培优02 一元一次方程与实际问题（9种题型10重难点突破）（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

培优02 一元一次方程与实际问题 题型1 行程问题 1）速度和×相遇时间=路程和 2）速度差×追击时间=路程差 3）顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度. 重难点一 相遇问题 1．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）小王从A城到B城，速度是40千米/小时，小兰从B城到A城，速度是30千米/小时，两人同时出发，结果在距A、B两城中点10千米处相遇，求A、B两城间的距离． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题 甲列车从地开往地，速度是60千米/时，乙列车从地开往地，速度是90千米/时，已知，两地相距600千米． (1)若两车同时出发，几小时后两车相遇？ (2)若甲列车先出发2小时后乙列车再出发，则甲列车出发几小时后两车相遇？ (3)若两车同时出发，几小时后两车相距150千米？ 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 4．（24-25七年级上·广东东莞·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 重难点二 追击问题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）一队学生步行去郊外春游，每小时走，学生甲因为有事迟出发，为了赶上队伍，以的速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？ 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）一天，岳悦在翻阅《九章算术》卷第六均输这一章时，发现第一十六题很有意思，他想让班里的同学一起做一做，你有兴趣做吗？ “今有客马日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家视日四分之三．问主人马不休，日行几何．” 7．（22-23七年级上·四川达州·期末）某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 8．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米， 702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． (1)后队出发后多长时间可以追上前队？ (2)后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？ (3)联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 重难点三 航行问题 9．（2024七年级上·全国·专题练习）一轮船往返于A，B两港之间，逆水航行需，顺水航行需，轮船在静水中的平均速度为，求水流的速度． 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）一艘轮船在静水中的速度为，水流速度为，在某两地之间顺流航行比逆流航行少用，则两地之间的路程为多少？ 11．（22-23七年级上·江苏·周测）如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A点逆流航行3小时到达B点后，又继续顺流航行2.5小时后到达C点，总共航行了208千米，已知水流的速度是2千米/时． (1)求游艇在静水中的速度． (2)由于段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需多少时间？ 题型2 和差倍分问题 1）甲是乙的a倍：甲=乙×a 2）甲比乙多1/a：甲=乙×（1+1/a） 3）甲比乙少1/a：甲=乙×（1-1/a） 重难点一 盈不足问题 12．（21-22七年级上·广东广州·期末）一本课外读物共有80页，小明计划用3天时间阅读完．已知小明第一天阅读了x页，第二天阅读的页数比第一天的2倍少30页，第三天阅读的页数比第一天的多20页．求小明这三天分别阅读了多少页． 13．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）两天看完一本书，第一天看了全书多10页，第二天看了全书的少3页．全书一共多少页 14．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州圆满闭幕，中国代表团展现了强大的竞技体育实力，连续11届获得金牌榜第一的好成绩．    (1)居金牌榜第二位的日本比第三位的韩国多得了10枚金牌，中国的金牌数比韩国的金牌数的5倍少9枚，中国、日本、韩国三个国家共获得295枚金牌，求中国获得的金牌数． (2)圆圆查阅包含金、银、铜牌总数的奖牌榜资料后，给同学们编了一个问题：“韩国比日本多得了2枚奖牌，但是韩国奖牌数的2倍还比中国少3枚，_____，求中国获得的奖牌数．” 芳芳得到了正确的结果，解答如下（不完整）： 解：设中国获得了x枚奖牌． 根据题意，得⋯⋯ 解得：． 答：中国获得了383枚奖牌． 请你根据上面的正确结果，帮圆圆在_____中补充一个条件，并帮芳芳补全解答过程． 重难点二 数字问题 15．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）有5个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的多18，五个偶数的和是多少？ 16．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 18．（24-25七年级下·江苏南通·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 19．（23-24七年级上·广东东莞·期末）综合与实践：主题《神奇的幻方》． 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15．    【实践】（1）将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数中，除、2、3、5外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，则x的值为______． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：如图5是某月的月历，某同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是180．该同学的说法对吗？请说明理由． 重难点三 日历问题 20．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 21．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 22．（22-23七年级上·河北廊坊·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数，    (1)用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）； (2)用图2方框圈出四个数的和是32，那么第一个数是___________； (3)用图3斜框圈出的四个数和是42，最大的数是___________； (4)若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍． 题型3 几何问题 观察图形，用含未知数的式子表示图形的边长，通过题目中的已知条件(通常是长或宽对应相等)建立等量关系. 重难点一 长方形镶嵌问题 23．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    24．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积是 ． 25．（23-24七年级上·四川成都·期末）小明和小刚探究将长方形纸板制作成有盖长方体纸盒．如图，长方形中，．小明和小刚用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒．当时，小刚同学方案的底面周长为 ；若小刚和小明两种不同方案所做纸盒的底面周长相等，此时a的值为 ． 26．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）如图，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片均为大小相同的长方形，卡片之间露出了三块正方形（图中阴影部分），每一块正方形的面积为，求每一块卡片的面积？ 重难点二 正方形镶嵌问题 27．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 28．（21-22七年级下·重庆丰都·期末）在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为 ． 29．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如果图中标注为1的正方形边长是5，那么这个完美长方形的周长为 ．    重难点三 一元一次方程与数轴综合 30．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 31．（22-23七年级上·重庆南岸·期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数，16，有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点M表示的数为　　，点Q表示的数为　　． (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． (3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1.5时所对应的t的值． 32．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 重难点四 一元一次方程与角度综合 33．（22-23七年级上·广东深圳·期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线上，，，，．三角板的顶点与另一个三角板的顶点重合在点O处，三角板的边与直线重合，三角板其它的边都在直线的上方． 【实践探究】： （1）如图2，若三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板的边恰好分． ①此时_____秒； ②此时___________； 【解决问题】： （2）如图2，在（1）的条件下，边恰好平分时，同一时刻三角板开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边与边第一次重合？（如图3）请说明理由； 【拓展研究】： （3）如图3，在（2）的条件下，当边与边第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边恰好平分？请说明理由． 34．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于且大于）．    (1)若， ______， ______； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 35．（23-24七年级上·福建福州·期末）点O 在直线上， 在直线 的下方作射线、， 满足（其中）， 将射线绕着点O逆时针旋转得到射线． (1)①如图1， 当时， 直接写出的度数_____； ②若比大，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着 O点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为t，射线是由射线绕O 点逆时针旋转得到，作射线平分，当 为定值时，求t的取值范围及对应的定值． 题型4 配套问题 生活中常见的一些配套组合问题，如螺栓与螺母的配套，盒身与盒底的配套等.解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题. 36．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 37．（21-22七年级上·陕西汉中·期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 38．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 题型5 工程问题 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 总工作量=各单位工作量之和 甲乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率 在工程问题中，一般将工作总量看作单位1. 39．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 40．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 41．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 42．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 题型6 销售问题 利润=售价-进价（成本） 总利润=单件利润×销售量 利润率=（利润÷成本价）×100% 销售额=销售价×销售数量 销售利润=（销售价-成本价）×销售数量 商品打几折就是按照原价的百分之几十出售 43．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 45．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 46．（24-25七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 题型7 方案决策问题 在解决实际问题时，我们常常会遇到合理安排、最优选择等问题，这些都需要通过列方程进行计算、分析和比较，从而找到最优方案. 47．（2024七年级上·全国·专题练习）某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影，票价为每张40元，经车间主任沟通，针对40人以上的团体票，售票员提供了两种优惠方案： 方案一：全体人员打8折； 方案二：5人免票，其他人员打9折． (1)若工厂车间有50名工人，选择哪种方案更优惠? (2)车间主任说：“无论选择哪种方案，要付的钱都一样多．”则该工厂车间有多少名工人? 48．（2024七年级上·河南·专题练习）某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 49．（21-22六年级下·吉林长春·期中）2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 题型8 阶梯计费问题 阶梯收费问题，需要判断出收费区间，再列方程进行解答;如果先解答，那么解答之后需要判断解是否符合题目要求的区间. 50．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是（）时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 51．（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 52．（20-21七年级上·北京海淀·期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 53．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 54．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 55．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 题型9 古代问题 列方程解应用题时，理解题意是关键，一些应用题是以一段生活实际情形、一个典故或者一个游戏编制而成，这类应用题称为情境应用题，解情境应用题时要注意对信息的取舍，从不同的角度提出问题、分析问题，恰当地理解和应用数学知识. 56．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 57．（24-25七年级上·全国·假期作业）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六． 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元．有几人？鸡的价格是多少元？ 58．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 59．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 60．（23-24六年级上·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优02 一元一次方程与实际问题 题型1 行程问题 1）速度和×相遇时间=路程和 2）速度差×追击时间=路程差 3）顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度. 重难点一 相遇问题 1．（24-25七年级上·湖南娄底·开学考试）小王从A城到B城，速度是40千米/小时，小兰从B城到A城，速度是30千米/小时，两人同时出发，结果在距A、B两城中点10千米处相遇，求A、B两城间的距离． 【答案】A、B两城间的距离为140千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A、B两城间的距离为x千米，利用时间=路程÷速度，结合两人相遇时时间相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设A、B两城间的距离为x千米，根据题意得： ， 解得：； 答：A、B两城间的距离为140千米． 2．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题 甲列车从地开往地，速度是60千米/时，乙列车从地开往地，速度是90千米/时，已知，两地相距600千米． (1)若两车同时出发，几小时后两车相遇？ (2)若甲列车先出发2小时后乙列车再出发，则甲列车出发几小时后两车相遇？ (3)若两车同时出发，几小时后两车相距150千米？ 【答案】(1)4小时 (2)小时 (3)3小时或5小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设两车同时出发，小时后两车相遇，根据相遇时，两车行驶的路程之和等于600千米建立方程，解方程即可得； （2）设甲列车出发小时后两车相遇，则甲车行驶的路程为千米，乙车行驶的路程为千米，根据相遇时，两车行驶的路程之和等于600千米建立方程，解方程即可得； （3）设两车同时出发，小时后两车相距150千米，分两种情况：①在两车相遇前，两车相距150千米，②在两车相遇后，两车相距150千米，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设两车同时出发，小时后两车相遇， 由题意得：， 解得， 答：若两车同时出发，4小时后两车相遇． （2）解：设甲列车出发小时后两车相遇， 由题意得：， 解得， 答：甲列车出发小时后两车相遇． （3）解：设两车同时出发，小时后两车相距150千米， ①在两车相遇前，两车相距150千米， 则， 解得； ②在两车相遇后，两车相距150千米， 则， 解得； 答：若两车同时出发，3小时或5小时后两车相距150千米． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期末）周末小明和爸爸来到了一处农场，并体验了农场的骑马项目，马场有一个如图所示的长为的环形跑道，若把跑道从，，，处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从，两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？并说出此时他们在跑道上的具体位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【答案】(1)秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距. 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程． （1）两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； （2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； 【详解】（1）解：设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程． 解得． 小明的路程米， 答：秒后两人首次相遇，此时他们在弯道上，且离B点37.5米的位置； （2）解：设又经过秒后两人两人相距， 依题意得或 解得或． 答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过5秒或45秒时，两人相距； 4．（24-25七年级上·广东东莞·期末）甲、乙两人沿环形跑道散步，已知甲的速度为，乙的速度为，跑道一圈长． (1)若两人同时同地同向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ (2)若两人同时同地反向出发，则多长时间后他们第一次相遇？ 【答案】(1)若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇 (2)若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是关键． （1）设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可； （2）设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇．根据跑道一圈长列方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：设两人同时同地同向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地同向出发，则后他们第一次相遇． （2）解：设两人同时同地反向出发，后他们第一次相遇． 由题意，得 解得 答：若两人同时同地反向出发，则后他们第一次相遇． 重难点二 追击问题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）一队学生步行去郊外春游，每小时走，学生甲因为有事迟出发，为了赶上队伍，以的速度追赶，问该生用多少时间追上了队伍？ 【答案】1小时 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解行程问题中路程、速度、时间的关系，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系是解题的关键．设该生用小时追上了队伍，然后根据：学生甲和队伍的速度之差队伍先行的路程，列出方程，求出该生用多少时间追上了队伍即可． 【详解】解：设该生用小时追上了队伍， 则， 解得， 答：该生用1小时追上了队伍． 6．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）一天，岳悦在翻阅《九章算术》卷第六均输这一章时，发现第一十六题很有意思，他想让班里的同学一起做一做，你有兴趣做吗？ “今有客马日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及与之而还，至家视日四分之三．问主人马不休，日行几何．” 【答案】日行780里 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键；由题意可设主人骑马日行x里，主人发现时，客人已经骑行了里，主人骑马追上客人的时间=主人骑马往返时间，主人骑马追上客人的时间×日行速度=客人已经骑行路程主人骑马追上客人的时间，列方程计算即可． 【详解】解：由题意可知：主人发现时，客人已经骑行了：（里）， 主人骑马往返时间是（日）， 主人骑马追上客人的时间是：（日）， 设主人骑马日行x里，则有： 解得：； 答：日行780里． 7．（22-23七年级上·四川达州·期末）某中学学生步行到郊外旅游，七（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，步行速度为6千米/时：前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑的速度为10千米/时． (1)后队追上前队需要多长时间？ (2)后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是多少？ (3)两队何时相距2千米？ 【答案】(1)后队追上前队需要2小时 (2)20千米 (3)前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设后队追上前队需要x小时，根据路程速度时间列方程求解即可； （2）根据（1）所求结合路程速度时间进行求解即可； （3）分当后队没有出发时，两队相距2千米时，当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，当后队超过前队时，两队相距2千米时，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设后队追上前队需要x小时， 由题意得，， 解得， 答：后队追上前队需要2小时； （2）解：千米， 答；后队追上前队时间内，联络员骑车的路程是20千米； （3）解：设前队出发t小时时，两队相距2千米 当后队没有出发时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队没有超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 当后队超过前队时，两队相距2千米时，则，解得， 综上所述，前队出发小时或2小时或4小时时，两队相距2千米． 8．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）某学校七年级学生组织步行到郊外旅行，701班学生组成前队，速度为每小时4千米， 702班同学组成后队，速度为每小时6千米，前队出发1小时后，后队才出发，同时，后队派出一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，骑车的速度是每小时12千米（队伍长度忽略不计）． (1)后队出发后多长时间可以追上前队？ (2)后队刚好追上前队时，联络员共骑行了多少千米？ (3)联络员出发到他第一次追上前队的过程中，何时联络员离前队的距离与他离后队的距离相等？ 【答案】(1)两小时； (2)； (3)小时． 【分析】（1）本题主要考查一元一次方程的实际应用，解答本题的关键在于找到题目中的等量关系列式求解，根据后队追上前队所走路程一样可列方程． （2）解答本题的关键在于明确联络员骑行的总时间本题即可求解．当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间为后队刚好追上前队的时间，根据（1）追及时间可知，联络员共骑行的距离也即可求出． （3）解答本题的关键在于正确表示出联络员与前后两队伍之间的距离，用前面队伍所走的路程减去联络员所骑行的距离等于联络员骑行的距离减去后面队伍所走的路程，列式求解即可． 【详解】（1）解：设后队追上前队所用时间为小时，则前队被追上时所走时间为小时， 根据“路程=时间速度”，两队伍追上时路程一样，可列方程为： 解得，． ∴后队出发后两小时可以追上前队． （2）∵当后队刚好追上前队时，联络员共骑行的时间等于后队刚好追上前队的时间， ， ∴联络员骑行距离为： ． ∴联络员共骑行了． （3）设联络员出发后小时与前队和后队的距离相等为 ， 联络员出发后小时，前队所走的路程为：； 后队所走的路程为：； 联络员所走的路程为：， 联络员与前队距离为：； 联络员与后队距离为：， 根据联络员与前后队距离相等得到， 解得：， ∴联络员骑行小时后离前队的距离与他离后队的距离相等． 重难点三 航行问题 9．（2024七年级上·全国·专题练习）一轮船往返于A，B两港之间，逆水航行需，顺水航行需，轮船在静水中的平均速度为，求水流的速度． 【答案】水流的速度为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两次航行距离相等建立方程．设水流的速度为，可得到轮船顺水航行的速度为和逆水航行的速度，再根据顺水航行和逆水航行距离相等建立一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水流的速度为，则顺水速度为，逆水速度为． 根据题意，得， 解得． 答：水流的速度为． 10．（2024七年级上·浙江·专题练习）一艘轮船在静水中的速度为，水流速度为，在某两地之间顺流航行比逆流航行少用，则两地之间的路程为多少？ 【答案】两地之间的路程为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．设两地之间的路程为，利用在某两地之间顺流航行比逆流航行少用，列出方程，求出答案． 【详解】解：设两地之间的路程为，根据题意可得： 2， 解得：， 答：两地之间的路程为． 11．（22-23七年级上·江苏·周测）如图，已知箭头的方向是水流的方向，一艘游艇从江心岛的右侧A点逆流航行3小时到达B点后，又继续顺流航行2.5小时后到达C点，总共航行了208千米，已知水流的速度是2千米/时． (1)求游艇在静水中的速度． (2)由于段在建桥，游艇用同样的速度沿原路返回共需多少时间？ 【答案】(1)船在静水中的速度为38千米/小时 (2)游艇用同样的速度原路返回大约需要小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设船在静水中的速度为x千米/小时，则顺流航行速度为千米/小时，逆流航行的速度为千米/小时，根据路程=速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据路程=速度×时间分别算出段的路程，再根据时间=路程÷速度即可得出返回所需时间． 【详解】（1）设船在静水中的速度为x千米/小时，则顺流航行速度为千米/小时，逆流航行的速度为千米/小时，根据题意得： ， 解得：． 答：船在静水中的速度为38千米/小时． （2）由（1）可知，顺流航行速度为40千米/小时，逆流航行的速度为36千米/小时． 段的路程为（千米）， 段的路程为（千米）， 故原路返回时间为：（小时）． 答：游艇用同样的速度原路返回大约需要小时． 题型2 和差倍分问题 1）甲是乙的a倍：甲=乙×a 2）甲比乙多1/a：甲=乙×（1+1/a） 3）甲比乙少1/a：甲=乙×（1-1/a） 重难点一 盈不足问题 12．（21-22七年级上·广东广州·期末）一本课外读物共有80页，小明计划用3天时间阅读完．已知小明第一天阅读了x页，第二天阅读的页数比第一天的2倍少30页，第三天阅读的页数比第一天的多20页．求小明这三天分别阅读了多少页． 【答案】小明第一天阅读了27页，第二天阅读了24页，第三天阅读了29页． 【分析】由于小明第一天阅读了x页，则第二天和第三天分别阅读了（2x-30）、（x+20）页，然后根据本书的总页数是80页，列关于x的方程解答即可． 【详解】解：由于小明第一天阅读了x页，则第二天和第三天分别阅读了（2x-30）、（x+20）页， 由依题意得：x+（2x-30）+（x+20）=80，解得：x=27， 则2x-30=2×27-30=24，x+20=×27+20=29． 答：小明第一天阅读了27页，第二天阅读了24页，第三天阅读了29页． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列代数式、确定等量关系是解答本题的关键． 13．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）两天看完一本书，第一天看了全书多10页，第二天看了全书的少3页．全书一共多少页 【答案】56页 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这本书一共有x页，根据“第一天看了全书多10页，第二天看了全书的少3页”列方程求解，找到相等关系是解题的关键． 【详解】解：这本书一共有x页，根据题意得： ， 解得：， 答：全书一共56页． 14．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）第19届亚洲运动会于2023年10月8日在杭州圆满闭幕，中国代表团展现了强大的竞技体育实力，连续11届获得金牌榜第一的好成绩．    (1)居金牌榜第二位的日本比第三位的韩国多得了10枚金牌，中国的金牌数比韩国的金牌数的5倍少9枚，中国、日本、韩国三个国家共获得295枚金牌，求中国获得的金牌数． (2)圆圆查阅包含金、银、铜牌总数的奖牌榜资料后，给同学们编了一个问题：“韩国比日本多得了2枚奖牌，但是韩国奖牌数的2倍还比中国少3枚，_____，求中国获得的奖牌数．” 芳芳得到了正确的结果，解答如下（不完整）： 解：设中国获得了x枚奖牌． 根据题意，得⋯⋯ 解得：． 答：中国获得了383枚奖牌． 请你根据上面的正确结果，帮圆圆在_____中补充一个条件，并帮芳芳补全解答过程． 【答案】(1)中国获得的金牌数为201枚 (2)中国、韩国和日本共获得奖牌761枚；解题过程见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设韩国获得金牌x枚，则日本获得枚金牌，中国获得枚金牌，根据三个国家共获得295枚金牌列出方程，解方程即可； （2）根据中国获得枚奖牌求出韩国获得奖牌数为（枚），日本获得（枚），则三个国家获得总的奖牌数为（枚），从而可以添加条件中国、韩国和日本共获得奖牌761枚，然后列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设韩国获得金牌x枚，则日本获得枚金牌，中国获得枚金牌，根据题意得： ， 解得：， 则（枚）， 答：中国获得的金牌数为201枚． （2）解：中国获得枚奖牌，则韩国获得奖牌数为：（枚）， 日本获得奖牌数为：（枚）， 三个国家获得总的奖牌数为（枚）， ∴可以补充的条件是中国、韩国和日本共获得奖牌761枚； 设中国获得了x枚奖牌，则韩国获得枚，日本获奖牌数为． 根据题意，得：， 解得：． 答：中国获得了383枚奖牌． 重难点二 数字问题 15．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）有5个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数的和的多18，五个偶数的和是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设最小的那个偶数是，则其他四个偶数分别为，根据第三个数比第一个数与第五个数的和的多18列出方程求解即可． 【详解】解：设最小的那个偶数是，则其他四个偶数分别为， 由题意得，， 解得， 所以这五个偶数分别为， 所以这五个偶数的和为， 答：这五个偶数的和为． 16．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是6，若把个位上的数字与十位上的数字调换位置，那么所得的新数比原数的三倍多6，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为15 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设十位上的数字为，根据个位上的数字与十位上的数字之和是6，新数比原数的三倍多6，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴， ∴原来的两位数为15． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 【答案】245 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设百位上的数字为x，则十位上的数字为，个位上的数字为，根据“位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的” 列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：设百位上的数字为x，则十位上的数字为， ∵各数位上的数的和为11， 所以，个位上的数字为， 根据题意得，， 解得：， ∴百位上的数字为2， 十位上的数字为， 个位上的数字为， 所以，这个三位数为245． 18．（24-25七年级下·江苏南通·期中）一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是9，将十位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原数的2倍少9，求原来的两位数． 【答案】36 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决数字问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，表示出新数和原来的数，根据两个数的关系列出方程进行求解即可． 【详解】解：假设原来的两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， ∴该数为，新数为， 根据题意得， 解得， ∴原来的两位数为． 19．（23-24七年级上·广东东莞·期末）综合与实践：主题《神奇的幻方》． 【阅读】幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15．    【实践】（1）将、、0、1、2、3、4、5、6这9个数中，除、2、3、5外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方． 【提升】（2）如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，则x的值为______． 【拓展】（3）将幻方迁移到月历：如图5是某月的月历，某同学说：带阴影的方框中的9个数的和可以是180．该同学的说法对吗？请说明理由． 【答案】（1）4，6，，1，0；（2）3；（3）错误，详见解析 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练理解题意是解题的关键． （1）根据题意填入数字即可； （2）根据题意得到即可得到答案； （3）设正中间的数为x，将九个数字分别表示出来即可． 【详解】解：（1）如图所示：    （2） 解得； （3）错误，理由如下： （设正中间的数为x，则该9个数之和为： 若则， 而20在该月历的最右侧，故该9个数之和不可能是180 重难点三 日历问题 20．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 21．（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是解决问题的关键． （1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68． 【详解】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ∵a必须为整数， ∴这5个数的和不能等于68． 22．（22-23七年级上·河北廊坊·期中）数学科技小组的同学利用所学的知识探究日历的奥秘． 在某月的日历上圈出个数，    (1)用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为___________（用含字母的式子表示）； (2)用图2方框圈出四个数的和是32，那么第一个数是___________； (3)用图3斜框圈出的四个数和是42，最大的数是___________； (4)若干个偶数按每行8个数排成图4所示，同样用图3斜框圈出4个数，用你学的数学知识说明：这四个数的和是8的整数倍． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)见解析 【分析】（1）根据日历表上下两个数相差7即可得到答案； （2）设第一个数是x，表示出其余三个数，根据四个数的和是32列方程，解方程即可得到答案； （3）设最大的数是x，表示出其余三个数，根据四个数和是42列方程，解方程即可得到答案； （4）设这四个数中最小的数是n，表示出其余三个数，得到，根据且n为偶数分析即可得到结论． 【详解】（1）解：由日历可知，用图1方框圈2个数，?位置的数可表示为， 故答案为： （2）设第一个数是x， 则， 解得， 即第一个数是4， 故答案为：4 （3）解：设最大的数是x，则 ， 解得， 即最大的数是， 故答案为： （4）设这四个数中最小的数是n， 则， ∵且n为偶数， ∴一定是正整数， ∴是8的整数倍． 即用图3斜框圈出4个数，则这四个数的和是8的整数倍． 【点睛】此题考查了列代数式、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，根据题意正确列出代数式和方程是解题的关键． 题型3 几何问题 观察图形，用含未知数的式子表示图形的边长，通过题目中的已知条件(通常是长或宽对应相等)建立等量关系. 重难点一 长方形镶嵌问题 23．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）如图，是由8个形状、大小都相同的小长方形无缝拼接而成的大长方形，如果大长方形的周长是20，那么每个小长方形的周长是 ．    【答案】8 【分析】本题考查了利用一元一次方程组解决图形面积的问题，由图可得出小长方形的长是宽的三倍，再设小长方形的宽为，根据题意列出方程求解，即可解题． 【详解】解：由图可知：小长方形的长是宽的三倍，设小长方形的宽为，故小长方形的长为，可得：， 解得：， 小长方形的宽为，长为， 故小长方形的周长为：， 故答案为：8． 24．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在长方形中，放入个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据图形设小长方形的长为 ，则宽为 ，然后根据为一个小长方形的长加上三个小长方形的宽列出方程，求出后，再用大长方形的面积减去六个小长方形的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长为 ，则宽为 ， 由题意得：， 解得：， 即小长方形的长为 ，宽为 ， 阴影部分图形的总面积为：， 故答案为：． 25．（23-24七年级上·四川成都·期末）小明和小刚探究将长方形纸板制作成有盖长方体纸盒．如图，长方形中，．小明和小刚用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒．当时，小刚同学方案的底面周长为 ；若小刚和小明两种不同方案所做纸盒的底面周长相等，此时a的值为 ． 【答案】 14 5 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，图形的折叠与剪拼，找到原图形与折叠剪拼后新图形之间边长的数量关系是解题的关键． 根据小刚的方案，设，则，根据题意，列方程，解方程求得的值，即可求得底面的周长； 设，根据小明的方案，，得到，解得：，得出底面周长为：，根据小刚的方案，，，解得：，得到底面周长为：，若两种不同方案所做纸盒的底面周长相等，则，解出的值即可； 【详解】解：设，如图， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴底面周长为：； 设， 根据小明的方案，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴底面周长为：， 如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴底面周长为：， 若两种不同方案所做纸盒的底面周长相等，则 ， 解得：， ∴两种不同方案所做纸盒的底面周长相等，此时． 故答案为：，5． 26．（22-23七年级上·内蒙古包头·期末）如图，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片均为大小相同的长方形，卡片之间露出了三块正方形（图中阴影部分），每一块正方形的面积为，求每一块卡片的面积？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小长方形的长为，根据大长方形的对边相等，得到小长方形的宽的长，再根据正方形的面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，由图可知，小长方形的宽为：，则：小正方形的边长为， ∵每一块正方形的面积为， ∴每一块正方形的边长为：， ∴， ∴， ∴， ∴每一块卡片的面积为． 重难点二 正方形镶嵌问题 27．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米． 【答案】130 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可． 【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米， 根据长方形展板上下对边相等，得， 解得， 展板的长是（米） ，展板的宽是（米）， 长方形展板的面积是（平方米）． 故答案为：130． 28．（21-22七年级下·重庆丰都·期末）在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为 ． 【答案】5 【分析】设正方形纸板的边长为，则，，根据区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大列方程即可得到答案． 【详解】解：设正方形纸板的边长为，则，， 区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大， ， 解得， 正方形纸板的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 29．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，1925年数学家莫伦发现了世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形．如果图中标注为1的正方形边长是5，那么这个完美长方形的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，设第2个正方形的边长为，根据图形分别表示出10个正方形的边长，根据长方形的对边相等求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，    设第2个正方形的边长为， 则第3个正方形的边长为， 第4个正方形的边长为， 第5个正方形的边长为， 第6个正方形的边长为， 第7个正方形的边长为， 第10个正方形的边长为， 第8个正方形的边长为 第9个正方形的边长为 根据长方形的对边相等，可得 解得： ∴长方形的周长为, 故答案为：． 重难点三 一元一次方程与数轴综合 30．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动． 【问题探究】（1）点C，D的速度分别是， ①若，当动点C，D运动了2s时，求的长度； ②若经过t秒，点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，求t的值； 【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用． （1）①先根据线段的和差计算，再根据运动时间得出、，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出，再根据线段的中点得出，然后根据列方程求解即可得出答案； （2）设运动时间为，则，得出，再根据线段的和差及等量代换得出，从而得出答案． 【详解】（1）① C，D运动了 ； ②根据题意得， 点C为的中点，点D为的中点 ； （2）设运动时间为，则 ． 31．（22-23七年级上·重庆南岸·期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数，16，有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)当时，点M表示的数为　　，点Q表示的数为　　． (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． (3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1.5时所对应的t的值． 【答案】(1)8， (2)或2 (3)5.5或8.5或18.25或19.75 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t的代数式表示点运动后所表示的数． （1）当时，根据起点位置以及运动方向和运动速度，即可得点M表示的数为8、点Q表示的数为； （2）当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是，，此时，当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， （3）当从A向C运动时，或，当从C向A运动时，或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意，∵， ∴当时，点M表示的数为8； ∵， ∴当时，点Q表示的数为； 故答案为：8，； （2）解：当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时 当时，Q表示的数是，P表示的数是，M表示的数是， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 此时， ∴当时，点M表示的数是或2； （3）解：当从A向C运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时，Q表示的数为，P表数为，M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1.5 则 或， 解得或， 由 得， ∴当时，与的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q表示的数是1， 再过（秒），Q到达C，此时， 则M所在点表示的数是，N所在点表示的数4， 当从C向A运动时， 时，与开始有重合部分，有重合部分时， Q表示的数为，表示的数为， M表示的数为，N表示的数是， 若线段和重合部分长度为1.5， 或， 解得或， ∴重合部分长度为1.5时所对应的t的值是5.5或8.5或18.25或19.75． 32．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）已知：如图数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)点A表示的有理数是________，点C表示的有理数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)当________秒时，P、B两点之间相距10个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以1个单位/秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位/秒和4个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为一个定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)5或15 (3)存在，，定值为 【分析】对于（1），设点B表示的数为x，则点A表示的数为，再两点之间的距离可得，求出解即可，然后根据，可知点C表示的有理数，最后根据动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒，可得点P表示的数； 对于（2），分两种情况：当点P在点B左边时和当点P在点B右边时，分别表示，再根据P、B两点之间相距10个单位长度，列出方程，求出解即可； 对于（3），分别表示出，再根据等于，结合题意求出答案即可． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距20个单位长度， ∴， 解得， ∴点A表示的有理数是；点B表示的有理数是10． ∵， ∴点C表示的有理数是． ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为t秒， ∴点P表示的数是． 故答案为：； （2）当点P在点B左边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得； 当点P在点B右边时，， ∵P、B两点之间相距10个单位长度， ∴， 解得， ∴当或15秒时，P、B两点之间相距10个单位长度. 故答案为：5或15； （3）存在常数m，使得为一个定值． 理由如下： 由题意可知，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴ ， ∴ ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，弄清并表示线段的长是解题的关键． 重难点四 一元一次方程与角度综合 33．（22-23七年级上·广东深圳·期末）【综合探究】：如图1，一副三角板如图所示放置在直线上，，，，．三角板的顶点与另一个三角板的顶点重合在点O处，三角板的边与直线重合，三角板其它的边都在直线的上方． 【实践探究】： （1）如图2，若三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，经过t秒时，三角板的边恰好分． ①此时_____秒； ②此时___________； 【解决问题】： （2）如图2，在（1）的条件下，边恰好平分时，同一时刻三角板开始也绕点O以每秒的速度按相同方向旋转，那么再经过多长时间边与边第一次重合？（如图3）请说明理由； 【拓展研究】： （3）如图3，在（2）的条件下，当边与边第一次重合时，两个三角板同时按顺时针方向再次转动一周后停止，请问两个三角板再次转动后，经过多少秒，边恰好平分？请说明理由． 【答案】（1）①5；②，；（2）秒，理由见解析；（3）经过或秒，边恰好平分，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线，角度的转换，一元一次方程的应用．根据题意确定运动过程中的等量关系是解题的关键． （1）①根据，可得，计算求解即可；②由题意知，，计算求解，然后转换成分即可； （2）设再经过秒边与边第一次重合，则转过的角度为，转过的角度为，，依题意得，，计算求解即可； （3）由题意知，旋转一周用时秒，旋转一周用时秒，秒后停止旋转，继续旋转，由题意知，分停止旋转前，停止旋转后两种情况下，边恰好平分，依题意列方程，计算求解即可． 【详解】（1）①解：∵边恰好分， ∴， 依题意得，， 解得，， 故答案为：5； ②解：由题意知，， 故答案为：，； （2）解：再经过秒边与边第一次重合，理由如下： 设再经过秒边与边第一次重合，则转过的角度为，转过的角度为，， 依题意得，， 解得，， ∴再经过秒边与边第一次重合； （3）解：经过或秒，边恰好平分，理由如下： 由题意知，旋转一周用时秒，旋转一周用时秒， ∴秒后停止旋转，继续旋转， 由（2）可知，边与边第一次重合时，， 设经过秒后，边恰好平分， 由题意知，分停止旋转前，停止旋转后两种情况下，边恰好平分， 当停止旋转前，则转过的角度为，转过的角度为，恰好平分时，，如图4， 依题意得，， 解得 ，； 当停止旋转，则转过的角度为，转过的角度为，，，如图5， 依题意得，， 解得，； 综上所述，经过或秒，边恰好平分． 34．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期末）如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于且大于）．    (1)若， ______， ______； (2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值． 【答案】(1)，； (2)的值不会随着的变化而变化， 理由见解析； (3)76或者 【分析】（1）由周角求出，根据求得，，从而求出，再根据角平分线定义求出和，从而可得出结论； （2）设，则，，再用含a的式子表示，，代入可得结论； （3）求出，，分五种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∵， ∴，； ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， 故答案为∶，； （2）解：的值不会随着的变化而变化， 理由如下∶ 设， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵射线，分别平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不会随着的改变而改变； （3）解：，， 且题目中所出现的角均小于且大于， 当， （）时，    ∵， ∴， 此时，无解； 当， （）时，    ∵， ∴， 解得，； 当， （），    ∵， ∴， 此时无解． 当， （），    ∵， ∴， 解得：． 当， （），    ∵， ∴， 此时无解． 综上：t的值为76或者． 【点睛】本题考查角平分线的定义、角的和差以及一元一次方程在几何方面的运用，是学习方程之后接触平面几何中一道典型的数型结合题，有利于对数学学科本质的认识．在计算时易出错不会用一个式子代入表示另一个式子，隐含了数学消元思想，熟练掌握各知识点是解题的关键． 35．（23-24七年级上·福建福州·期末）点O 在直线上， 在直线 的下方作射线、， 满足（其中）， 将射线绕着点O逆时针旋转得到射线． (1)①如图1， 当时， 直接写出的度数_____； ②若比大，求出的值； (2)如图2，若，射线从开始绕着 O点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为t，射线是由射线绕O 点逆时针旋转得到，作射线平分，当 为定值时，求t的取值范围及对应的定值． 【答案】(1)①；②或或 (2)当时，，是定值 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）①根据题意并结合图形可得，代入数据计算即可； ②分当，当时，当时，当时，四种情况画出图形讨论求解即可； （2）分当时， 当时，两种情况画出图形分别求出即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵， ∴ ， ∴的度数为， 故答案为：； ②当， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，此时，不符合题意； 当时， ∵将射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴， ∵，比大， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，的值为或或； （2）解：①当时，如图， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，不是定值； 当时， ∵射线从开始绕着点以每秒的速度逆时针旋转，射线平分，射线绕着点逆时针旋转得到射线， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，是定值； 综上所述，当时，，是定值． 题型4 配套问题 生活中常见的一些配套组合问题，如螺栓与螺母的配套，盒身与盒底的配套等.解决此类问题的方法是抓住配套比，设出未知数，然后根据配套比列出方程，通过解方程解决问题. 36．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）七年级四班共有学生48人，其中男生人数比女生人数多2人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底26个 (1)七年级四班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男25人，女23人 (2)3人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）设女生人数为x人，则男生人数为人，根据七年级四班共有学生48人列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）设a名男生去支援女生，根据每个盒身匹配2个盒底为等量关系，列出关于a的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设女生人数为x人，则男生人数为人， 根据题意可得：， 解得： 则， 答：七年级四班有男生25人，女生23人． （2）解：设a名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意有：， 整理得：， 解得：， 答：需要3名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 37．（21-22七年级上·陕西汉中·期末）某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工36人，有女工52人 (2)调12名女工帮男工制作盒底 【分析】（1）设该工厂有男工x人，则女工有人，利用总人数是88人列方程求解即可． （2）设调y名女工帮男工制作盒底，利用盒底是盒身的二倍列方程求解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工36人，有女工52人． （2）设调y名女工帮男工制作盒底， 由题意得：， 解得． 答：调12名女工帮男工制作盒底，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，掌握利用等量关系列方程是解题的关键． 38．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某工厂车间有24个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套． (1)求该工厂有多少个工人生产A零件？ (2)工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，求该工厂每日生产的零件总获利多少元？ 【答案】(1)设该工厂有6名工人生产A零件 (2)该工厂每日生产的零件总获利1620元 【分析】本题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解． （1）设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，根据每天生产的A零件和B零件恰好配套列方程解决即可； （2）先求出生产B零件的有工人数，进而列式计算求出结论． 【详解】（1）解：设该工厂有x名工人生产A零件，共生产A零件个，则有名工人生产B零件，共生产B零件个，由题意得： ， 解得：， 答：设该工厂有6名工人生产A零件； （2）由（1）得，生产B零件的有工人人， 每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元， 元， 答：该工厂每日生产的零件总获利1620元． 题型5 工程问题 工作总量=工作时间×工作效率 工作时间=工作总量÷工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 总工作量=各单位工作量之和 甲乙合作效率=甲的工作效率+乙的工作效率 在工程问题中，一般将工作总量看作单位1. 39．（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间． 【答案】小峰打扫了． 【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小峰打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为， 由题意，得：， 解得：， 答：小峰打扫了． 40．（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成． (1)甲队还需多少天才能完成这项工程？ (2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？ 【答案】(1)4天 (2)36000元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可． （2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，， 设甲队还需x天才能完成这项工程， 根据题意，得， 解得， 答：甲队还需4天才能完成这项工程； （2）解： （元）， 答： 完成这项工程共需支付两队36000元． 41．（23-24七年级上·重庆九龙坡·期末）列方程解应用题：甲、乙两个工程队共同承包了一项总长度为5400米的修路工程，原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程，已知乙队平均每天比甲队多施工120米． (1)求甲、乙两个工程队原计划平均每天分别施工多少米？ (2)若甲、乙两个工程队共同施工6天后，因另有紧急任务，乙工程队被调离该工程，剩余部分由甲工程队单独完成．为尽量减少延误工期，甲工程队提高工作效率后继续施工，结果比原计划延迟2天完成整个工程．求甲工程队提高工作效率后平均每天施工多少米？ 【答案】(1)甲原计划每天修，乙原计划每天修 (2)甲工程队提高效率后平均每天施工 【分析】本题考查的是一元次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键． （1）设甲原计划每天修米．则乙为米．利用“原计划由甲、乙两个工程队分别从两端同时开始施工，恰好9天完成整个工程”建立一元一次方程求解即可； （2）设甲提高后速度为米/天，由各部分的工作量之和等于总工作量列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲原计划每天修米．则乙为米． , 解得：, 乙：, 答：甲原计划每天修，乙原计划每天修． （2）设甲提高后速度为米/天 解得： 答：甲工程队提高效率后平均每天施工． 42．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期中）一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费万元；若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费万元． (1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？ (2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？ (3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用 （1）设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元，根据若先请甲工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．列出一元一次方程，解方程即可； （3）分别求出只请一个工程队单独做的施工费，再比较即可． 【详解】（1）解：设甲工程队一周完成的工作量为，则乙工程队一周完成的工作量为， 由题意得：， 解得：， ， 即甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成， 答：甲工程队单独修路需要10周完成，乙工程队单独修路需要15周完成； （2）设甲工程队工作一周需要施工费万元，则乙工程队工作一周需要施工费万元，即万元， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队工作一周需要施工费1.3万元，乙工程队工作一周需要施工费0.8万元； （3）应该选择乙工程队，理由如下： 只请甲工程队单独做，施工费为（万元）， 只请乙工程队单独做，施工费为（万元）， ， 应该选择乙工程队． 题型6 销售问题 利润=售价-进价（成本） 总利润=单件利润×销售量 利润率=（利润÷成本价）×100% 销售额=销售价×销售数量 销售利润=（销售价-成本价）×销售数量 商品打几折就是按照原价的百分之几十出售 43．（2024·海南·中考真题）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽．请依据以下对话，求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价． 【答案】促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设促销活动前每个瘦肉粽的售价为元，则促销活动前每个五花肉粽的售价元， 依题意得， 解得， ， 答：促销活动前每个瘦肉粽的售价为15元，则促销活动前每个五花肉粽的售价10元． 44．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)的值为200 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意． （1）设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个． 则， 解得：， ， 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得：， 答：的值为200． 45．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 46．（24-25七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解应用题： 寒潮来袭，各地气温不断创新低，然而来势汹汹的冷空气，却吹不散人们的消费热情．购置御寒衣物、取暖电器，或是品尝一顿热气腾腾的火锅，成为不少人的入冬“仪式”．全国各地立足自身自然资源优势，将“冷资源”转化为“热经济”．某商店的、两种御寒商品也是深受顾客的喜爱，每件商品的售价为元，利润为元；每件商品的进价为元，利润率为： (1)每件商品的进价为__________元，每件商品的售价为________元； (2)若该商店第一次用元购进了、两种商品，其中商品的件数比商品件数的倍少件，求购进、两种商品各多少件； (3)在（2）的条件下，该商店第二次又购进、两种商品进行销售，与第一次相比，购进商品的件数不变，进价提高了，售价不变并且全部售出；购进商品的件数增加了，进价不变，但每件的售价调整为元，销售一段时间后，商店为了回馈消费者进行打折促销，于是将剩下的件商品打九折并全部售出，若第二次购进的两种商品共获得利润元，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）对于求每件商品的进价，已知商品的售价和利润，根据进价、售价、利润的基本关系“进价售价利润”，直接用售价元减去利润元就可得到进价，对于求每件商品的售价，已知商品的进价和利润率，根据售价与进价、利润率的关系“售价进价”，将进价元乘以就能得到售价； （2）设购进商品的件数为件，因为商品件数与商品件数有明确的数量关系“商品的件数比商品件数的倍少件”，所以商品件数可表示为件，又已知、商品的进价以及总进价，根据“总进价商品进价商品件数商品进价商品件数”这个等量关系列出方程求解 （3）首先明确第一次购进、商品的数量，然后对于第二次购进，商品进价提高了 ，可得出商品新的进价，根据售价不变可求出商品的利润表达式，商品件数增加了，可得出商品新的件数，考虑到有件打九折出售，分别求出正常售价和打折售价情况下商品的利润表达式，最后根据“第二次购进的两种商品共获得利润元”这个等量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：因为每件商品售价为元，利润为元，根据进价售价利润，所以每件商品的进价为：（元）， 因为每件商品进价为元，利润率为，根据售价进价，所以每件商品的售价为：（元）， 故答案为：，； （2）解：设购进商品的件数为件，则商品件数可表示为件， 已知商品进价为元，商品进价为元，且第一次用元购进了、两种商品，根据题意得： ， 解得：， ， 所以第一次购进商品件，商品件； （3）解：由（2）得第一次购进商品件，商品件， 第二次购进商品的件数不变，进价提高了，则商品的进价为元，售价为元，利润为元， 第二次购进商品的件数增加了，则商品的件数为件，进价为元，售价为元，利润为元， 已知第二次购进的两种商品共获得利润元，根据题意得： ， 解得：． 题型7 方案决策问题 在解决实际问题时，我们常常会遇到合理安排、最优选择等问题，这些都需要通过列方程进行计算、分析和比较，从而找到最优方案. 47．（2024七年级上·全国·专题练习）某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影，票价为每张40元，经车间主任沟通，针对40人以上的团体票，售票员提供了两种优惠方案： 方案一：全体人员打8折； 方案二：5人免票，其他人员打9折． (1)若工厂车间有50名工人，选择哪种方案更优惠? (2)车间主任说：“无论选择哪种方案，要付的钱都一样多．”则该工厂车间有多少名工人? 【答案】(1)方案一 (2)该工厂车间有45名工人． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，读懂题意并根据已知得出关于x的方程是解题的关键． （1）根据题意分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题； （2）由题意设该工厂车间有名工人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 方案一的花费为（元）； 方案二的花费为（元）． 因为，所以选择方案一更优惠； （2）解：设该工厂车间有名工人， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂车间有45名工人． 48．（2024七年级上·河南·专题练习）某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，下图是1班班长与售票员咨询的对话： (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班的学生人数为，3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问3班有多少人？ 【答案】(1)704元 (2)44人 (3)45人 【分析】本题考查有理数的乘法运算，一元一次方程的实际运用，解题的关键在于根据题意找出等量关系建立方程并求解． （1）根据题意列式计算即可； （2）设2班有人，根据“购票费用为702元，”列出方程求解，即可解题； （3）根据“无论选择哪种方案要付的钱是一样”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解： （元）． 答：1班购票需要704元． （2）解：设2班有人， 由题意，得， 解得． 答：2班有44人． （3）解：因为3班有人， 由题意，得， 解得． 答：3班有45人． 49．（21-22六年级下·吉林长春·期中）2025年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长．某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价160元/件的某款运动速干衣和20元/双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案A：买一件运动速干衣送一双运动棉袜； 方案B：运动速干衣和运动棉袜均按9折付款． 某户外俱乐部准备购买运动速干衣30件，运动棉袜x双（）． (1)若该户外俱乐部按方案A购买，需付款______元（用含x的代数式表示）；若该户外俱乐部按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示）． (2)若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算； (3)当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同． 【答案】(1)， (2)方案A (3)双 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式． （1）根据两种不同的优惠方案列出代数式即可； （2）将分别代入（1）所列代数式计算比较即可； （3）根据“两种方案付款相同”列出方程并解答． 【详解】（1）解：按方案A购买，需付款：元， 按方案B购买，需付款：元， 故答案为：，； （2）解：当时， 方案A： （元）． 方案B：（元）． ∵， ∴按方案A购买较为合算； （3）解：根据题意，得． 解得． 答：当购买运动棉袜双时，两种方案付款相同． 题型8 阶梯计费问题 阶梯收费问题，需要判断出收费区间，再列方程进行解答;如果先解答，那么解答之后需要判断解是否符合题目要求的区间. 50．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）暑假期间，某研学社组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交1600元后，每人收费320元； 方案二：5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是（）时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当参加研学的总人数是90时，采用哪种方案更省钱？并请说明理由； (3)当参加研学的总人数是多少人时，采用两种方案的收费是一样的． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)采用方案一更省钱，理由见解析 (3)当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的 【分析】本题考查了列代数式和求代数式的值． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）求出当时，方案一和方案二的费用，通过比较确定哪种方案更省钱； （3）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）采用方案一更省钱， 理由：当参加研学的总人数是90时，即， 方案一共收费：； 方案二共收费：， ，采用方案一更省钱； （3）当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 51．（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1) (2)上交水费元 【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键； （1）当用水16吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解． 【详解】（1）解：当用水16吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水25吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）解：（元）； 答：小王家9月份用水36吨，应上交水费元． 52．（20-21七年级上·北京海淀·期末）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准： 每户每月用电量 不超过210度 超过210度（超出部分的收费） 收费标准 每度元 每度元 (1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：　　； (2)小林家6月份用电度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：　　； (3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量． 【答案】(1) (2) (3)小林家在11月份的用电量为305度． 【分析】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用． （1）由 可得此时单价为每度元，利用总价等于单价乘以数量即可得到答案； （2）由小林家月份用电 度，可得此时分两段计费，其中度每度元，超过部分度，每度元，从而可得答案； （3）设小林家在月份的用电量为度，由，可得，再列方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴小林家4月份应付的电费(元)． 故答案为：90； （2）解：∵小林家6月份用电度， ∴小林家6月份应付的电费元， 故答案为：； （3）解：设小林家在11月份的用电量为x度， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：小林家在11月份的用电量为305度． 53．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）移动公司推出A、B两种话费与流量套餐，套餐详情如表． 月基本费/元 主叫限定时长（min） 主叫超时费（元/min） 被叫 免费数据流量（） 流量超额费（元/） 套餐A 79 200 免费 15 3 套餐B 99 300 免费 20 2 套餐补充说明：①月结话费月基本费主叫超时费流量超额费： ②流量超额后以为单位计费（例如：套餐A流量超额，需另付元）． (1)若贝贝的爸爸使用套餐A，10月主叫时长为300分钟，使用的流量为，求他的月结话费为多少？ (2)若贝贝的爸爸11月份主叫时长为350分钟，使用的流量为（），贝贝通过计算发现，按A、B两种套餐计费的月结话费刚好相同，求a的值： (3)若贝贝的爸爸12月份主叫时长不足200分钟，请你根据他流量使用情况计算说明选用哪种套餐更省钱． 【答案】(1)元 (2) (3)当使用流量小于时，使用A套餐更省钱；当使用流量等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于时，使用B套餐更省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）根据所给的收费标准列式计算即可； （2）分别计算出两种方式的收费，再根据费用相同建立方程求解即可； （3）当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元，则选择套餐A更省钱；当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则，解得，则当时，选择套餐A更省钱；当时，两种套餐一样省钱；当时，选择套餐B更省钱；据此可得答案． 【详解】（1）解： 元， ∴他的月结话费为元； （2）解；由题意得，， 解得； （3）解：设贝贝的爸爸使用流量， 当时，套餐A的费用为79元，套餐B的费用为99元， ∵， ∴选择套餐A更省钱； 当且套餐A的费用和套餐B的费用相同时，则， 解得， ∴当时，选择套餐A更省钱； 当时，两种套餐一样省钱； 当时，选择套餐B更省钱； 综上所述，当使用流量小于时，使用A套餐更省钱；当使用流量等于时，使用两种套餐一样省钱；当使用流量大于时，使用B套餐更省钱． 54．（24-25七年级上·上海宝山·期中）2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元． (1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是___________元． (2)小丽打车去外婆家，行程公里，（），那么出租车的费用是多少元？（用含的代数式表示）； (3)如果打车的费用为54.8元，那么小丽去外婆家的路程是多少公里？ 【答案】(1)29，47.6 (2) (3)18 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题、列代数式等知识； （1）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用超过15公里的费用，代入数据计算即可； （2）利用支付的车费起步价超过3公里并且不超过15公里的费用，列出代数式即可； （3）根据打车的费用为54.8元，建立方程求得答案即可． 【详解】（1）解：路程是9公里，那么车费是：（元）， 路程是16公里，那么车费是：（元）， 故答案为：29，47.6； （2）解：∵， ∴出租车的费用（元）， 答：出租车的费用是元； （3）解：设小丽去外婆家的路程是x公里， ∵当，打车的费用， ∴，则，解得， 答：小丽去外婆家的路程是18公里． 55．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）某市积极推行农村医疗保险制度，制定了参加医疗保险的农民医疗费用报销规定，享受医保的农民可在定点医院就医，在规定的药品品种范围内用药，由患者先垫付医疗费用，年终到医保中心报销．医疗费的报销比例标准如下表所示： 费用范围 500元以下（含500元） 超过500元且不超过10000元的部分 超过10000元的部分 报销比例标准 不予报销 (1)甲农民一年的实际医疗费为4000元，则按标准报销的金额为　　元，乙农民一年的实际医疗费为13000元，则按标准报销的金额为　　元． (2)设某农民一年的实际医疗费为x元（），按照标准报销的金额为多少元？ (3)若某农民一年内自付医疗费为3200元（自付医疗费实际医疗费按标准报销的金额），则该农民当年实际医疗费为多少元？ 【答案】(1)2450；9050； (2) (3)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据所给报销标准列式计算即可； （2）根据所给报销标准列式计算即可； （3）设该农民当年实际医疗费为y元，先证明，再根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：元，元， 故答案为：2450；9050； （2）解：元， ∴按照标准报销的金额为元； （3）解：设该农民当年实际医疗费为y元， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：该农民当年实际医疗费为元． 题型9 古代问题 列方程解应用题时，理解题意是关键，一些应用题是以一段生活实际情形、一个典故或者一个游戏编制而成，这类应用题称为情境应用题，解情境应用题时要注意对信息的取舍，从不同的角度提出问题、分析问题，恰当地理解和应用数学知识. 56．（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 【答案】小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 57．（24-25七年级上·全国·假期作业）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六． 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元．有几人？鸡的价格是多少元？ 【答案】9人；70元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数元元=总人数元元，设一共有x人，列方程为，然后解出方程即可． 【详解】解：设一共有x人．根据题意得： ， 解得， ∴（元） 答：有9人；鸡的价格是70元． 58．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． 【详解】解：设丢番图的年龄是x岁， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：丢番图这一生的年龄是84岁． 59．（22-23七年级上·辽宁抚顺·期末）我国古代名著《增删算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴的玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数． 【答案】牧童人数为人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用—古代问题：设竹有x竿，根据每人6竿，多14竿，可知有人，根据每人8竿，恰好用完可知有人，再根据人数固定即可列出方程． 【详解】解：依题意，设竹有x竿， 解得 则（人） ∴牧童人数为人． 60．（23-24六年级上·山东威海·期末）我国古代有很多著名的典型数学问题，请列一元一次方程解下列应用题． ①周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． ②《孙子算经》是我国古代的重要数学著作，其中记载的“百鹿入城”问题很有趣．原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？其大意为：现在有100头鹿进城，每家领取一头后还有剩余，剩下的鹿每三家分一头，则恰好取完．问城中共有多少户人家？ 【答案】①这个两位数为36；②75户 【分析】本题考查了一元一次方程的应用； ①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“个位上的数字的6倍正好等于这个两位数”列方程求出x即可； ②设城中共有户人家，根据“100头鹿，每家领取一头后，剩下的鹿每三家分一头，恰好取完”列方程求解即可． 【详解】①解：设十位上的数字为，则个位上的数字为， 根据题意得：， 解得， 则， 答：这个两位数为36； ②解：设城中共有户人家， 根据题意得：， 解得， 答：城中共有75户人家． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $