精品解析：陕西省西安市鄠邑区第四中学2025-2026学年高二上学期第一次月考质量检测数学试卷

2025-2026学年第一学期高二第一次月考质量检测 数学试题 本卷满分：150分，考试时间：120分钟 命题人：赵瑜 审核人： 注意事项： 1.本试卷共4页，4大题，19小题. 2.答卷前考生务必浏览试卷和答题卡，检查印刷和页码数.务必规范､完整填写卷头. 3.答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效.考试结束后，只交答题卡. 4.考生作选择题时，请使用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应位置.非选择题请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答. 第I卷客观题（共58分） 一､单选题：（本题共8小题，40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求出集合后，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得，即，解得或或， 则. 又，则. 故选：D. 2. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【详解】因为， 所以． 故选：D． 3. 在中，三个角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理，得到，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得到，即， 得到，又，所以， 故选：C. 4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，然后根据空间向量的平行关系可求的值. 【详解】因为，所以直线l的方向向量与平面的法向量平行， 所以，解得； 故选：C. 5. 若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为 A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点坐标求出直线的斜率,再由斜率等于倾斜角的正切值列出方程求得的值. 【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为45°，∴，解得，故选A 【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 6. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据投影向量的公式计算得到答案. 【详解】由题意可知在上的投影向量为， 故选：B. 7. 若A，B，当取最小值时，x的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标公式求得的坐标，再利用向量模的坐标公式求解. 【详解】因为A，B， 所以， 则 ， ， 当 时，取最小值， 故选：C 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理，结合向量的数量积运算可判断A、B，利用夹角公式可判断C、D. 【详解】对于A，由题意可知， 则 ， 所以，故A错误； 对于B， ， 所以，故B正确； ， 所以， 所以向量与的夹角是，故C错误； 对于D，设与所成的角为， ， . 所以，故D错误. 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用空间向量判断直线、平面间的位置关系. 【详解】若，则，故A正确； 若，则或在内，故B错； 若，则，故C错； 若，则，故D正确. 故选：AD. 10. 下列各命题正确的是（ ） A. 点关于平面的对称点为 B. 点关于y的对称点为 C. 点到平面的距离为1 D. 设是空间向量单位正交基底且以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中的点的对称关系、距离、坐标分析判断 【详解】对于A，点关于平面的对称点为，所以A正确， 对于B，点关于y的对称点为，所以B正确， 对于C，点到平面的距离为2，所以C错误， 对于D，由于是空间向量单位正交基底且以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且，所以，所以D正确， 故选：ABD 11. 已知空间中三点，则正确的有（ ） A. 平面的一个法向量是 B. 与是共线向量 C. 与夹角的余弦值是 D. 点到直线的距离是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知求出，求出平面的法向量判断A，由向量共线的坐标表示判断B，向量夹角的余弦公式求夹角余弦值判断C，应用点线距离的向量求法求点线距离判断D. 【详解】由题设， A，设平面的法向量为，则，即，令，则，故正确. B，根据与的坐标，因为，则它们不是共线向量，故错误； C，由，故错误； D，由，，所以点到直线的距离为，故正确. 故选：AD 第II卷主观题（共92分） 三､填空题：（本题共3小题，15分） 12. 设空间向量，，若，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案. 【详解】，则显然，，解得， 则，， 故答案为：3. 13. 若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出． 【详解】∵向量（1，λ，2），（﹣2，1，1）， ∴2+λ+2＝λ，，． 又，夹角的余弦值为， ∴，可知λ＞0． 解得λ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题． 14. 已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【详解】当直线过B时，设直线的倾斜角为，则 当直线过A时，设直线的倾斜角为，则 综合：直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为 四､解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得. （2）利用三角形面积公式及（1）中信息求出即可. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，由余弦定理得，而， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由（1）得，解得， 所以的周长为. 16. 当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： （1）倾斜角为135°； （2）与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； （3）与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 【答案】（1）m＝－或1 （2）m＝或－3 （3）m＝或－1 【解析】 【分析】（1）倾斜角是，斜率为，由两点坐标计算出斜率，等于－1可得值； （2）求出过两点(3,2)，(0，－7)的直线的斜率，由斜率互为负倒数可得； （3）求出过两点(2，－3)，(－4,9)的直线的斜率，由斜率相等可得． 【小问1详解】 由kAB＝＝－1，解得m＝－或1. 【小问2详解】 由kAB＝，且＝3，∴＝－，解得m＝或－3. 【小问3详解】 令＝＝－2，解得m＝或－1. 17. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 ，，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； 【小问3详解】 因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得且，得到以四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，证得，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，结合，即可求解； （3）由（2）中的空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取的中点，连接，因为且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则, 所以，则 可得，所以， 则点到直线的距离为. 【小问3详解】 解：由（2）中的空间直角坐标系，可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动. （1）当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）①以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，， 因为分别是棱的中点，所以， 当为线段的中点时，则， ①因为，，所以，即； ②； （2）. 【解析】 【分析】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角． （2）由题设，设直线与平面所成的角为，由向量坐标法用表示出，设，设，由导数法求得范围. 【小问1详解】 ①略 ②因为，，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 则， 因为为锐角，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【小问2详解】 因为在线段上，且（）， 所以，可得，则， 因为，设平面的一个法向量为， 由，得，取，则， 设直线与平面所成的角为 则， 因为，所以，设，则， 所以，设，则， 设，可得的取值范围为， 所以的取值范围为， 即直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二第一次月考质量检测 数学试题 本卷满分：150分，考试时间：120分钟 命题人：赵瑜 审核人： 注意事项： 1.本试卷共4页，4大题，19小题. 2.答卷前考生务必浏览试卷和答题卡，检查印刷和页码数.务必规范､完整填写卷头. 3.答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效.考试结束后，只交答题卡. 4.考生作选择题时，请使用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应位置.非选择题请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答. 第I卷客观题（共58分） 一､单选题：（本题共8小题，40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 在中，三个角所对的边分别是，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若直线经过两点，且倾斜角为45°，则m的值为 A. B. 1 C. 2 D. 6. 已知空间向量，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 若A，B，当取最小值时，x的值等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为 二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知直线的方向向量是，两个平面的法向量分别是，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列各命题正确的是（ ） A. 点关于平面的对称点为 B. 点关于y的对称点为 C. 点到平面的距离为1 D. 设是空间向量单位正交基底且以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若，则 11. 已知空间中三点，则正确的有（ ） A. 平面的一个法向量是 B. 与是共线向量 C. 与夹角的余弦值是 D. 点到直线的距离是 第II卷主观题（共92分） 三､填空题：（本题共3小题，15分） 12. 设空间向量，，若，则＝______． 13. 若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=__________. 14. 已知直线l经过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为____． 四､解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角A； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线： （1）倾斜角为135°； （2）与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； （3）与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行. 17. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. （1）用，，表示，，； （2）求的长； （3）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点E为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到直线的距离； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动. （1）当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （2）设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $