专题03 不等式（期中复习讲义）（知识必备+14大核心题型+分层验收）高一数学上学期北师大版

该高中数学讲义围绕不等式专题构建了清晰的知识体系，通过表格对比、思维导图和分层题型设计，系统梳理了比较大小、不等式性质、基本不等式及其应用、一元二次不等式与四个二次关系等核心内容，突出重难点分布与内在逻辑联系，帮助学生建立结构化认知框架。 讲义的亮点在于以“会用数学的眼光观察现实世界”为引导，将抽象概念具象化，如用图像直观呈现二次函数与不等式的对应关系，强化几何直观；在“会用数学的思维思考现实世界”方面，设置多道典型例题，如利用基本不等式求最值时强调“一正二定三相等”的推理过程，培养严谨逻辑；同时借助“会用数学的语言表达现实世界”，设计实际应用题，如利润最大化问题，提升建模能力。每类题型均配有解题技巧归纳和易错点警示，既支持基础薄弱生掌握方法，又助力优生突破难点，教师可据此实施精准教学，实现高效复习。

专题03 不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比较大小 会利用作差法或作商法比较两个数或代数式的大小 基础考点，常与其他知识结合，涉及各类题型 不等式的性质 会利用不等式性质比较大小；能用作差法，作商法比较大小 高频易错点，常出现在选择题，填空题 基本不等式 能辨析基本不等式的正确使用； 能利用基本不等式求和、积最值 基础考点，常出现在选择题，填空题 基本不等式技巧 能运用凑配法，换元法，消去法，“1”的妙用等技巧，巧妙利用基本不等式解决最值问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 一元二次函数 能将一元二次函数配方，从而画出其图象并研究其性质 基础考点，常出现在选择题，填空题 一元二次不等式 会求不含参数的一元二次不等式； 会分类讨论含参的一元二次不等式； 期中必考点，常出现在选择题 四个二次的关系 能熟练转化二次函数，二次不等式，二次方程，图象直接的关系 期中必考点，常出现在选择题 知识点01 比较大小 1.作差法比较两实数大小 依据 如果a－b＞0，那么a＞b. 如果a－b＜0，那么a＜b. 如果a－b＝0，那么a＝b. 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系. 2.作商法比较两实数大小 依据 设 如果，那么a＞b. 如果，那么a＜b. 如果，那么a＝b. 结论 确定任意两个正实数a，b的大小关系，只需确定它们的商与1的大小关系. ·示例：试比较与的大小. 【详解】因为 所以. 知识点01 不等式性质 1．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 2．不等式的拓展性质（拓展） （1）倒数法则 若.（巧记：同号两数，大数的倒数反而小） （2）有关分数的性质 若，则： (1)真分数的性质（俗称糖水不等式）：，； (2)假分数的性质： >, < ·示例：如，. 知识点02 基本不等式 1.一个重要不等式及其变形式 （1）重要不等式：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号. （2）常见变形式：如果a，b∈R，那么；. 2.基本不等式及其变形式 （1）基本不等式：如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式． （2）常见变形式： ·易错点： “当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 3.基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. ·易错点：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件，可简记为：一正，二定，三相等，这三个条件缺一不可. 4.基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） ·示例：若，求的最大值. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1． 知识点03 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 ·示例：解不等式. 【详解】由得到， 令，因为， 又图象开口向上，所以图象恒在轴上方， 则的解集为， 知识点04 解分式不等式（拓展） 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ ·示例：解不等式. 【详解】不等式，等价于，即， 其等价于且. 解得或. 故不等式解集为或 知识点05 穿针引线法解高次不等式（拓展） 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，从右到左在区间(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． ·示例：解不等式. 【详解】不等式等价于： ，且. 根据数轴标根法，作出示意图如下： 故不等式解集为或 题型一 比较大小 解｜题｜技｜巧 比较大小的常见方法： （1）利用不等式性质; （2）作差法（最常用方法）; （3）作商法 （4）基本不等式法 易｜错｜点｜拨 使用不等式性质注意左右两边同乘以一个负数，不等号方向改变 【典例1-1】（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【分析】（1）利用作差法，即可比较两式的大小； （2）利用作差法，即可证明． 【详解】（1） ； 因为，所以，， 所以， 所以； （2）证明：， 因为且，， 所以； 又因为，所以，则， 又， 所以，即． 【典例1-2】（24-25高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【证明】， ， ， . 【变式1-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知，因为，，所以，则，即. 因为，，所以. 综上，. 故选：A 【变式1-2】已知，试比较和的大小; 【答案】 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【变式1-3】设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 题型二 判断所给不等式是否成立 解｜题｜技｜巧 对于这类题型，一般有以下两种方法： (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【典例2】（2025届湖南省部分学校10月联考）已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，不等式不成立，错误． 对于B，当时，满足，但，错误． 对于C，因为，而，所以，则，正确． 对于D，当时，满足，不等式不成立，错误． 故选：C 【变式2-1】.（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【答案】ABD 【详解】对于A，不妨取，则，即A为假命题； 对于B，若，当时，满足，即B为假命题； 对于C，由可得，易知， 所以，可得C为真命题； 对于D，由可得， 所以，因为的符号不确定，所以不一定正确，即D为假命题； 故选：ABD 【变式2-2】（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，且，所以， 所以，即，故A正确； 因为，，所以， 其与的大小关系与有关，故B错误； 因为，所以，故C正确； 当时满足题设条件，但不成立，故D错误. 故选：AC 【变式2-3】.（24-25高一上·云南文山·期中）（多选）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 题型三 利用不等式性质求值或取值范围 解｜题｜技｜巧 (1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等. (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. 【典例3-1】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，又， 则，又由得， 故. 故选：B. 【典例3-2】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法求得，再根据不等式性质即可求解. 【详解】设，所以解得 所以， 又，所以，则. 故选：B. 【变式3-1】.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由，，得，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：B 【变式3-2】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则， 则， 又， 所以， 所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）由不等式， ①当时，此时，可得，所以； ②当时，此时，可得， 即，所以； ③当时，此时，可得， 即，所以， 又因为，可得，即，即， 所以， 综上，可得，即的取值范围为. （2）设，可得，解得， 即， 因为，可得， 所以，即的取值范围为. 题型四 证明不等式 解｜题｜技｜巧 证明不等式的常见方法： ⑴比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)基本不等式法；(5)放缩法. 【典例4】（2024·全国甲卷·高考真题）已知实数满足． (1)证明：； (2)证明：． 【分析】（1）直接利用即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明. 【详解】（1）因为， 当时等号成立，则， 因为，所以; （2） 【变式4-1】已知，，且，求证： (1)； (2)． 【分析】（1）利用基本不等式先证，然后变形即可得证； （2）将已知变形为，然后利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 又，∴． （2）∵， ∴，即， 当且仅当，即，时取等号． 故． 【变式4-2】证明姐妹不等式： (1)； (2)． 【分析】（1）不等式可以表示为，利用，，然后两边同乘以，进而可证， （2）不等式可以表示为，同（1）来证明. 【详解】（1）原不等式可以表示为， 利用可得， ， 所以， 得， 即． （2）不等式可以表示为． 利用可得， 由（1）同理得，， ， 即． 题型五 对基本不等式的理解 解｜题｜技｜巧 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 易｜错｜点｜拨 多选题中特别注意是否满足“一正”“三相等”. 【典例5-1】（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【答案】AD 【分析】根据“一正，二定，三相等”即可作出判断. 【详解】对于A，由于，所以，当时等号成立正确； 对于B，正具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确. 故选：AD 【变式5-1】（多选题）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 【变式5-2】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 【答案】AB 【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题. 【详解】解：对于A，恒成立， 则，都有，A选项正确； 对于B，当时，， （当且仅当时取等号）， ，，使得，B选项正确； 对于，当时，，C选项错误； 对于 D，当时，，令, 在上单调递增， ， 则的最小值不是4，D选项错误； 故选：AB. 题型六 利用基本不等式求最值——配凑法（跨章节） 解｜题｜技｜巧 （1）对于形如的式子，先把cx+d配凑成分母的线性关系：,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值. （2）形如型的代数式，往往通过配凑系数的方法转化为：，从而转化为和为定值的形式，再利用基本不等式求得最值. 【典例6-1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】D 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 【典例6-2】已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 【变式6-1】已知，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】对目标式子变形后由基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立. 【变式6-2】若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 故，当且仅当， 即时取等号，所以的最大值为． 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 【答案】1， 【详解】时，和都为正值，，即和为定值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是1． 由于时，和都为正值． ，当且仅当，即时取等号，即的最大值是． 题型七 利用基本不等式求最值——常数代换法 解｜题｜技｜巧 ⑴形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 ⑵形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 【题型7-1】.（多选）（24-25高一上·广东东莞·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AB 【详解】，当且仅当时等号成立，故A对； ，则，当且仅当，即时等号成立，故B对C错； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，故D错. 故选：AB 【典例7-2】(2025·江西·吉安高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】，展开后利用基本不等式即可求解． 【解析】因为，，且， ∴ ，当且仅当，即，即时，等号成立．故选：C 【变式7-1】（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 【变式7-2】（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值. 【解析】由条件可知，， 所以 ， 当，即，结合条件 ， 可知时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D 【变式7-3】已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用“1”的变形技巧，由基本不等式得最小值. 【详解】因为，且 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 题型八 利用基本不等式求最值——商式型(跨章节) 解｜题｜技｜巧 ⑴形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ⑵形如，可以通过换元，再分子分母同时除以，进而转化为对勾型 【典例8-1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 【典例8-2】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 【变式8-1】（25-26高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 【变式8-2】函数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由题意得，原函数表达式可化为关于的表达式，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题，即可得答案. 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， ∴已知函数的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将原函数的表达式中的分子按照分母的形式进行配凑，分离常数，转化为可利用基本不等式求最值的问题. 题型九 利用基本不等式求最值——消元法 解｜题｜技｜巧 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 形如：，可转化为，再带入目标中求最值 【典例9】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 【变式9-1】（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 【变式9-2】（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 题型十 利用基本不等式求最值——换元法 解｜题｜技｜巧 对于较为复杂的条件或所求最值的代数式，有时可结合式子特点，灵活换元，从而达到化繁为简的目的，再进一步考虑用基本不等式求其最值，常见的换元有两种： ⑴单换元； ⑵双换元 【典例10-1】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【典例10-2】已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用换元法，设，用表示出目标式，结合函数单调性可求答案. 【详解】设，又，且． 所以，当且仅当“”时取等号． 则， 故选：B． 【变式10-1】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，所以， 令，所以， 因为，所以 当且仅当，即或时等号成立， 所以的最小值为.故选：C. 【变式10-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为 . 【答案】9 【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可. 【详解】由，得，即. 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 令，则，解得或（舍去）， 即，当且仅当时，取等号， 故的最小值是9. 题型十一 解含参的一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论： (1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准； (2)以判别式与零的大小关系作为分类标准； (3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准． 2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小． 易｜错｜点｜拨 注意解形如的不等式，不要遗漏讨论的情况 【典例11-1】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，解关于x的不等式. 【答案】（1）（2）答案见解析 【详解】（1）的解集为， ，且，， ，，， ，解得或 解集为； （2）由，且， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上知， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式11-1】.（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知， 当时，无解，得，此时； 当时，解，得，此时，； 当时，解，得，此时，要使，则； 综上所述，. 故选：A 【变式11-2】.（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式11-3】.（2024高一·全国·期中）（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或. 【详解】（1）命题， 命题或， 是的必要不充分条件， ∴，或， 又， 故实数的取值范围是． （2）依题意有和是方程的两根，且， 则有，解得， 即，解得或， 即不等式的解集为或. 题型十二 利用三个“二次”关系求参 解｜题｜技｜巧 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化. 【典例12】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】BC 【详解】由不等式的解集为，得 所以，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，所以， 则，解得，故解集为，故D错误. 故选：BC. 【变式12-1】（多选）（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【答案】BD 【详解】由图象知，时，，开口向下，， ，即，则，则，所以，故A错误； 由时，且，所以，故B正确； 因为，故C错误； 由可得， 因为是方程的两根，所以是方程的根， 所以关于的方程的解集为，故D正确. 故选：BD 【变式12-2】.（24-25高一上·重庆·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．关于不等式恒成立，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以有，因此选项A正确， 因为，所以选项B正确； 由 或，因此选项C正确； 由， 可知代数式的正负性相同， 因此不等式的解集也是或， 于是有， 于是有， 因为，所以二次函数，随的增大而增大， 因此二次函数在时，没有最小值，因此选项D不正确， 故选：ABC 题型十三 不等式恒成立与能成立问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 常见求解策略有： ⑴基本不等式法； ⑵根的判别式法； ⑶实根分布法； ⑷变量分离法. 【典例13-1】若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可得范围. 【详解】由两个正实数x，y满足，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，则， 所以实数m的取值范围为. 【典例13-2】（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）二次项含参数，需对是否为0进行讨论．（2）方法一：由题意函数在时的最小值大于或等于0，对对称轴位置进行分类讨论即可求解；方法二：分离参数即可求解. 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）方法一：二次项系数大于0，在时恒成立 函数在时的最小值大于或等于0. ①若函数的图象的对称轴在给定范围左侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，结合得； ②若函数的图象的对称轴在给定范围右侧，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解； ③若函数的图象的对称轴在给定范围内，此时，即， 函数在时取得最小值，则最小值，不满足，此时无解． 综合①②③，得实数的最小值为． 方法二：分离参数，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 【变式13-1】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【解析】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 【变式13-2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 【变式13-3】若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立． 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去． 综上所述，当时，原不等式的解集为R. 题型十四 一元二次不等式和基本不等式的实际应用 解｜题｜技｜巧 1．利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． 2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【典例14】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【变式14-1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 【变式14-2】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件， 所以每月获得的利润与销售单价的函数关系为； （2）由每月获得的利润不小于元，即， 即，即，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为p元， 则，由， 得，故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为元． 期中基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 2．（24-25高一上·湖南长沙·期中考试）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有， 因为，所以，， 所以，即． 故选：A． 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 4．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：D. 5．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 6．（多选）（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】AB 【详解】对于A，当，，故A为假命题； 对于B，若，则，故B为假命题； 对于C，若且，则， 所以，故C为真命题； 对于D，， 所以，故D为真命题； 故选：AB． 7．(多选)（24-25高一上·广东江门·期中）下列不等式的解集为R的是（      ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，由，得，解得，则原不等式的解集为，A错误； 对于B，，且二次项系数大于0，则原不等式的解集为R，B正确； 对于C，由，得，，则原不等式的解集为R ，C正确； 对于D， R，， ， 当且仅当，即时取等号，因此原不等式的解集为R，D正确. 故选：BCD 8．(多选)（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 9．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 10．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 【答案】 【详解】设是一元二次方程的两个实数根， 则，解得，所以， 所以12，解得或， 又，所以． 11．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 【答案】(1);(2)． 【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ， 解得 即的取值范围为; （2）对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围. 12．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 【答案】(1)最小值为4，此时；(2)；(3). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用基本不等式求出最值. （3）利用一元二次不等式的解集，结合韦达定理求出参数值. 【详解】（1），，当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为4，此时. （2），，即，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. （3）由不等式的解集为， 得且和3是方程的两个实根， 因此，解得， 所以. 13．（跨章节）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 14．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1)；(2)元 【详解】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 15．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，且a，b为正数， 当且仅当，即时， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：D 17．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，即， 因为，所以， 于是， 又， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 18.（多选）（24-25高二下·湖南长沙·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．不等式对一切实数恒成立，则 D．“”是“”的一个必要不充分条件 【答案】AC 【详解】对于A选项，当时，， 故A错误，是假命题； 对于B选项，若且，则 ， 所以，即， 不等式的两边同时除以，可得， 故B正确，是真命题； 对于C选项，不等式对一切实数恒成立， ①当时，原不等式可化为，恒成立， ②当时，须满足，解得， 综上①②可知，故C错误，是假命题； 对于D选项，解不等式可得， 由，但是由不一定能推出， 所以是的一个必要不充分条件， 即“”是“”的一个必要不充分条件， 故D正确，是真命题； 故选：AC 19．(多选)（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 20．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】解不等式可得， 由可得，若关于的不等式组没有实数解， 则. 21．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见详解；(2) 【详解】（1）因为正数a，b，c满足， 若，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. （2）因为，即． 同理可得，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 22．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 23．已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 【答案】(1)；(2)或；(3)4 【详解】（1）问题转化为：方程有且只有1解，求实数的值. 当时，方程可化为：.方程有且只有1解； 当时，方程有且只有1解，所以. 综上可知：或. 所以实数的集合为：. （2）因为关于的不等式的解集为， 所以. 所以不等式即为：， 所以或. 所以所求不等式的解集为：或. （3）由题意：，即. 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为：4. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 24．（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】C 【详解】由题可知，，， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立， 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：C 25．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】，，恒成立， 的最大值，又， . 当且仅当且取等号. 的最大值为. 故选：D. 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题分两种情况讨论，当和时的两种情况，然后根据基本不等式的性质求出最小值. 【详解】设， 当时，， 因为均为正数，所以 ， 当且仅当，，时，等式成立； 当时，， 当且仅当，，时，等式成立. 综上可知，t的最小值为. 故选：C. 27．（24-25高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】不等式有实数解等价于有两个不相等的实数根，则，解得：或 设的两根为，，不妨令，则， 由题意得：，解得：，结合或，所以实数k的取值范围为 28．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 【答案】(1)证明见解析;(2);(3) 【详解】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 26 / 53 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比较大小 会利用作差法或作商法比较两个数或代数式的大小 基础考点，常与其他知识结合，涉及各类题型 不等式的性质 会利用不等式性质比较大小；能用作差法，作商法比较大小 高频易错点，常出现在选择题，填空题 基本不等式 能辨析基本不等式的正确使用； 能利用基本不等式求和、积最值 基础考点，常出现在选择题，填空题 基本不等式技巧 能运用凑配法，换元法，消去法，“1”的妙用等技巧，巧妙利用基本不等式解决最值问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 一元二次函数 能将一元二次函数配方，从而画出其图象并研究其性质 基础考点，常出现在选择题，填空题 一元二次不等式 会求不含参数的一元二次不等式； 会分类讨论含参的一元二次不等式； 期中必考点，常出现在选择题 四个二次的关系 能熟练转化二次函数，二次不等式，二次方程，图象直接的关系 期中必考点，常出现在选择题 知识点01 比较大小 1.作差法比较两实数大小 依据 如果a－b＞0，那么a＞b. 如果a－b＜0，那么a＜b. 如果a－b＝0，那么a＝b. 结论 确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系. 2.作商法比较两实数大小 依据 设 如果，那么a＞b. 如果，那么a＜b. 如果，那么a＝b. 结论 确定任意两个正实数a，b的大小关系，只需确定它们的商与1的大小关系. ·示例：试比较与的大小. 【详解】因为 所以. 知识点01 不等式性质 1．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 2．不等式的拓展性质（拓展） （1）倒数法则 若.（巧记：同号两数，大数的倒数反而小） （2）有关分数的性质 若，则： (1)真分数的性质（俗称糖水不等式）：，； (2)假分数的性质： >, < ·示例：如，. 知识点02 基本不等式 1.一个重要不等式及其变形式 （1）重要不等式：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a=b时取等号. （2）常见变形式：如果a，b∈R，那么；. 2.基本不等式及其变形式 （1）基本不等式：如果a，b都是非负数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式． （2）常见变形式： ·易错点： “当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 3.基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. ·易错点：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件，可简记为：一正，二定，三相等，这三个条件缺一不可. 4.基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） ·示例：若，求的最大值. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1． 知识点03 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 ·示例：解不等式. 【详解】由得到， 令，因为， 又图象开口向上，所以图象恒在轴上方， 则的解集为， 知识点04 解分式不等式（拓展） 1定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 2分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ ·示例：解不等式. 【详解】不等式，等价于，即， 其等价于且. 解得或. 故不等式解集为或 知识点05 穿针引线法解高次不等式（拓展） 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，从右到左在区间(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． ·示例：解不等式. 【详解】不等式等价于： ，且. 根据数轴标根法，作出示意图如下： 故不等式解集为或 题型一 比较大小 解｜题｜技｜巧 比较大小的常见方法： （1）利用不等式性质; （2）作差法（最常用方法）; （3）作商法 （4）基本不等式法 易｜错｜点｜拨 使用不等式性质注意左右两边同乘以一个负数，不等号方向改变 【典例1-1】（1）设，试比较与的大小. （2）已知、、、且，，求证：. 【典例1-2】（24-25高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【变式1-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，试比较和的大小; 【变式1-3】设、均为正实数，试比较和的大小． 题型二 判断所给不等式是否成立 解｜题｜技｜巧 对于这类题型，一般有以下两种方法： (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【典例2】（2025届湖南省部分学校10月联考）已知a，b是非零实数，且是任意实数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（24-25高一上·湖南长沙·期中）（多选）对于实数，下列命题为假命题的有（    ） A．若，则. B．若，则. C．若则. D．若，则. 【变式2-2】（多选）若，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高一上·云南文山·期中）（多选）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 题型三 利用不等式性质求值或取值范围 解｜题｜技｜巧 (1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等. (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性. 【典例3-1】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知实数x，y满足，则的取值范围是 . 【变式3-3】.（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）（1）已知，求的取值范围． （2）已知，求的取值范围． 题型四 证明不等式 解｜题｜技｜巧 证明不等式的常见方法： ⑴比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)基本不等式法；(5)放缩法. 【典例4】（2024·全国甲卷·高考真题）已知实数满足． (1)证明：； (2)证明：． 【变式4-1】已知，，且，求证： (1)； (2)． 【变式4-2】证明姐妹不等式： (1)； (2)． 题型五 对基本不等式的理解 解｜题｜技｜巧 (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立，即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 易｜错｜点｜拨 多选题中特别注意是否满足“一正”“三相等”. 【典例5-1】（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【变式5-1】（多选）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得 C．任意非零实数，都有 D．若，则的最小值为4 题型六 利用基本不等式求最值——配凑法（跨章节） 解｜题｜技｜巧 （1）对于形如的式子，先把cx+d配凑成分母的线性关系：,从而转化为对勾型，再利用基本不等式求最值. （2）形如型的代数式，往往通过配凑系数的方法转化为：，从而转化为和为定值的形式，再利用基本不等式求得最值. 【典例6-1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）函数（）的最大值为（    ） A． B．3 C．1 D． 【典例6-2】已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】已知，则的最小值为 ． 【变式6-2】若，则的最大值为 ． 【变式6-3】（2025高一·全国·专题练习）已知，则的最大值是 ，的最大值是 ． 题型七 利用基本不等式求最值——常数代换法 解｜题｜技｜巧 ⑴形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 ⑵形如“已知(为常数),求的最值”的问题，可转换为 【题型7-1】.（多选）（24-25高一上·广东东莞·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最小值9 B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【典例7-2】(2025·江西·吉安高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式7-1】（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式7-2】（2025·浙江·高一期中）若实数，则的最小值为（       ） A． B．1 C． D．2 【变式7-3】已知，且，则的最小值为 . 题型八 利用基本不等式求最值——商式型(跨章节) 解｜题｜技｜巧 ⑴形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 ⑵形如，可以通过换元，再分子分母同时除以，进而转化为对勾型 【典例8-1】（跨章节）（24-25高一上·四川成都·阶段练习）设，则 （    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（跨章节）函数的值域是 ． 【变式8-1】（跨章节）（25-26高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【变式8-2】函数的最小值为 . 题型九 利用基本不等式求最值——消元法 解｜题｜技｜巧 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 形如：，可转化为，再带入目标中求最值 【典例9】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式9-1】（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【变式9-2】（24-25高二下·河北·期末）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 题型十 利用基本不等式求最值——换元法 解｜题｜技｜巧 对于较为复杂的条件或所求最值的代数式，有时可结合式子特点，灵活换元，从而达到化繁为简的目的，再进一步考虑用基本不等式求其最值，常见的换元有两种： ⑴单换元； ⑵双换元 【典例10-1】（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【典例10-2】已知正实数，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B． C．3 D．2 【变式10-1】（24-25高三上·江西南昌·月考）设实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式10-2】（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为 . 题型十一 解含参的一元二次不等式 解｜题｜技｜巧 1．若一元二次不等式中的系数是含有字母的代数式，则需对参数进行分类讨论．一般从以下三个方面进行分类讨论： (1)以二次项系数与零的大小关系作为分类标准； (2)以判别式与零的大小关系作为分类标准； (3)若判别式大于零，但两根的大小不能确定，则再以两根的大小关系作为分类标准． 2．含参数的一元二次不等式的解题步骤为：①将二次项系数转化为正数．②判断相应方程是否有根．③根据根的情况写出相应的解集，若方程有两个相异根，为了正确写出解集还要确定两根的大小． 易｜错｜点｜拨 注意解形如的不等式，不要遗漏讨论的情况 【典例11-1】.（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）（1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）若，解关于x的不等式. 【变式11-1】.（2024·福建·模拟预测）设集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】.（24-25高一上·四川绵阳·开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是 . 【变式11-3】.（2024高一·全国·期中）（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围． （2）已知不等式的解集是，求不等式的解集． 题型十二 利用三个“二次”关系求参 解｜题｜技｜巧 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化. 【典例12】（多选）（24-25高一上·湖南·期中）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式12-1】（多选）（贵州省遵义市2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．关于的方程的解集为 【变式12-2】.（24-25高一上·重庆·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．关于不等式恒成立，则的最小值为 题型十三 不等式恒成立与能成立问题（跨章节） 解｜题｜技｜巧 常见求解策略有： ⑴基本不等式法； ⑵根的判别式法； ⑶实根分布法； ⑷变量分离法. 【典例13-1】若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 . 【典例13-2】（1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【变式13-1】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【变式13-3】若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 . 题型十四 一元二次不等式和基本不等式的实际应用 解｜题｜技｜巧 1．利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． 2．一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”． 【典例14】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【变式14-1】（24-25高二下·云南·期末）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（   ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【变式14-2】（25-26高一上·河南南阳·开学考试）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件元，出厂价为每件元，每月的销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)设袁阳每月获得的利润为（单位：元），写出每月获得的利润与销售单价的函数关系； (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？ 期中基础通关练（测试时间：30分钟） 1．（2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·期中考试）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 4．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 7．(多选)（24-25高一上·广东江门·期中）下列不等式的解集为R的是（      ） A． B． C． D． 8．(多选)（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 9．（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 10．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ． 11．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 12．利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值，并求此时x的值； (2)已知，且，求xy的最大值； (3)若不等式的解集为，求a，b的值； 13．（跨章节）（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 14．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 15．设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，且，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 17．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18.（多选）（24-25高二下·湖南长沙·期中）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．不等式对一切实数恒成立，则 D．“”是“”的一个必要不充分条件 19．(多选)（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 20．（25-26高一上·全国·课后作业）若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是 . 21．（2022·安徽马鞍山·模拟预测）已知正数a，b，c满足． (1)若，证明：； (2)求的最小值． 22．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 23．已知函数． (1)当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. (2)若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. (3)，，若时，有，求的最小值. 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 24．（24-25高一上·山东临沂·期中）如图所示的“大方图”称为“赵爽弦图”，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》"勾股网方图"作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中．他用数学符号语言将其表示为"若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c（a、b、c均为正数）．则，．某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长8cm的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 25．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）已知a，b为正实数，且，若恒成立，则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）记表示实数a，b中的较大的数，已知x，y，z均为正数，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D．6 27．（24-25高一上·上海崇明·期中）一般地，把称为区间的“长度”已知关于x的不等式有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为 ． 28．（24-25高一上·河北邯郸·期末）关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3. 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求证：； (2)已知，且，则的最小值是多少? (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少?”时，给出如下解法： 令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少? 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $