专练(一)一元二次方程的解法与应用&专练(二)根的判别式和根与系数的关系-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

重点题型专练 专练（一） 一元二次 1.解下列方程： (1)2(x-1)2-18=0; 解：1=4，x2=一2； (2)(x+1)(x-1)+2(x+2)=9; 解：x1=-1十√7，x2=-1-√7； (3)(x+2)2=2x+4; 解：01=0，x2=-2; (4)(2x-1)2=(3-x)2. 4 解：=32=一2. 2.电商时代使得网购更加便捷和普及.小张 响应国家号召，自主创业，开了一家网店. 他购进一种成本为100元/件的新商品， 在试销中发现：销售单价x(元)与每天销 售量y(件)之间满足如图所示的关系. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当销售单价x为何值时，小张每天获 得的利润达1200元，同时在价格上有 竞争优势？ 解：(1)设y与x之间的函 y/件 数关系式为y=k.x+b50- (k≠0)，由所给函数图象30 可得/130k+b=50. 130150x/元 1150k+b=30, 解得一1， b=180. 故y与x之间的函数关系式为y=一x十180； (2)根据题意，得（一x+180)(x一100）=1200， 解得x1=120,x2=160. .要在价格上有竞争优势，.x=120. 答：当销售单价为120元时，小张每天获得的利 润达1200元，同时在价格上有竞争优势： ·23 班级： 姓名： 方程的解法与应用 3.某超市经销甲、乙两种商品.现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品的进 信息3：按零售单 货单价之和是5元 信息2：甲商品零售单价比进 价购买甲商品3 件和乙商品2件， 货单价多1元，乙商品零售单 共付了19元. 价比其进货单价的2倍少1元， 请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各为多少元？ (2)该超市平均每天卖出甲商品500件和 乙商品300件，经调查发现，甲、乙两 种商品零售单价分别每降0.1元，这 两种商品每天各多销售100件.为了 使每天获取更大的利润，超市决定把 甲、乙两种商品的零售单价都降低m 元，在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使超市每天销售甲、 乙两种商品共获取的利润为1700元？ 解：(1)设甲商品的进货单价为x元，乙商品的 进货单价为y元，则甲商品的零售单价为(x十 1)元，乙商品的零售单价为(2y一1)元. 根据题意，得十y=5, 13(x+1)+2(2y-1)=19, x=2, 解得 y=3. 答：甲商品的进货单价为2元，乙商品的进货单 价为3元： (2)根据题意，得(1一m)(500+100m)十(2× 0.1 3-1-3-m)(300+100m 0.1/ =1700, 整理，得10m2-11m+3=0, 解得m1=0.5,m2=0.6 答：当m定为0.5或0.6时，才能使超市每天销 售甲、乙两种商品共获取的利润为1700元， 专练（二） 根的判别 1.已知x1,x2是一元二次方程x2-4x十1= 0的两个根.求下列各式的值： (1)(x1-3)(x2-3); (2)(x1-x2)2; (3)2+9 1”2 解：x十x2=4,x1x2=1. (1)(x1-3)(x2-3)=x1x2-3(x1+x2)+9 1-3×4+9=-2: (2)(x1-x2)2=(01+x2)2-4x1x2=42-4X 1=12; (3)2+4=22+=（十2)2-212 T1T2 T1x2 42-2X1=14. 1 2.已知关于x的一元二次方程x2一2x k一2=0有两个不等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)给k取一个负整数值，解这个方程。 解：(1)根据题意，得△=(-2)2一4（一k一2）> 0,解得>-3； (2)答案不唯一，如取k=一2，则一元二次方程 为x2-2.x=0,解得x1=0,x2=2. 3.已知关于x的方程m.x2十(3一m)x-3= 0.（m为实数，m≠0) (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为正整 数，求整数m的值. 解：(1).m≠0，∴.方程mx2+(3-m)x-3=0 为一元二次方程，则△=(3-m)2-4m×(一3) =(m十3)2. .(m十3)2≥0，∴.此方程总有两个实数根； (2)由求根公式，得x=一(3一m)士(m十3) 2m x1=1,x2=- 3 m ,此方程的两个实数根都为正整数， ∴.整数m的值为-1或-3. ·24 式和根与系数的关系 4.关于x的一元二次方程x2十3x+m=0 有实数根. (1)求m的取值范围； (2)若0,2是方程的两根，且3(x1十2)十 x1x2=一7，求m的值 解：(1)方程x2+3x十m=0有实数根， ∴4=3-4X1Xm≥0，解得m≤号： (2),'c1,x2是方程x2十3.x十m=0的两个根， 0十x3=-3--3x14=m 1 3(十x2)十01x2=-7, ∴.3×(-3)+m=-7,解得m=2. 即m的值是2. 5.已知关于x的一元二次方程(a十c)x2十 2bx+(a7c)=0,其中a,b,c为△ABC的 三边长. (1)如果一1是此方程的一个根，试判断 △ABC的形状，并说明理由； (2)如果该方程有两个相等的实数根，试 判断△ABC的形状，并说明理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个 元二次方程的根， 解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： 把x=-1代入方程(a+c)x2+2bx+(a-c)= 0,得2a-2b=0, ∴.a=b, △ABC是等腰三角形； (2)△ABC是直角三角形.理由如下： ·该方程有两个相等的实数根， .△=(2b)2-4(a十c)(a-c)=0, ∴.b2+c2=a2, ∴.△ABC是直角三角形： (3),△ABC是等边三角形，∴.a=b=c, .原方程可变形为2a.x2十2a.x=0. a≠0，.x2十x=0, 解得x1=0,x2=-1.