专题03 圆周角定理重难点题型专训（2个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 圆周角定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 拓展训练一 圆周角的材料理解型问题 拓展训练二 圆周角的新定义问题 拓展训练三 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图点A、B、C在上，且，则 ． 知识点二、圆的内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知四边形是圆内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 度． 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个蛋糕分成8等分，每份中的角度为（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 2．（24-25九年级·江苏常州·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）请你证明：在同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．（请根据题意写出已知、求证，并给予证明） 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】 （24-25九年级上·江苏常州·期中）如图．已知A、B、C三点在上，点C在劣弧上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为 ． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示）              4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若点F在上，且，求的度数． 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（2025·江苏·模拟预测）如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A．1.5 B．2 C． D．无法确定 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接、，若；则半径的长为（　　） A．4 B． C． D．5 2．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图，在半径为5的中，弦BC，ED所对的圆心角分别是，，已知，，则BC的长为 ． 3．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，顶点C在网格线上，． （I）线段的长等于 ； （II）是如图所示外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=2，∠CBA=30°，点D到线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是 3．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，点是圆上一动点，弦，是的平分线，．当 （度）时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：    （1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________． 问题探究： （2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值． 问题解决： （3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？ 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是上直径两侧的两点，设，则（　　） A． B． C． D． 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，，，，，则 ． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为 ． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，C，D在上，是直径，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，．观察下列尺规作图痕迹，能正确作出边上的高的是(　　) A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为 ． 3．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，是圆O的内接三角形，是直径，与的平分线交于点P，与圆O交于点D，的延长线与圆O交于点F，连接， 则 的长为 ；的长为 ． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的度数； (2)在点B运动的过程中，当都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接，若为直角，求此时t的值． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为4，点从出发沿方向向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接，当为等腰三角形时，点运动的时间是(    ) A．或4 B．或5 C．4或5 D．，4或5 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点、，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．10 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形ABCD中，，，点E在的延长线上，点F在直线上，连接、，若，则线段的最大值为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为 ． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏·模拟预测）如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为 ． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，圆内接四边形的顶点，都在格点上，点在劣弧上，点在优弧上，的度数为 ． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，，交的延长线于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【拓展训练一 圆周角的材料理解型问题】 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作已知角的角平分线． 已知：如图，已知． 求作：的角平分线．    小金同学的作法如下： （1）如图，在平面内任取一点O； （2）以点O为圆心，为半径作圆，交射线于点D，交射线于点E； （3）连接，过点O作射线垂直线段，交于点P； （4）连接．    根据小金的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：交于P， ________=________（________________）（填推理的依据）． （________________________________）（填推理的依据）． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，C，D是线段同侧两点，且． 求证：A，B，C，D四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点D在外或在内． 如图②，若点D在外，设与交于点E，连接， 则（依据1） 又，（依据2） 所以． 所以． 这与已知条件“”矛盾，故点D在外不成立． 如图③，若点D在内， …… 综上所述，作的外接圆，点D在上，即A，B，C，D四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：______； 依据2：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． 3．（2025·江苏常州·模拟预测）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 【拓展训练二 圆周角的新定义问题】 1．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）新定义如图，P为圆外一点，交圆于点A，B，交圆于点C，D，的度数为，的度数为． (1)求的度数； (2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质； (3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形称为圆的神奇四边形． (1)如图1，已知四边形是的神奇四边形，若，，则__________； (2)如图2，已知四边形为的内接四边形，连接，，，，满足，求证：四边形是的神奇四边形； (3)如图3，已知四边形是的神奇四边形，，延长，相交于点E，若，，求的长． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在数学探究课上，同学们发现改变图（1）中圆周角的顶点的位置，可以得到类似和这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角；顶点在圆内的角叫做圆内角．如图（1）和分别是所对的圆外角和圆内角． 　 　　 (1)如图（2），点，在上，为所对的一个圆外角．，分别交于点，．若，所对的圆心角为，求的度数． (2)如图（3），当点P在内时，是所对的一个圆内角，延长交于点C，延长交于点D，若，所对的圆心角为，求的度数． 【拓展训练三 圆周角综合问题】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想； (2)如图，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，A、B、C三点在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A．5 B． C．6 D．4 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，，则 ． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，为直径，，C、D为圆上两个动点，N为中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则的长 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知，是的直径，，求的度数 ． 9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 10．（2025·江苏徐州·模拟预测）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，连接．求的度数． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，．求证． 13．（2025九年级上·江苏淮安·模拟预测）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 14．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 15．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）已知都是上的点，仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，是的直径，的顶点在上，画的中点； (2)在图2中，是的直径，的顶点分别在上，画的中点； (3)在图3中，四边形是的内接矩形，是的中点，画平分交于点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆周角定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 圆周角的概念辨析 题型二 利用圆周角定理求角度 题型三 利用圆周角定理求长度 题型四 利用圆周角定理求面积 题型五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题 题型六 半圆所对的圆周角是直角问题 题型七 90°的圆周角所对的弦是直径问题 题型八 已知圆内接四边形求角度 题型九 求四边形外接圆的直径 拓展训练一 圆周角的材料理解型问题 拓展训练二 圆周角的新定义问题 拓展训练三 圆周角综合问题 知识点一、圆周角 1．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 【即时训练】 1．（25-26九年级上·江苏常州·期中）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理，即可得出结果 ． 【详解】解：∵点A、B、C在上，， ∴ 故选： B． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图点A、B、C在上，且，则 ． 【答案】/46度 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【详解】解：∵与是同弧所对的圆心角与圆周角，， ， 故答案为：． 知识点二、圆的内接四边形 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。 圆内接四边形定理：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知四边形是圆内接四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补性质，对角之和为，直接计算即可． 【详解】解：∵ 四边形是圆内接四边形， ∴ （圆内接四边形对角互补），， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是 度． 【答案】126 【分析】先根据圆周角定理得到∠A＝∠BOD＝54°，然后根据圆内接四边形的性质求∠BCD的度数． 【详解】∵∠BOD＝108°， ∴∠A＝∠BOD＝54°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝126°． 故答案是：126． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【经典例题一 圆周角的概念辨析】 【例1】（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）下列各图中，为圆周角的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，把一个蛋糕分成8等分，每份中的角度为（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【答案】C 【分析】把圆形蛋糕等分成8份，相当于把周角分成8份，故可以计算出每个角的度数． 【详解】解：∵周角的度数是360°， ∴每份角的度数为． 故选C． 【点睛】本题考查了周角的概念，题目难度小，关键是能够将实际问题转化为几何问题． 2．（24-25九年级·江苏常州·课后作业）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做 ． 圆周角的特征：①顶点在 上；②两边都和圆 ． 【答案】 圆周角 圆 相交 【解析】略 3．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）如图，点均在圆上，则图中有 个圆周角． 【答案】8 【分析】根据圆周角的定义，圆周角的顶点必在圆周上，据此可把顶点分别为A、B、C、D的圆周角数出来，即可得到答案． 【详解】解：以点为顶点的圆周角各有3个，以点为顶点的圆周角各有1个，共有8个圆周角． 故答案为8． 【点睛】本题考查圆周角的定义和分类思想的应用，根据圆周角的定义对图中圆周角进行分类统计即可得到正确答案． 4．（24-25九年级上·福建泉州·期中）请你证明：在同圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．（请根据题意写出已知、求证，并给予证明） 【答案】见解析 【分析】分“圆周角的一边过圆心”、“圆心在圆周角的内部”、“圆心在圆周角的外部”3种情况，分别结合图①、②、③证明上述结论； 【详解】已知A、B、C是⊙O上的三个点， 求证：∠B=∠AOC． 证明：（1）在图①中，∵OA=OB， ∴∠A=∠B， 又∵∠AOC=∠A+∠B， ∴∠B=∠AOC； 在图②中，作直径BD，同①可得∠ABD=∠AOD，∠CBD=∠COD， 则∠ABC=∠AOC； 在图③中，作直径BD． 同理∠CBD=∠COD，∠ABD=∠AOD， ∴∠ABC=∠CBD-∠ABD=∠COD-∠AOD=（∠COD-∠AOD）=∠AOC． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理的证明，以及等腰三角形的性质，正确进行分类讨论是关键． 【经典例题二 利用圆周角定理求角度】 【例2】 （24-25九年级上·江苏常州·期中）如图．已知A、B、C三点在上，点C在劣弧上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．在优弧上取一点D，连接、，根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接、， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 1．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接，点在线段上，，连接，若，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交圆于点，连接，，，利用圆周角定理和垂径定理求出，，及的度数即可求解． 【详解】解：延长交圆于点，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵圆中于点，根据垂径定理可得：， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在圆上取点C，连接AC，则∠ACB的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质，首先连接并延长，交于点D，连接、，根据圆周角定理可知，，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得． 【详解】解：如下图所示，连接并延长，交于点D，连接、， ∴，， 由网格可知， ， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 【答案】 【分析】本题考查了圆内角的度数推导及圆周角定理的应用，解题的关键是通过作辅助线（如连接）将圆内角转化为两个圆周角的和，再利用“圆周角的度数等于它所对弧度数的一半”的性质推导圆内角度数． 连接，利用三角形外角性质（）将圆内角拆分为两个圆周角；其中是弧所对的圆周角，是弧所对的圆周角；根据圆周角与弧的关系，分别表示出两个圆周角的度数，再相加即可得到的度数． 【详解】解：连接，    ∵是的外角，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为，   ∴；   ∴． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分． (1)求证：； (2)若点F在上，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答； （2）利用圆内接四边形的性质可得，即可求得，即可解答． 【详解】（1）解：平分， ， 在的内接四边形中，， ， ， ； （2）解：，四边形为圆内接四边形， ， ， ， 【经典例题三 利用圆周角定理求长度】 【例3】（2025·江苏·模拟预测）如图，，是互相垂直的两弦，于，若，那么的长是（   ） A．1.5 B．2 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】连接并延长交于点，连接，，利用圆周角定理、垂径定理以及三角形中位线定理来求解的长度． 【详解】解：连接并延长交于点，连接，， ∵是直径， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的判定及性质、垂径定理以及三角形中位线定理，熟练掌握这些定理并能灵活运用是解题的关键． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，点是弦的中点，与交于点，是直径，连接、，若；则半径的长为（　　） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查圆周角、垂径定理、三角形中位线的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角的性质、垂径定理及中位线的判定与性质是解决问题的关键．根据垂径定理得，，根据过圆周角定理得，在证是的中位线，然后根据勾股定理求出，根据，在，勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的弦，点是弦的中点， ∴，， ∵是直径，连接，， ∴， ∴是的中位线， ， ∵， ，， 在中 ， ， 在中 ， ， 故选：C． 2．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图，在半径为5的中，弦BC，ED所对的圆心角分别是，，已知，，则BC的长为 ． 【答案】 【分析】首先延长CA交于点F，易得，由圆心角与弦的关系，可得，由圆周角定理可得：，然后由勾股定理求得弦的长． 【详解】解：如图，延长CA交于点F，连接BF． ，， ， ． 是的直径， ， ． 故答案为：. 【点睛】此题考查了圆周角定理、圆心角与弦的关系以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·天津南开·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，顶点C在网格线上，． （I）线段的长等于 ； （II）是如图所示外接圆上的动点，当时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 过点的网格线交圆于点，连接，过点的网格线交圆于点，连接和相交于点，取和网格线的交点，连接并延长，交圆于点，则点即为所求 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，圆的基本性质，复杂的格点作图，掌握以上知识是解题的关键． （I）利用勾股定理即可得答案； （II）由同弧所对的圆周角相等，可得，再由得，再由三角形内角和定理即可求出． 【详解】（I）解：； 故答案为： ； （II）过点的网格线交圆于点，连接，过点的网格线交圆于点，连接和相交于点，取和网格线的交点，连接并延长，交圆于点，则点即为所求，如图， 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【经典例题四 利用圆周角定理求面积】 【例4】（2025九年级上·江苏常州·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 【答案】B 【分析】连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角相等得到，则，于是根据等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为正方形得到，则可计算出，，所以，然后利用勾股定理计算出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图， ∵点D为的中点， ，， 在中，， ∵沿折叠后刚好经过的中点D， ∴和在等圆中，又， ∴， ， ， ， ，， ∴四边形为正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴． 故选：B．    【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 1．（2025·广东广州·模拟预测）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=2，∠CBA=30°，点D到线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE，DF交EC的延长线于点F，当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意画出图形，可知EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是面积的2倍，继而求出答案． 【详解】如图，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是面积的2倍， ∵AB是半圆O的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴线段EF扫过的面积是， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理以及含30°角的直角三角形的性质，解题关键是掌握数形结合思想的应用． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，连接，根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，求出，根据，要使的面积最大，则点到的距离最大，因为，点在上，得到，当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可知，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，要使的面积最大，则点到的距离最大， ∵，点在上， ∴，如图： 当点在优弧的中点时，点到的距离最大， 此时为等边三角形， 过点作于点，如图： ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最大面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·天津南开·期末）如图，点是圆上一动点，弦，是的平分线，．当 （度）时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推论；先求得，再根据已知条件得，当最大时，四边形面积最大，求出，从而计算出最大面积； 【详解】平分， ， ， 如图所示，过点作于点， ， 在中，＝，则，＝， ， ， ，为定值， ∴当最大时，四边形面积最大， 在中，边不变，其最长的高为过圆心与垂直（即的中垂线）与圆交于点，此时四边形面积最大． ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∵为圆的直径， ∴， ， ， 四边形的最大面积为． 故答案为：；． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：    （1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________． 问题探究： （2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值． 问题解决： （3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？ 【答案】（1）；（2）最大值；（3）花坛面积的最大值为平方米． 【分析】（1）根据题意作的外接圆，由圆周角定理可得是等边三角形，则有； （2）如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大，由等边三角形的性质，垂径定理，勾股定理可得，结合三角形面积的计算公式即可求解； （3）作的外接圆O，连接，根据（1）的结论可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大，设，则，，根据建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，根据题意作的外接圆， ∵，其外接圆半径等于，所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； （2）∵如图所示，过点作于点，延长交于点，连接， ∴， ∵线段是定值， ∴当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大， ∵是等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大面积为； （3）解：依题意，，， 如图所示，作的外接圆O，连接， 则，点在优弧上， 由（1）可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大， 如图所示， 设，则，， ∵， ∴， ∴平方米， 答：花坛面积的最大值为平方米． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，圆的有关计算，添加辅助圆是解题的关键． 【经典例题五 同弧或等弧所对的圆周角相等问题】 【例5】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，是上直径两侧的两点，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理的推论．根据直径所对的圆周角为直角得到，得到，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到． 【详解】解：∵是上直径两侧的两点， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，以一块含角的直角三角板的斜边为直径画圆，即内接于，，是的直径，D是上的任意一点，且不与A，B，C重合，连接，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．随着点D的变化一直在变 【答案】C 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形的性质，熟知相关定理，正确画出图形，结合图形分情况讨论是正确解答此题的关键． 根据题意画出图形，分点D在和上两种情况利用同弧所对的圆周角相等及圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：内接于，， ， 分点D在和上两种情况∶ ①点D在上时，如图所示： 四边形是圆内接四边形，； ， ； ②点D在上时，如图所示： ， ， 综上所述，的度数是或， 故选：C． 2．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据，得到点，，，四点共圆，根据圆内接四边形的性质得到，，求得，，得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：， 点，，，四点共圆， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 根据题意易得， ，，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，证出点，，，四点共圆是解题的关键． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，四边形内接于，为直径，，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理． 由圆周角定理，结合已知可得，根据直径所对圆周角为直角，直角三角形的两个锐角互余，可得，由圆内接四边形的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角． （1）利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）利用圆周角定理求得，再利用直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题六 半圆所对的圆周角是直角问题】 【例6】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，C，D在上，是直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理；圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；直径（半圆）所对圆周角是直角；掌握圆周角定理是解题关键． 连接，利用圆周角定理得出，，再结合三角形内角和是，进行列式计算，即可解答； 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选： C． 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，．观察下列尺规作图痕迹，能正确作出边上的高的是(　　) A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题是考查基本作图，作垂线，作一个角等于已知角，作平分线，直径所对的圆周角是直角．根据三角形高的意义，在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：图①是过点作的垂线， ， 即为边上的高，故图①正确，符合题意； 图②是先作出线段的中点，再以线段的中点为圆心，的一半为半径画圆，交于点， 由圆周角定理可得， ， 即为边上的高，故图②正确，符合题意； 图③是作， ， ， ， ， ， 即为边上的高，故图③正确，符合题意； 图④是作的平分线， 不能得到， 不是边上的高，故图④不正确，不符合题意． 综上所述，能正确作出边上的高的是①②③． 故选：B． 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径，可得，进而可求出，然后由等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025·重庆永川·模拟预测）如图，是圆O的内接三角形，是直径，与的平分线交于点P，与圆O交于点D，的延长线与圆O交于点F，连接， 则 的长为 ；的长为 ． 【答案】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据直角三角形的性质得，作，然后根据直角三角形的性质得，，接下来，并表示，结合列出方程，求出可得答案；连接，结合说明，再根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴. ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 过点P作，交于点G， ∴， ∴． 设， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 即， 解得， ∴； 连接，可知， ∵， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，角平分线的定义等，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为t秒． (1)如图②，当时，求半圆O在矩形内的弧的度数； (2)在点B运动的过程中，当都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接，若为直角，求此时t的值． 【答案】(1) (2)8或9 【分析】本题考查了求弧长，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，熟练掌握弧长公式以及勾股定理是解题的关键． （1）设与交于点，连接，当时，，证明是等边三角形，即可求解； （2）连接，，证明，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设与交于点，连接，    当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴半圆O在矩形内的弧的度数为； （2）连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：，， 即的值为8或9． 【经典例题七 90°的圆周角所对的弦是直径问题】 【例7】（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为半圆的直径，，点到弦的距离为4，点从出发沿方向向点以每秒1个单位长度的速度运动，连接，当为等腰三角形时，点运动的时间是(    ) A．或4 B．或5 C．4或5 D．，4或5 【答案】D 【分析】过点作于点，根据垂径定理，以及勾股定理求得的长，然后分三种情形讨论，分别求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ①当时，如图，过点作于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴     ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ②当时，则点在的垂直平分线上，所以点与点重合，，此时； ③当时，，此时， 综上所述，或或， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，垂径定理、等腰三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点、，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则的最大值是（    ） A．6 B．5 C．4 D．10 【答案】A 【分析】先证明点A是的中点，再根据90度的圆周角所对的弦是直径推出点P在以A为圆心，半径为的圆上，由此得到当A、P、D三点共线时且P在D点上方时，有最大值，即t有最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵、， ∴中点坐标为，即， ∴点A即为的中点， ∵， ∴点P在以A为圆心，半径为的圆上， 又∵点P在以D为圆心，半径为1的圆上， ∴当A、P、D三点共线时且P在D点上方时，有最大值，即t有最大值， ∴， ∴t的最大值为6， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平面坐标系内两点间的距离公式，90度圆周角所对的弦是直径，圆外一点到圆上一点的最值，判断出点A是的中点是解答本题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在矩形ABCD中，，，点E在的延长线上，点F在直线上，连接、，若，则线段的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查动点最值点圆模型，涉及矩形性质、圆周角定理推论、圆外一定点与圆周上一动点距离最值、勾股定理等知识，根据题意，先确定动点轨迹，再由动点最值-点圆模型的解法转化为求线段长，最后勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-点圆模型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，， ，即， ， 点在以中点为圆心、长为半径的圆上运动，如图所示： 由动点最值点圆模型（圆外一定点与圆周上一动点距离最值问题）可知，的最大值为连接并延长交于的线段长， 在中，， 则， ． 故答案为：8． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由勾股定理可求的长，由可证，可得，由，可得点在以为直径的圆上运动，则为直径时，有最大值为1，即可求解． 【详解】解：连接，交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， 动点，分别从点，同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点，运动， ， ， ， 又， ， ，， ， 点在以为直径的圆上运动， 为直径时，有最大值为1， 故答案为：1 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【经典例题八 已知圆内接四边形求角度】 【例8】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，四边形内接于，M为边延长线上一点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质求出． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，为的直径，五边形内接于，点为的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，根据圆周角定理可知，所以可得，根据圆内接四边形对角互补可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 点为的中点， ， ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故选：C． 2．（2025·江苏·模拟预测）如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．根据圆内接四边形对角互补求得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解． 【详解】解：由题意可得，且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，圆内接四边形的顶点，都在格点上，点在劣弧上，点在优弧上，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据勾股定理的逆定理得到，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：设四边形的外接圆的圆心为，连接、， ，， ， ， 由圆周角定理得：， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，，交的延长线于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点C作于H，， 设，则， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【经典例题九 求四边形外接圆的直径】 【例9】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，把一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B．将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，设在旋转过程中三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F．有如下结论：①线段AE与AF的长度之和为定值；②∠BEO与∠OFC的度数之和为定值；③四边形AEOF的面积为定值；④四边形AEOF有外接圆，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】如图，连接AO，证明△EOA≌△FOC（ASA），可判断①②③的正误，根据对角和为180°的四边形有外接圆，可判断④的正误． 【详解】解：如图，连接AO， ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点， ∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°， ∵∠EOA+∠AOF=90°，∠AOF+∠FOC =90°， ∴∠EOA=∠FOC， 在△EOA与△FOC中， ∵， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴EA=FC，， ∴AE+AF=AF+FC=AC， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； 在四边形中， ∵，， ∴四边形有以为直径的外接圆， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，外接圆等知识．证明△EOA≌△FOC是解题的关键． 1．（2025·江苏南京·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【详解】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．   ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 3．（24-25九年级上·江苏常州·课后作业）图，定长弦在以为直径的上滑动（点、与点、不重合），是的中点，过点作于点，若，，，则的最大值是 ． 【答案】4 【分析】连接，，求出，，，四点共圆，则是的一条弦，当为的直径时最大． 【详解】：如图，连接，，根据， 所以，，，四点共圆，且为直径， 的中点为圆心，则为的一条弦， 当为的直径时最大， 所以时最大， 即的最大值为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了四点共圆，解题的关键是找出符合条件的的位置，有一定难度． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 【拓展训练一 圆周角的材料理解型问题】 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作已知角的角平分线． 已知：如图，已知． 求作：的角平分线．    小金同学的作法如下： （1）如图，在平面内任取一点O； （2）以点O为圆心，为半径作圆，交射线于点D，交射线于点E； （3）连接，过点O作射线垂直线段，交于点P； （4）连接．    根据小金的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：交于P， ________=________（________________）（填推理的依据）． （________________________________）（填推理的依据）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧交于，作射线交于，即可求解； （2）由垂径定理可得，再由“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可求解． 【详解】（1）解：如图，    （2）证明：交于P， （垂径定理）， （同弧或等弧所对的圆周角相等）． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法，垂径定理，圆的基本性质等，掌握作法及性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）请阅读下列材料，完成相应任务． 我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论： 如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）． 已知：如图①，C，D是线段同侧两点，且． 求证：A，B，C，D四点共圆． 证明：作的外接圆，假设点D在外或在内． 如图②，若点D在外，设与交于点E，连接， 则（依据1） 又，（依据2） 所以． 所以． 这与已知条件“”矛盾，故点D在外不成立． 如图③，若点D在内， …… 综上所述，作的外接圆，点D在上，即A，B，C，D四点共圆． 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别指什么？ 依据1：______； 依据2：______． (2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见解析 【分析】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型． （1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论； （2）若点在内，延长与交于点，连接，利用三角形外角及圆周角定理可知，，进而，与已知不符，所以假设不成立． 【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等； 依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接， 则， 又， ． ． 这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立； 3．（2025·江苏常州·模拟预测）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的． 其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．    (1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________． (2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据“折弦的中点”定义可得：； （2）证法一：在上截取，连接、、、．先证明，再证明，得到，进而证明，即可证明； 证法二：过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，先证明，，再证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：， 故答案为：． （2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、． ∵为的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、， ∵为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ．    【点睛】本题为新定义问题，考查了圆周角定理，弧、弦的关系，熟知相关知识，理解题意，根据题意添加适当辅助线构造全等三角形是解题关键． 【拓展训练二 圆周角的新定义问题】 1．（24-25九年级上·江苏常州·单元测试）新定义如图，P为圆外一点，交圆于点A，B，交圆于点C，D，的度数为，的度数为． (1)求的度数； (2)如果我们把顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，请你仿照圆周角定理“圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半”来概括出圆外角的性质； (3)请你定义“圆内角”，并概括出圆内角的性质． 【答案】(1) (2)圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半 (3)圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角．圆内角的性质：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半 【分析】本题主要考查了圆周角定理的应用以及弧度与圆心角的关系和探索性问题，根据已知探索方法进行模仿变式进而得出新的规律是解题关键． （1）首先连接，根据圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，即可求得与的度数，继而求得答案； （2）由（1）的证明方法可证得圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半． （3）利用图形可以得出圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半，根据圆周角定理得出，，再利用三角形的外角性质得出答案即可． 【详解】（1）解：连接， ∵的度数为，的度数为， ∴， ∴； （2）解：圆外角的性质：圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半． 理由：连接， ∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半， ∴，， ∴， ∴圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减去较小弧的度数所得差的一半； （3）解：圆内角的定义：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角； 圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半． 证明：如图，延长，交圆于点D，延长，交圆于点E，连接． ∵是的一个外角， ∴． ∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半， ∴，． ∴． ∴命题成立． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形称为圆的神奇四边形． (1)如图1，已知四边形是的神奇四边形，若，，则__________； (2)如图2，已知四边形为的内接四边形，连接，，，，满足，求证：四边形是的神奇四边形； (3)如图3，已知四边形是的神奇四边形，，延长，相交于点E，若，，求的长． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据新定义得到，然后根据三角形面积公式计算； （2）连接、，它们相交于点，作直径，如图2，利用等角的补角相等证明，则，再根据圆周角定理得到，，所以，所以，然后根据圆的神奇四边形的定义得到结论； （3）与相交于点，如图3，先根据圆周角定理的推论得到为的直径，则，再利用新定义得到，则利用垂径定理得到，，，所以，，接着利用勾股定理计算出，则，设，则，在中利用勾股定理得到，解得，然后利用勾股定理计算出，然后利用面积法计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：与相交于点，如图1， 四边形是的神奇四边形， ， ； （2）证明：连接、，它们相交于点，作直径，如图2， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是的神奇四边形； （3）解：与相交于点，如图3， ， 为的直径， 四边形是的神奇四边形， ， ，，， ，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 解得， 即， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义，圆的综合应用，熟练掌握垂径定理、圆周角定理，灵活利用勾股定理进行几何计算是解题关键． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在数学探究课上，同学们发现改变图（1）中圆周角的顶点的位置，可以得到类似和这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角；顶点在圆内的角叫做圆内角．如图（1）和分别是所对的圆外角和圆内角． 　 　　 (1)如图（2），点，在上，为所对的一个圆外角．，分别交于点，．若，所对的圆心角为，求的度数． (2)如图（3），当点P在内时，是所对的一个圆内角，延长交于点C，延长交于点D，若，所对的圆心角为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，，，根据圆周角定理，得出，再根据题意，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据三角形外角的性质，计算即可得出答案； （2）连接，，，根据圆周角定理，得出，再根据题意，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据三角形外角的性质，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接，，， ∵是所对的圆周角，且， ∴． ∵所对的圆心角为， ∴， ∴． ∵为的外角， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，，， ∵是所对的圆周角，且， ∴． ∵所对的圆心角为， ∴， ∴． ∵为的外角， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 【拓展训练三 圆周角综合问题】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，弦，点在上． (1)如图①，若是的直径，求的度数； (2)如图②，在弧上取一点，若，请用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，正确运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据圆周角的性质和圆内接四边形性质即可求解； （2）连接，根据等弦对等弧，等弧对等角并结合圆内接四边形性质即可得到和的关系． 【详解】（1）∵是的直径， 又 是等腰直角三角形， ∵四边形是的内接四边形， （2）如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， 2．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“＞”、“＜”或“＝”），并证明你的猜想； (2)如图，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； 【答案】(1) (2)不成立，，见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形外角的性质，作辅助线构造圆内接四边形，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． （1）连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案； （2）延长交圆于点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； （2）解：结论不成立，，证明如下： 如图，延长交圆于点，连接， 四边形是圆内接四边形， ， 是的外角， ， ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）数学小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点A、B、C在上，点D在外，线段与交于点E、F，试猜想_____（请填“>”、“<”或“=”），并证明你的猜想； (2)如图2，点A、B、C在上，点D在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； (3)如图3，四边形是的内接四边形，，，，，求的长度． 【答案】(1)＜；证明见解析 (2)不成立；；证明见解析 (3) 【分析】（1）四边形为圆O的内接四边形，则，在中，，即可求解； （2）延长交圆O于点E，则，在中，，即可求解； （3）延长交于E，求得，在和中，利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）的结论不成立，，理由： 延长交圆O于点E，连接， 则， 在中，， ∴， 即； （3）解：延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关知识，直角三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形的对角互补等知识，理解准圆内接四边形的定义是本题的关键，添加恰当辅助线是本题的难点． 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，A、B、C三点在上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握此定理是解题的关键，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得结果． 【详解】解：∵ ，， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A．5 B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】该题考查了平行线的性质，圆周角定理，等角对等边，连接，根据，得出，根据角平分线得出， 等量代换得出，等角对等边得出，圆周角定理和等量代换得出，等角对等边得出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键． 连接，根据等边三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ， 为等边三角形， ， 是的直径， ，， 点是的中点， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角为直角，熟练掌握圆周角的性质，是解题的关键．根据直径所对的圆周角为直角，进行解答即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）如图，为直径，，C、D为圆上两个动点，N为中点，于M，当C、D在圆上运动时保持，则的长 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，圆的性质． 连接：、、，证明O、N、C、M四点共圆，求得，再根据等边三角形的性质可得． 【详解】解；连接：、、． ∴, ∵N是的中点， ∴，． 又∵， ∴． ∴O、N、C、M四点共圆． ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知，是的直径，，求的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆心角相等是解题关键． 根据对顶角的性质，得，通过等弧所对的圆心角相等，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知，是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E．若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理，由题意可得，从而求出，连接、，作于，证明、都是等腰直角三角形，得出，设，则，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是， ∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，连接、，作于， ， ∴， ∴， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·江苏徐州·模拟预测）在菱形中，，，的两边分别交边、于点E、F，且，记的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为 ． 【答案】1 【分析】连接，则：，得到当三点共线时，P、C两点间的距离最小，根据菱形的性质，求出长，证明四点共圆，得到为的直径，即可得解． 【详解】解：连接， 则：， ∴当三点共线时，P、C两点间的距离最小， ∵菱形中，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵的外心为点P，三点共线， ∴为的直径， ∴， ∴P、C两点间的最小距离为1； 故答案为：1． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明为的直径． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，连接．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理．掌握圆内接四边形对角互补、同弧（等弧）所对圆周角为圆心角的一半是解题关键．根据圆内接四边形的性质可求出，再根据圆周角定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧、弦和圆周角之间的关系，平行线的判定，可证明，根据等弧所对的圆周角相等可得，据此可证明结论． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ． 13．（2025九年级上·江苏淮安·模拟预测）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 14．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，以为直径的分别交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用相关性质和定理进行推理与计算． （1）通过等腰三角形的性质得到角相等，进而推出同位角相等，证明两直线平行，再结合直径所对圆周角为直角得出垂直关系； （2）利用垂径定理得到，设的半径为r，则，再根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：∵， ； （2）解：为的直径， ， ， ， ， 设的半径为r，则， 在中，∵， ∴， 解得，即的半径为5． 15．（2025九年级上·江苏常州·专题练习）已知都是上的点，仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图1中，是的直径，的顶点在上，画的中点； (2)在图2中，是的直径，的顶点分别在上，画的中点； (3)在图3中，四边形是的内接矩形，是的中点，画平分交于点． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了应用与设计作图，解题关键是仔细分析题意，结合菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、圆周角性质以及垂径定理及其推论作图． （1）连接并延长，交于点，结合四边形为平行四边形且，可知四边形为菱形，根据“菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角”易得，进而可得，即可获得答案； （2）连接交于点，连接并延长，交于点，根据“平行四边的对角线相互平分”可知点为中点，根据垂径定理的推论“平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧”可知，即可获得答案； （3）连接交于点，连接并延长，交于点，连接，根据“矩形的对角线相等且相互平分”以及“90度圆周角所对的弦为直径”可知为圆心，进而可得，易知，根据垂径定理可得，则有，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，连接并延长，交于点，点即为所求； （2）如下图，连接交于点，连接并延长，交于点，点即为所求； （3）如下图，连接交于点，连接并延长，交于点，连接，即为所求； 学科网（北京）股份有限公司 $