角的和差转化． 4．和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)与的关系：；证明见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质的运用，三角形内角和定理应用，角平分线性质，解题时注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）依据三角形外角性质，即可得到，，进而得出； （2）依据、分别是与的角平分线，即可得出，，再根据三角形内角和定理，即可得到． 【详解】（1）证明：如图（3），延长交于， 是的外角， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：与的关系：， 证明：、分别是与的角平分线， ，， ∴ ． 5．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形 【考点1】三角形的识别与有关概念 【考点2】三角形的个数问题 【考点3】三角形的分类 【考点4】构成三角形的条件 【考点5】三角形的稳定性及应用 【考点6】根据三角形中线求长度 【考点7】根据三角形中线球面积 【考点8】与三角形的高有关计算问题 【考点9】三角形的内角有关计算 【考点10】三角形的外角有关计算 【考点11】三角形的内外角与角平分线计算综合 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 知识点 6 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 知识点7 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【考点1】三角形的识别与有关概念 1．下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 3．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A． B． C． D． 【考点2】三角形的个数问题 1．图中三角形的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，，为上一点，则以为高的三角形的个数是（   ）． A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，以为边的三角形的个数是 ． 【考点3】三角形的分类 1．如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2．如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．一个三角形的三个内角中最小的一个是，那么这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．如图，这是一个三角形裁剪后剩余的部分图形，则原三角形不可能为（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 5．在中，的补角是，则是 三角形． 【考点4】构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，首尾相接能组成三角形的是（   ） A．3，4，5 B．1，2，3 C．4，5，10 D．4，4，9 2．下面各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．5，11，7 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，7，14 3．已知线段，下列长度的两条线段能与组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．现有长度分别为2、3、4、5的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数是（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（   ） A．15米 B．13米 C．1米 D．9米 6．若一个三角形的三边分别为，则其周长的取值范围是 ． 【考点5】三角形的稳定性及应用 1．如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．垂线段最短 D．三角形具有稳定性 2．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．矩形的四个角都是直角 3．如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 4．如图，安装空调一般会采用该方法固定，其依据的几何原理是 ． 【考点6】根据三角形中线求长度 1．在中，边上的中线把的周长分成24和12的两部分，则的长是（   ） A．16 B．8 C．16或8 D．8或4 2．如图，在中，，为边上的中线，则与的周长差为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．6 3．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大，则 ． 【考点7】根据三角形中线球面积 1．如图，在中，是边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 2．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是 ． 3．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ． 4．如图，三角形的面积为，，，则图中阴影部分的面积为 ． 5．如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 【考点8】与三角形的高有关计算问题 1．在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 2．如图，中，，平分，，，求的度数． 3．如图，在中,为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若的面积为，求的长； (2)当为的平分线时，若，求的度数． 4．如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)求的度数（用含α、β的式子表示）； (2)若，求β的值． 【考点9】三角形的内角有关计算 1．如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点、分别在线段、上，连接、交于点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则为（    ） A． B． C． D． 4．如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于 ． 5．如图，在中，D是上一点，．求的度数．    【考点10】三角形的外角有关计算 1．如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点、、在一条直线上，若，，则 度． 3．如图，在中，D是上一点，E是上一点，相交于点F，，则的度数为 ． 4．悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则的数量关系是 ． 5．一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为 ． 6．将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为 ． 【考点11】三角形的内外角与角平分线计算综合 1．如图，的和的平分线，相交于点G，且，那么的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则 ． 3．如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 4．和相交于点，和相交于点，探究与、、的关系． 小明是这样做的： 解：如图（2）以点为端点作射线， 是的外角，， 同理， ， 即， 小英的思路是：如图延长交于点． (1)按小英的思路完成这一结论． (2)如图（4），中，、分别是与的角平分线，且、相交于点猜想与有怎样的关系，并加以证明． 5．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $