1.9.2 有理数乘法的运算律 教案 2025--2026学年华东师大版七年级数学上册

第一章 有理数 1.9 有理数的乘法 1.9.2 有理数乘法的运算律   一、教材分析 本节课《有理数乘法的运算律》是华东师大版初中数学七年级上册第一章第九节的内容.有理数乘法的运算律是小学乘法运算律的扩充，学生在小学已接触过乘法交换律和结合律，在此基础上学习有理数范围内的运算律，学生相对容易接受.同时，它又为后续学习有理数的除法、混合运算以及代数式运算等知识奠定了基础. 本节课由于学生对小学乘法运算律有一定基础，教学中通过复习旧知引入新课，让学生通过自主探究、合作交流的方式，如通过具体的有理数乘法运算实例，验证交换律和结合律在有理数范围内是否成立，从而加深对运算律的理解.结合有理数运算法则及实际运算归纳多个有理数相乘的符号法则，学生易于接受理解.教师还应多举例说明如何运用运算律进行简便计算，引导学生总结简便运算的方法和技巧.   二、教学目标 1.正确理解有理数的乘法依然满足交换律、结合律，能用字母表示运算律的内容； 2.能灵活熟练地运用乘法交换律、结合律简化运算，并会运用乘法运算律解决实际问题； 3.进一步熟练地进行有理数的乘法运算，归纳总结多个有理数相 乘的符号法则； 4.通过思考、观察、比较等体验数学的创新思维和发散思维，激发学生的学习兴趣.   三、教学重难点 重点：能灵活熟练地运用乘法交换律、结合律简化运算，并会运用乘法运算律解决实际问题. 难点：进一步熟练地进行有理数的乘法运算，归纳总结多个有理数相 乘的符号法则.   四、教学过程 · 复习回顾 在小学里我们学过哪些乘法运算律？ 在小学里我们知道，数的乘法满足 ，例如3×5 = 5×3； 还满足 ，例如( 3×5 )×2 = 3×(5×2 ). 答：交换律 结合律 师生活动：教师通过带领学生回顾小学学习的乘法运算律，并进一步提出思考问题，引导学生思考有理数乘法是否仍然满足运算律． 引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢？也就是说，上面两个等式中，将3、5和2换成任意的有理数，是否仍然成立呢？ 设计意图：通过回顾小学学习的乘法运算律，引导学生思考有理数乘法是否适用交换律和结合律，为后续教学做好铺垫. · 探究新知 活动一：有理数乘法的交换律 想一想： (1) 任意选择两个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列 和 内，并比较两个运算结果： ① 2×(4) = ____ ，(4)×2 = ____； ② 30×(20) = ____，(20)×30 = ____. 请你再换几个加数试一试，你能发现什么？ 答：8 8 600 600 2×(4) = (4)×2； 30×(20) = (20)×30 两个数相乘，交换乘数的位置积不变. 师生活动：让学生自由的说一说，教师给出结论. 设计意图：通过思考及计算，让学生感知有理数乘法仍满足交换律. 说一说：小学学过的乘法交换律在有理数范围内还适用吗？ 答：有理数的乘法仍满足交换律. 师生活动：教师鼓励学生自由说一说. 概括：乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. ab = ba.(a×b可写为a·b或ab) 活动二：有理数乘法的交换律 想一想： (2) 任意选择三个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列 、 和 内，并比较两个运算结果： ① [(-2) × 3] × 4= ，(-2) × (3 × 4) = . ② [8 × (-5)] × (-4) = ，8 × [(-5) × (-4)] = . 请你再换几个加数试一试，你能发现什么？ 答：24 24 160 160 [(-2)×3]×4 = (-2)×(3 × 4)； [8×(-5)]×(-4) = 8×[(-5)×(-4)] 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 师生活动：鼓励学生思考，举手回答问题，教师做总结. 由上述例子可以发现有理数的乘法仍满足结合律. 概括：乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. (ab)c = a(bc) . 注意：根据乘法交换律和结合律 ，三个或三个以上的有理数相乘 ，可以任意交换乘数的位置 ，也可以先把其中的几个数相乘. 设计意图：通过“说一说”和“想一想”活动，探究有理数乘法的运算律，同时总结出有理数乘法的交换律和结合律. 试一试：计算 (-2)×5×(-3)，有哪些不同的算法？哪种算法比较简便？ 答：从左往右：(-2)×5×(-3)= (-10)×(-3)= 30. 凑整十数 交换律：(-2)×5×(-3)= (-2)×(-3)×5= 6×5= 30. 同号相乘 结合律：(-2)×5×(-3)= (-2)×[5×(-3)]= (-2)×(-15)= 30. 注意：运用乘法交换律时，要连同乘数的符号一起交换位置，多个有理数相乘时，通常运用交换律把能化为整数或能约分的乘数先结合，使计算简便. 活动三：多个有理数相乘 想一想：利用简便算法计算下列各式 ①(−10)××0.1×6=______； ②(−10)×()×0.1×6=______； ③(−10)×()×(−0.1)×6=______； ④(−10)×()×(−0.1)×(−6)=______ . 答：−2 2 −2 2 思考：观察上面各式，你能发现几个不等于0的有理数相乘时，积的正负号与各乘数的正负号之间的关系吗？请你用自己的语言表达所发现的规律，并与同伴交流. 答：一个负号，结果为负；两个负号，结果为正；三个负号，结果为负；四个负号，结果为正. 师生活动：让学生尝试利用乘法运算律快速计算，鼓励学生大胆发言，发表自己的见解，教师总结. 总结：多个有理数相乘的积的符号 几个不等于0的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负；当负乘数的个数为偶数时，积为正.(简记：奇负偶正) 思考：三个数相乘，如果积为负，其中可能有几个乘数为负数？四个数相乘，如果积为正，其中可能有几个乘数为负数？ 答：（奇负偶正） ①三个数相乘，如果积为负，其中可能有1个或3个乘数为负数； ②四个数相乘，如果积为正，其中可能有0个、2个或4个乘数为负数. 设计意图：通过“想一想”和“思考”活动，探究多个有理数相乘的积的符号，让学生应用乘法运算律快速运算，并通过示例及思考总结，理解记忆对应结论. 试一试：直接写出下列各式的结果： (1) (−5)×()×3×(−2)×2= ； (2) (−5)×(−8.1)×3.14×0 = . 答：-30 0 注意：(1)先确定积的符号，再把绝对值相乘； (2)几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0. 说一说：结合上面的试一试，请总结一下多个有理数相乘的计算方法？ 师生活动：鼓励学生大胆发言，发表自己的见解，教师总结. 总结：多个有理数相乘的计算方法： ①先观察乘数中有没有0，若有0，则积等于0； ②若乘数中没有0，先观察负乘数的个数，确定积的符号，再计算各乘数的绝对值的积； ③在求各乘数的绝对值的积时要考虑运用乘法的交换律和结合律进行简化计算，应用运算律时要尽可能地将能约分的、凑整的、互为倒数的结合在一起，以达到简化计算的目的 师生活动：鼓励学生大胆发言，发表自己的见解.教师总结. 设计意图：通过“试一试”、“说一说”和“思考”活动，探究多个有理数相乘的方法，让学生应用乘法运算律快速运算，学习总结多个有理数相乘的计算方法. · 应用新知 教材例题 例1 计算：(−10) ××0.1×6 分析：可以运用乘法交换律和结合律简化计算. 解：(−10) ××0.1×6 =[(−10)×0.1] ×(×6) 先凑整再计算 =(−1) ×2 =−2. 例2 计算： (1)(1) 8+()×(−8)×； (2) (−3)××()×()； (3)() ×5×0× . 分析：几个不等于0的数相乘，应首先确定积的正负号，然后把绝对值相乘；几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0. 解：(1) 8+()×(−8)× = 8+×8× = 8+3 = 11 (2)(−3)××()×() = −3××× =− (3)() ×5×0× =0 例3 小阳在做一道计算题：－ × ×■时，不小心将一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时，老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便.”则被盖住的数字可能是 ⁠. 分析：题中提示这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便.所以被盖住的数与乘数直接相乘比较简便，即该数为7的倍数. 答案：7. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：借助实际例子，引导学生运用所学乘法运算律解决问题，使其学会在具体情境中识别和处理，快速计算正确结果，提高知识迁移和解决实际问题的能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.计算： (1) (−4)×(−7)×(−25)； (2) ()×8×()； (3) (− 0.5)×(−1)××(−8). 解：(1) (−4)×(−7)×(−25)＝−(4×25)×7＝−100×7＝−700. (2) ()×8×()＝××8＝×8＝. (3) (− 0.5)×(−1)××(−8)＝− (×1)×(×8) ＝×6＝-3. 注意：小数化为分数. 2.计算： (1) (−5)−(−5)××(−4) ； (2) (−1)×(−7)+6×(−1)× ； (3) (− 3)×(−7)−3×(−6) ； (4) 1−(−1)×(−1)−(−1)×0×(−1). 解：(1)(−5)−(−5)××(−4)=(−5)−5××4=−5−4=−9； (2)(−1)×(−7)+6×(−1)×=7−3=4； (3)(− 3)×(−7)−3×(−6)=21+18=39； (4)1−(−1)×(−1)−(−1)×0×(−1)=1−1−0=0 注意：按照运算顺序依次进行计算. 【自选练习】 3.在算式1.25×(－)×(－8)＝(－ )×1.25×(－8)＝(－ )×[1.25×(－8)]中，应用了(　) A. 分配律 B. 分配律和乘法结合律 C. 乘法交换律和结合律 D. 乘法交换律和分配律 答案：C 4．计算 (−1 ) × (−3 ) × 的结果为(　 　) A. B. C. D. 答案：D 注意：带分数化为假分数. 5．下列各式中，积为负数的是(　　) A．(－5)×(－4)×(－3)×(－2 B．(－5)×(－2)×|－4| C．(－5)×2×0×(－7) D．(－5)×2×(－3)×(－7) 答案：D 6.已知a、b、c为非零有理数，下列情况中，它们的积一定为正数的是(　　) A．a、b、c同号 B．a>0，b与c同号 C．b<0，a与c同号 D．a>b>0>c 答案：B 设计意图：引导学生将有理数乘法运算律的知识应用于实际生活场景，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，感受数学与生活的紧密联系． · 总结归纳 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.有理数乘法的运算律有哪些？ 3.如何利用有理数的乘法运算律简化运算？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $