专题03 一元二次方程的应用 十类题型（专项训练）数学青岛版九年级上册

专题03 一元二次方程的应用 （原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、传播问题 1 题型二、增长率问题 2 题型三、与图形有关的问题 2 题型四、数字问题 3 题型五、营销问题（常考点） 5 题型六、动态几何问题（难点） 5 题型七、工程问题（重点） 7 题型八、行程问题 8 题型九、图表信息题 9 题型十、握手、循环赛问题 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、传播问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 2．有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（  ） A． B． C． D． 3．某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 4．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 5．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 题型二、增长率问题 6．某村2022年粮食产量为8000吨，2024年达9800吨，设年增长率为，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则依据题意可列方程 ． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价的百分率为 ．（结果精确到） 10．随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，则每件成本的平均降低率是多少？ 题型三、与图形有关的问题 11．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 13．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 14．一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高是，表面积是．这个包装盒的底面半径是多少厘米？ 15．软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 题型四、数字问题 16．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 17．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 18．已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 19．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．    20．数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题： 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“※”的个数为__________； （2）第n个图案中“”的个数为__________； 【规律应用】 （3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 题型五、营销问题 21．某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： (1)每天可销售 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示） (2)为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？． 22．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 23．电瓶车是重要的出行工具之一．交警部门提醒市民“骑车戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量后发现，此种品牌头盔如果每个盈利元，月销售量为个．若在此基础上，每个涨价元，则月销售量将减少个．若要使月销售利润达到元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个应涨价多少元? 24．某公司向厂家订购两款洗手液共箱．已知购买款洗手液1箱进价为元，在此基础上，所购买的款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购箱款洗手液．款洗手液的进价为每箱元，设该公司购买款洗手液箱，若订购这批洗手液的总进价为元，则该公司订购了多少箱款洗手液？ 25．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． (1)求第一批购入A、B两款头盔的数量； (2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 题型六、动态几何问题 26．如下图所示，一根木棍垂直平分柱子，，．一只老鼠由柱子底端点以的速度向顶端点爬行；同时，另一只老鼠由点以的速度沿木棍爬行．当老鼠在线段上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点组成的三角形的面积为？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 27．如图，为矩形的四个顶点，．动点分别从点同时出发，点P沿以的速度向点B移动，直到到达点B时停止，点Q沿以的速度向点D移动．经过几秒，点P和点Q之间的距离为？ 28．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 29．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 30．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型七、工程问题 31．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 32．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 33．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 34．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 35．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 题型八、行程问题 36．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 39．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 40．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 题型九、图表信息题 41．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    42．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 43．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 44．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 45．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型十、握手、循环赛问题 46．（24-25九年级上·福建福州·期末）城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 47．某职业学校，“礼仪小姐”培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 49．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 50．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ x 1．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 5．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 6．（2025·云南红河·三模）某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 8．（2025·湖北·二模）“狗脚”是湖北黄冈的传统特色小吃，因形似狗脚而得名，色泽金黄，松酥香甜，通常用白面粉、糖稀、红糖、麻油、五香和苏打合面，贴放在炉内烘坑上烘烤而成．某商店销售“狗脚”，通过分析销售情况发现，“狗脚”的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表． 销售单价x（元/盒） 16 13 日销售量y（盒） 400 700 已知销售单价不低于成本价且不高于20元/盒，每天销售“狗脚”的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． (1)直接写出“狗脚”的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式； (2)东坡庙会活动期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当“狗脚”每盒定价为多少元时，商店日销售纯利润为1480元？ 9．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 10．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用 （解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、传播问题 1 题型二、增长率问题 3 题型三、与图形有关的问题 4 题型四、数字问题 6 题型五、营销问题（常考点） 8 题型六、动态几何问题（难点） 11 题型七、工程问题（重点） 16 题型八、行程问题 18 题型九、图表信息题 21 题型十、握手、循环赛问题 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、传播问题 1．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（　　） A．1轮后有个人患了流感 B．第2轮又增加个人患流感 C．依题意可得方程 D．不考虑其他因素经过三轮传染，一共会有1584人患流感 【答案】D 【解析】解：∵有一人患了流感，且每轮传染中平均每人传染了x个人， ∴1轮后有个人患了流感，结论A不符合题意； ∴第1轮传染中有x人被传染，第2轮传染中有人被传染，结论B不符合题意； 根据题意得：，即，结论C不符合题意； 解得：（不符合题意）， ∴不考虑其他因素经过三轮一共会有人感染，结论D符合题意． 故选：D． 2．有2个人患了流感，经过两轮传染后共有162个人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人，则可列方程（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：第一轮传染：初始2人，每人传染x人，新增人．总患者数为． 第二轮传染：此时有人，每人再传染x人，新增人．总患者数为． 根据题意，两轮后总患者数为162，因此方程为：． 故选：C． 3．某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌． 【答案】 【解析】解：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 【答案】 【解析】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 5．卫生部门为控制流感的传染，对某种流感研究发现：若1人患了流感，经过两轮传染后共有225人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了14人． 【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 依题意得， 即， 解得：或（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了14人． 题型二、增长率问题 6．某村2022年粮食产量为8000吨，2024年达9800吨，设年增长率为，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：2022年粮食产量为8000吨，2023年的产量为吨，2024年的产量为吨，根据题意，2024年产量为9800吨， 故方程为：， 故选：A． 7．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两个月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意得：． 故选：A． 8．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某商品售价为元，两次降价后售价为元，若设每次降价的百分率为，则依据题意可列方程 ． 【答案】 【解析】解：依据题意可列方程为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3600元降到了2500元，则平均每月降价的百分率为 ．（结果精确到） 【答案】 【解析】解：设平均每月降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 故答案为： 10．随着技术的发展，某工厂生产的零部件原来的成本是每件300元，连续两次降低成本后，现在的成本是每件192元，则每件成本的平均降低率是多少？ 【答案】 【解析】解：设每件成本的平均降低率是x， 根据题意可得：， 解得：，(舍去）， 答：每件成本的平均降低率是． 题型三、与图形有关的问题 11．如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 12．如图，在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽度为，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在一块长，宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面积均为的6个矩形小块，设水渠的宽为米，可列方程为：， 故选：B； 13．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m． 【答案】1 【解析】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 14．一个圆柱形包装盒（厚度忽略不计）的高是，表面积是．这个包装盒的底面半径是多少厘米？ 【答案】这个包装盒的底面半径是厘米 【解析】解：设这个包装盒的底面半径是x厘米 由题意得，， 整理得，， 解得或（舍去）， 答：这个包装盒的底面半径是厘米． 15．软笔书法承载着中华五千年的灿烂文化，如图是李叔叔的软笔作品，是长，宽的矩形．为了美观，李叔叔装裱此作品，将作品四周裱上边衬（上、下边衬宽度相等，左、右边衬宽度也相等），装裱后的作品如图，左右边衬的宽度是上下边衬的倍，面积变成原作品的倍，求上下边衬的宽度是多少？ 【答案】 【解析】解：设上下边衬的宽度是，则左右边衬的宽度是， 依题意得： （舍） 答：此作品上下边衬的宽度是． 题型四、数字问题 16．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 17．如图，在2025年4月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，则这个最小数为 ． 【答案】 【解析】解：设这个最小数为，由日历的特点可知，最大数为， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为： 18．已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【答案】 【解析】解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：； 19．有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数． 【答案】36 【解析】解：设个位数字为，则十位数字是． 根据题意可得：，     整理得：， ， 解得：，（不是整数，舍去）． 答：这个两位数为． 20．数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题： 【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中“※”的个数为__________； （2）第n个图案中“”的个数为__________； 【规律应用】 （3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 【答案】（1） （2） （3）第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77 【解析】解：（1）由图得第1个图案中“※”的个数为个， 第2个图案中“※”的个数为个， 第3个图案中“※”的个数为个， 第个图案中“※”的个数为个； 故答案为： （2）由图得第1个图案中“”的个数为个， 第2个图案中“”的个数为个， 第3个图案中“”的个数为个， 第个图案中“”的个数为个； 故答案为：； （3）由题意可得， 解得（舍去）， 故第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77． 题型五、营销问题 21．某商店从厂家以每件25元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为50元，每天可卖出30件，经市场调查发现，如果每件降价2元，则销量增加20个，设每件商品降价x元时： (1)每天可销售 件，每件盈利 元．（用含x的代数式表示） (2)为尽量减少库存，每件商品降价多少元时，可每天获利750元？． 【答案】(1)； (2)每件商品应降价 22元 【解析】（1）解：根据题意：设每件商品降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：；； （2）解：根据题意得：， 解得， ∵要更有利于减少库存， ， 答：每件商品应降价 22元． 22．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出280斤，张阿姨决定降价销售． (1)若将这种水果每斤的售价降低元，则每天的销售量是多少斤？（用含的代数式表示）； (2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】(1) (2)张阿姨需将每斤的售价降低1元． 【解析】（1）解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤； 故答案为：． （2）解：设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， 当时，每天的销售量是斤，符合题意； 当时，每天的销售量是斤，不符合题意，舍去； ． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 23．电瓶车是重要的出行工具之一．交警部门提醒市民“骑车戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量后发现，此种品牌头盔如果每个盈利元，月销售量为个．若在此基础上，每个涨价元，则月销售量将减少个．若要使月销售利润达到元，又要尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个应涨价多少元? 【答案】该品牌头盔每个应涨价元 【解析】解：设该品牌头盔每个应涨价元， 由题意得：， 整理得：， 解得，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴， 故该品牌的头盔每个应涨价元． 24．某公司向厂家订购两款洗手液共箱．已知购买款洗手液1箱进价为元，在此基础上，所购买的款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购箱款洗手液．款洗手液的进价为每箱元，设该公司购买款洗手液箱，若订购这批洗手液的总进价为元，则该公司订购了多少箱款洗手液？ 【答案】该公司订购了箱款洗手液 【解析】解：设该公司订购了x箱款洗手液， 根据题意知， 解得，． 每次最多可订购箱款洗手液， 符合题意． 答：该公司订购了箱款洗手液． 25．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在11月和12月，分两次购入A、B两款头盔．11月购入了第一批，购入A款头盔的数量为购入B款头盔数量的4倍还多300个，A、B两种头盔的购入单价分别为20元和45元，共用去资金43500元． (1)求第一批购入A、B两款头盔的数量； (2)12月2日，恰逢全国交通安全日，随着人们交通安全意识不断增强，头盔需求量增加．A款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数）．批发店决定，若A款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款头盔的数量减少50个．因B款头盔单价与第一批相同，所以B款头盔的购入数量在第一批B款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了9000元，求A款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】(1)第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； (2)A款头盔的单价上涨了10元． 【解析】（1）解：设第一批购入B款头盔的数量为x个，则第一批购入A款头盔的数量为个， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：第一批购入A款头盔的数量为1500个，购入B款头盔的数量为300个； （2）解：设A款头盔的单价上涨了y元，则购入数量为本， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：A款头盔的单价上涨了10元． 题型六、动态几何问题 26．如下图所示，一根木棍垂直平分柱子，，．一只老鼠由柱子底端点以的速度向顶端点爬行；同时，另一只老鼠由点以的速度沿木棍爬行．当老鼠在线段上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点组成的三角形的面积为？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，当爬行或时，两只老鼠与点组成的三角形的面积为 【解析】解：存在． 垂直平分，， ． 设爬行时间为． 当老鼠在上运动时，，，． 由，得． 整理，得， 解得，． 当时，； 当时，， 和均符合题意． 故答案为：当爬行或时，两只老鼠与点组成的的面积为． 27．如图，为矩形的四个顶点，．动点分别从点同时出发，点P沿以的速度向点B移动，直到到达点B时停止，点Q沿以的速度向点D移动．经过几秒，点P和点Q之间的距离为？ 【答案】经过或，点P和点Q之间的距离为 【解析】解：设经过，点和点之间的距离为． 点到达点时停止移动， ． 如图，过点作，垂足为， 则． ， ． 由勾股定理，得， ， ， 解得． 故答案为：经过或，点和点之间的距离为． 28．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒钟，点、之间的距离为 (2)不存在，理由见解析 【解析】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 29．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3) 【解析】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2． （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm． （3）解：由题意得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意表示出线段和的长是解题的关键． 30．如图，在正方形中，，点P从点B 出发沿以的速度向点C运动，同时点Q从点C 出发，以的速度沿向点D运动，当点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t s． (1)问当t为多少时，？ (2)连接，是否存在时间t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)t的值为1 (2)存在，t的值为2 【解析】（1）解：根据题意得，， ， ． ，即， ， ， ． 当时，，舍去， 的值为1． （2）存在． 理由：四边形是正方形， ，， ， ， 即， ，解得． 当t的值为2时，． 题型七、工程问题 31．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【解析】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 32．城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【解析】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 33．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【解析】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 34．为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【解析】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 35．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【解析】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 题型八、行程问题 36．（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 37．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 38．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【解析】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 39．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 米． 【答案】24 【解析】解：设两人走了秒，则：乙的路程为米，甲在北偏东某个方向走的路程为：米， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； ∴乙的路程为米， 故答案为：24． 40．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【解析】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 题型九、图表信息题 41．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【解析】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 42．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【解析】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 43．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按0.3a元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按0.4a元缴纳水费． （1）若a＝12，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ （2）若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】（1） ；（2）10 【解析】解：（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨， 元； （2）若 ，有 ，解得： ，即 ，不合题意，舍去， ∴ ， 根据题意得： ， 解得： （舍去）， 答：规定用水量a的值为10吨． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 44．根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【解析】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 45．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【解析】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型十、握手、循环赛问题 46．（24-25九年级上·福建福州·期末）城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据题意得：． 故选：C． 47．某职业学校，“礼仪小姐”培训班结业时，每个同学都要和培训班的其他同学照一张合影，摄影师共照了132次，如果设培训班共有x名同学，依题意，可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设培训班共有x名同学， 依题意，可列出的方程， 故选：D． 48．（24-25九年级上·广东东莞·期末）在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有 人． 【答案】 【解析】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 49．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）在一次公司年会上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，一共握了36次手．求这次会议到会的人数． 【答案】这次会议到会的人数为10人 【解析】解：设这次会议到会的人数为x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这次会议到会的人数为10人． 50．（24-25九年级上·吉林·期末）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛21场，求参加比赛的球队有多少支？ 【答案】参加比赛的球队有7支 【解析】解：设参加比赛的球队有x支，由题意得： 解得：（不合题意舍去）， 答：参加比赛的球队有7支． 1．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 2．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 3．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为． ∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周， ∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即 草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即． 因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程： 故选：D． 4．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 5．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【解析】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 6．（2025·云南红河·三模）某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 【答案】 【解析】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 7．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【解析】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 8．（2025·湖北·二模）“狗脚”是湖北黄冈的传统特色小吃，因形似狗脚而得名，色泽金黄，松酥香甜，通常用白面粉、糖稀、红糖、麻油、五香和苏打合面，贴放在炉内烘坑上烘烤而成．某商店销售“狗脚”，通过分析销售情况发现，“狗脚”的日销售量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表． 销售单价x（元/盒） 16 13 日销售量y（盒） 400 700 已知销售单价不低于成本价且不高于20元/盒，每天销售“狗脚”的固定损耗为20元，且成本价为12元/盒． (1)直接写出“狗脚”的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式； (2)东坡庙会活动期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当“狗脚”每盒定价为多少元时，商店日销售纯利润为1480元？ 【答案】(1) (2)当“狗脚”每盒定价为15元时，商店日销售纯利润为1480元 【解析】（1）解： 设“狗脚”的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为， 由题意，得， 解得. ∴“狗脚”的日销售量y（盒）与销售单价x（元/盒）的函数表达式为. （2）解：由题意，得， 解得，. ∵顾客获得最大实惠， ∴， ∴当“狗脚”每盒定价为15元时，商店日销售纯利润为1480元． 9．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． (1)当点落在线段上时，求线段的长． (2)连结，当线段中点落在线段上时，求的值． (3)当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． (4)当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 (4)或 【解析】（1）解：当点落在线段上时， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， 在中，， ， ． （2）解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示， 则， 四边形为矩形，，，， 四边形和都是矩形， ，； 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当在线段上，线段中点落在线段上时，； ②当点在上时， 线段中点落在线段上， 此时线段和线段共线， 设线段中点为，连接，设交于点，如图所示， 四边形是正方形，为的中点， ，，，， ， 同①可知四边形和都是矩形， ， 线段和线段共线，， ， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当点在上，线段中点落在线段上时，； 综上，当线段中点落在线段上时，或． （3）解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ②当点在上时，如图所示， 此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形； ③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示， ，，， ， 此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形； 作于点，设， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； 综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形． （4）解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示； ②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示， 则四边形和都是矩形， ，； ， ， ； ， ，， ， ，即点为正方形的对角线中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； ③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示， 则四边形、四边形和四边形均为矩形， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 重叠部分面积 ， 在中，， ， ， 整理得，， 解得， ，即， ， ， ， 时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； 综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半． 10．（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料： 在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，时间之间的关系为，其速度与时间的函数图象如图1所示，可以发现在．这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段时间内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值． 阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与时间的函数图象，点，． (1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m） (2)求出发后，甲、乙速度相等的时间； (3)求出发后，甲、乙相遇的时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒 【解析】（1）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象为平行于轴的一条射线， 又其过点， 甲的速度与时间的函数解析式为， 甲在秒内经过的路程为： ， 故答案为：； （2）解：由图可知：甲的速度与时间的函数图象是以原点为端点的一条射线， 设， 又其过点， 把代入，得：， 解得：， 乙的速度与时间的函数解析式为， 当甲、乙速度相等时，根据题意得： ， 解得：， 出发后，甲、乙速度相等的时间为秒； （3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等， 甲的路程为：， 乙的路程为：， 根据题意得：， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， 出发后，甲、乙相遇的时间为秒． 1 / 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