专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训（2个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 根据垂径定理求半径 题型二 根据垂径定理求长度 题型三 根据垂径定理求角度 题型四 根据垂径定理求面积 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 题型七 利用垂径定理求解其他问题 题型八 垂径定理的推论 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 拓展训练一 垂径定理综合 拓展训练二 垂径定理的实际应用综合 拓展训练三 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 【即时训练】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·单元测试）请完善本课时的知识结构． 垂径定理（1） 定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径 ，并且 ． ∵是直径，，垂足为点 ， ∴ ， ∴ ．    知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示，是圆的半径，弦于点，已知，，则弦 ． 【经典例题一 根据垂径定理求半径】 【例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，小雅同学测得宽为，点C到的距离为，则半径为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏常州·开学考试）如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且，已知，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为 ． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为 ． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是一个木制的圆形锅盖，上面用两根横木进行加固，中间有一个木把手，这种木制锅盖物美价廉，使用者不容易被烫伤，极大地方便人们的生活如图是木制圆形锅盖的示意图，横木，木把手在的直径上，，都与垂直且将三等分，求这个圆形锅盖的半径大约是多少？结果保留整数，参考数据： 【经典例题二 根据垂径定理求长度】 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 在中，，，，则 的长为（       ） A．5 B．3 C．4 D．6 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为 ． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，． (1)求的长； (2)连接，求的长． 【经典例题三 根据垂径定理求角度】 【例3】（24-25九年级上·江西南昌·期中）在圆中，若圆心到一条弦的距离与该弦长的比为1：2，则这条弦所分成的两条弧的度数比为 （   ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 1．（24-25九年级上江苏苏州·阶段练习）如图，已知点为上一点，平分弦，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）由两个全等的和构成如图①所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②，的半径为10，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接、，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且． (1)求和度数大小； (2)若，求和的长． 【经典例题四 根据垂径定理求面积】 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知在中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图，中两条互相垂直的弦、交于点，弦和将圆分成了四个部分．其面积分别记为、、、，若点到和的距离分别为2和1，则 ． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）的半径是 ； （2）图中阴影部分的面积是 ． 4．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作的一条平行线； (2)如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】 【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）⊙O的直径为10cm，弦AB平行弦CD，这两弦长分别为6cm和8cm，它们之间的距离为 cm. 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米,油面宽变为6分米，圈柱形油槽的直径MN为 . 4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7． （1）求证：弧AD=弧BC． （2）求图中阴影部分的面积． 【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】 【例6】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．    3．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （1）线段的长为 ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图： ①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为 ； ②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【经典例题八 垂径定理的推论】 【例8】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·天津·期中）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹，并简要说明作图方法不用证明） （1）在图（1）中作线段的垂直平分线： （2）在图（2）中的上面一点E，使 ： （3）在图（3）中上找一点F，使F平分优弧． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，弦与半径交于点． (1)的半径为5， ，，垂足为E，则______． (2)在中，，，，则______． (3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______． (4)，，弦，求的半径． 【经典例题九 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例9】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形内接于，．若，，则的半径是 ． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例10】（24-25九年级上·江苏镇江·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（  ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏无锡·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是 ． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，是上的一点． (1)尺规作图：利用图1，在上作点，使得为的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接、，若，，求的半径．（在图2中画出必要的草图） 【拓展训练一 垂径定理综合】 1．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 已知：如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点， 求证：，，． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作： (1)经过三点的圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)的半径为______（结果保留根号）． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，在平面直角坐标系中，过格点A，，作一圆弧，圆弧所在圆的圆心的坐标为 （2）如图2所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．求破残的圆形轮片圆的半径． 【拓展训练二 垂径定理的实际应用综合】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【拓展训练三 垂径定理中的最值问题】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 3．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为______ ． 问题探究 （2）如图，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，试猜想：当点在什么位置时，最长，并说明理由． 问题解决 （3）如图，四边形是某市规划中的新商业区示意图，，，，，，现计划在四边形内选取一点，把建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区，为方便进入商业区，需修建小路，，从实用和美观的角度，要求满足，求商业活动区的最大面积． 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在半径为5的内有一点P，，在过点P的弦中，长度为整数的弦的条数为（   ） A．8条 B．7条 C．6条 D．5条 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 5．（24-25九年级上·江苏南京·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为 ． 9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 12．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离； （2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） 任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； 任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 请你选择其中一个任务，完成作图． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 根据垂径定理求半径 题型二 根据垂径定理求长度 题型三 根据垂径定理求角度 题型四 根据垂径定理求面积 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 题型七 利用垂径定理求解其他问题 题型八 垂径定理的推论 题型九 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求证 拓展训练一 垂径定理综合 拓展训练二 垂径定理的实际应用综合 拓展训练三 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 【即时训练】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB=90°，求得△AOB是等腰直角三角形，过点O做OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧， ∴弦所对的圆心角∠AOB=， ∴△AOB是等腰直角三角形， 过点O做OC⊥AB于C， ∴, ∴弦心距与弦长的比为1：2． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意在“同圆或等圆”中才适用，这是此类问题的易错点． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·单元测试）请完善本课时的知识结构． 垂径定理（1） 定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径 ，并且 ． ∵是直径，，垂足为点 ， ∴ ， ∴ ．    【答案】 平分这条弦 平分这条弦所对的弧 【分析】根据垂径定理内容进行作答即可． 【详解】解：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． ∵ 是直径，，垂足为点， ∴， ∴． 故答案为：平分这条弦，平分这条弦所对的弧，， 【点睛】本题主要考查的是垂径定理内容，正确掌握垂径定理内容是解题的关键． 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，弦于点E，如果，则的长为（　　）       A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，根据垂径定理得出即可得到答案 【详解】解：∵是的直径，弦于点E， ∴， 故选B 2．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示，是圆的半径，弦于点，已知，，则弦 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． 利用垂径定理得出，利用勾股定理得出长度，即可得到答案． 【详解】解： 如图所示，根据垂径定理可得： 在中，由勾股定理得： 故答案为：8． 【经典例题一 根据垂径定理求半径】 【例1】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，小雅同学测得宽为，点C到的距离为，则半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意作出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理． 连接，设，则，根据垂径定理得出，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接， 由题意可得：，设半径， 则， 由勾股定理可得：， 解得：． 则半径为． 故选：B． 1．（24-25九年级上·江苏常州·开学考试）如图，的两条弦、互相垂直，垂足为E，且，已知，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键，过作于，于，连接，可得四边形是矩形，进而证得四边形是正方形，再利用垂径定理求得，再利用勾股定理即可得到的半径． 【详解】解：过作于，于，连接，如图， 则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴的半径为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·开学考试）如图，是的直径，弦于点E，且，则的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．设的半径为r，则，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设的半径为r，则， ∵是的直径，弦，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为． 故答案为： 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是一个木制的圆形锅盖，上面用两根横木进行加固，中间有一个木把手，这种木制锅盖物美价廉，使用者不容易被烫伤，极大地方便人们的生活如图是木制圆形锅盖的示意图，横木，木把手在的直径上，，都与垂直且将三等分，求这个圆形锅盖的半径大约是多少？结果保留整数，参考数据： 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，全等三角形的判定，关键是由勾股定理列出关于的方程．连接，由垂径定理推出，判定，推出，设这个圆形锅盖的半径是，得到，由勾股定理得到，求出，于是得到答案． 【详解】解：连接， 直径， ， ， ， ， ， 将三等分， ， 设这个圆形锅盖的半径是， ， ， ， ， （负值舍去）． 答：这个圆形锅盖的半径大约是． 【经典例题二 根据垂径定理求长度】 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 在中，，，，则 的长为（       ） A．5 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，根据垂径定理可得，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：A． 1．（2025·江苏镇江·模拟预测）如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：，是直径，， ， 在中，（）， （）， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设半径为，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂直定理等知识的综合，掌握网格的特点，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 根据网格图，如图所示，取格点，连接，过点作于点，利用勾股定理求出圆的半径，点为圆心，运用含角的直角三角形的性质，垂径定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，取格点，连接，过点作于点， ∵点均在小正方形的顶点上，点均在所画的弧上， ∴，即圆的半径，点为圆心， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，． (1)求的长； (2)连接，求的长． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，全等三角形的判定和性质： （1）根据垂径定理以及勾股定理解答，即可； （2）证明，可得，再由勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是半圆的直径，， ∴， ∵弦，， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 根据垂径定理求角度】 【例3】（24-25九年级上·江西南昌·期中）在圆中，若圆心到一条弦的距离与该弦长的比为1：2，则这条弦所分成的两条弧的度数比为 （   ） A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理；根据已知条件得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∵，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴优弧 ∴弦所分成的两条弧的度数比为， 故选：C． 1．（24-25九年级上江苏苏州·阶段练习）如图，已知点为上一点，平分弦，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，根据平分弦，得到，结合，得到，结合等腰三角形的性质计算即可． 【详解】，∵平分弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选A． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，已知的两弦相交于，且点为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】/58度 【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接交于点F，则由垂径定理得，由得，再根据直角三角形两锐角互余可求值． 【详解】解：连接交于点F，如图， ∵点A为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）由两个全等的和构成如图①所示的四边形，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为q，分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程.如图②，的半径为10，、是位于圆心O异侧的两条平行弦，，，．若关于x的方程是“勾股方程”，连接、，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、垂径定理等知识，解题关键是挖掘新定义中最本质的关系：勾股方程满足，利用这个关系即可转化边并证明边相等． 如图，连接，，作于，作的延长线交于，利用勾股定理求出，，再利用全等三角形的判定与性质推导出即可解决问题． 【详解】解：连接，，作于，作的延长线交于，如图： 关于的方程是“勾股方程”， ，，10构成直角三角形，10是斜边， ， ，，，，， ，， ，， ，，即，， 又， ，， ，， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，是的直径，，延长交于点，弦于点，且． (1)求和度数大小； (2)若，求和的长． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）根据平行线的性质得出，由，可得出，再根据数量关系即可求解； （）利用垂径定理和角所对直角边是斜边的一半即可求解； 此题考查了垂径定理，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， （2）由（）得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， 同理可得：， ∴． 【经典例题四 根据垂径定理求面积】 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知在中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理求出AE，再根据勾股定理求出OA即可． 【详解】如图所示：过O作OE⊥AB于点E， ∵OE⊥AB， ∴AE=AB=4， 在直角△AOE中，AE=4，OE=3， 根据勾股定理得到OA==5， 则⊙O的半径是5， 则的面积是 故选：C． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OA是解决问题的关键． 1．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径上．若，则矩形的面积等于（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．连接，过于H，则，可证明四边形是矩形得，则，再利用勾股定理求得，进而利用矩形性质求解即可． 【详解】解：连接，过于H，则，， ∵矩形的顶点B，C在半径为5的半圆O上，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，则， 在中，， ∴矩形的面积等于， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）婆罗摩笈多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他研究发现：当圆中两弦互相垂直时，图形中相对的几何元素间存在着特殊的关系．如图，中两条互相垂直的弦、交于点，弦和将圆分成了四个部分．其面积分别记为、、、，若点到和的距离分别为2和1，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了中心对称，作弦和关于O的对称弦，结合圆的对称性，将转化为中间长方形的面积即可． 【详解】解：如图，作弦和关于O的对称弦， 根据圆的对称性可知，， 所以． 又因为点O到和的距离分别为2和1， 所以， 所以． 故答案为：8． 3．（2025·江苏宿迁·模拟预测）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）的半径是 ； （2）图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 60 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可；（2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 连接，如图 设的半径为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，即的半径为； 故答案为60． （2）∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，解得或（负值舍去） ∴， ∵， ∴． 故答案为． 4．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作的一条平行线； (2)如图2，作一条直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理及三角形的重心． （1）连接，证明，可得； （2）连接，连接交于点，交于点，连接交于点，作直线，则直线即为所作，利用三角形重心的性质和垂径定理即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，直线即为所作， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴点是三角形的重心， ∴点是的中点， ∴直线是的垂直平分线， ∴直线把阴影部分分为面积相等的两部分． 【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】 【例5】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【分析】根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 2．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）⊙O的直径为10cm，弦AB平行弦CD，这两弦长分别为6cm和8cm，它们之间的距离为 cm. 【答案】7或1 【分析】首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出两弦之间的距离． 【详解】解：设两条平行弦分别为AB，CD，连接OA、OC，作OM⊥AB， ∵AB∥CD， ∴直线OM⊥CD，设垂足为N点， ∵OM⊥CD，OM⊥AB，AB=6cm，CD=8cm， ∴AM=BM=3cm，CN=DN=4cm， ∵⊙O的直径为10cm， ∴OA=OC=5cm， ∴OM=4cm，ON=3cm． （1）如图1： 如果AB，CD在圆心的两侧，则它们之间的距离为MN， ∴MN=OM+ON=4+3=7cm； （2）如图2， 如果AB，CD在圆心的同侧，则它们之间的距离为MN， ∴MN=OM-ON=4-3=1cm． 故答案为7cm或1cm． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，两线间的距离等知识点，关键在于熟练运用相关的性质定理，正确的画出图形，认真的计算出OM和ON的长度． 3．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图，油面宽AB为4分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米,油面宽变为6分米，圈柱形油槽的直径MN为 . 【答案】 【分析】根据题意画出相应的图形，在与中，根据勾股定理表示出OE与OF，由OE-OF=1列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出直径MN的长． 【详解】如图，，，过圆心作于，交于，则 ，， 设分米，则分米 由勾股定理得，， 解得 ∴圆柱形油槽的直径为分米. 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理.能根据垂径定理分别表示两个三角形的三边，并根据勾股定理构造方程是解决此题的关键. 4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，弦AB、CD之间的距离为7． （1）求证：弧AD=弧BC． （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD，通过证明≌推出，，根据相等的圆心角所对的弧相等即可得出结论； （2）根据代入数值求解即可． 【详解】解：（1）过点O作，延长MO交CD于点N，连接OA、OB、OC、OD， ， ， ，，， 在中，， ①， 在中，， ②， ②①得， ， ， ，， ，，， 在和中，， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）． 【点睛】本题考查圆的基本性质、不规则图形的面积、勾股定理等内容，作出辅助线是解题的关键． 【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】 【例6】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（    ） A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC 【答案】C 【分析】过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE，可得∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，根据∠COD＝∠AOB，知∠AOE＝∠BOE＝∠COD，即CD＝AE＝BE，在△ABE中，由AE＋BE＞AB可得2CD＞AB． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接AE、BE， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB， 又∵∠COD＝∠AOB， ∴∠AOE＝∠BOE＝∠COD， ∴CD＝AE＝BE， ∵在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴2CD＞AB， 故选：C． 【点睛】本题主要考查垂径定理和圆心角定理，根据∠AOB＝2∠COD利用垂径定理将角平分，从而根据圆心角定理得出答案是解题的关键． 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理及其推论判断即可． 【详解】解：∵是的直径与弦交于点，， 根据垂径定理及其推论可得，点B为劣弧的中点，点为优弧的中点， ∴， ， 但不能证明，故选项说法错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论，解决本题的关键是熟练掌握垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论一定正确的个数有（　　） ①CE=DE；②BE=OE；③；④∠CAB=∠DAB． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CD， ∴CE=DE，；故①③正确； ∴∠CAB=∠DAB；故④正确 由于没有条件能够证明BE=OE，故②不一定成立； 所以一定正确的结论是①③④； 故选：B． 【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握垂径定理是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．    【答案】3 【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （1）线段的长为 ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图： ①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为 ； ②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 作出的平分线并延长交圆于点，连接，即为所求 【分析】（1）根据网格的特征，利用勾股定理求解即可； （2）根据格点的特征及勾股定理确定四边形外接圆的圆心，从而求解半径； （3）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可． 【详解】（1）根据网格的特征， 线段 故答案为：． （2）根据格点的特征，四边形外接圆的圆心位于格点O的位置，连接，，，， 由题意可得 故答案为：． （3）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可， 由格点特征可得四边形为平行四边形，则有 点为中点，即为的中位线 点为中点 ∴点是的中点 ∴ ∴即为所求， 故答案为：取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可. 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用网格的结构特点构造平行四边形和中位线． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在数学活动课上，顾老师提出了一个问题：如图，已知，在上作一点P，使． 小亮同学很快就给出了下列思路： ①连接，作线段的垂直平分线，交于点E； ②连接，作线段的垂直平分线，交于P，则点P即所求． (1)请你按小亮的步骤画出图形； (2)请你利用图形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作垂直平分线及垂径定理，解决本题的关键是熟练掌握作垂直平分线及垂径定理． （1）按小亮的步骤画出图形即可； （2）利用垂径定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即所求． （2）证明：如图， ，， ， ，， ， 【经典例题八 垂径定理的推论】 【例8】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点，交的延长线于点，若点在的垂直平分线上，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理以及垂直平分线的性质．过点作于点，由点在的垂直平分线上可知，直线必过圆心，再根据直角三角形的性质求出的度数；根据得出的度数，根据等腰三角形的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，连接，   点在的垂直平分线上， ∴，直线必过圆心，， ， ， ， ， ． 故选：A． 1．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）已知是的直径，点C、D在上，已知C与点A、B不重合，弧弧，直线交直线于E，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理的推论，三角形形的外角，等边三角形的判定和性质，分为弧是劣弧或弧是优弧，作射线交于点F，即可得到，进而求出的度数，利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：如图，当弧是劣弧时，连接交于点F， ∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，当弧是优弧时，连接并延长交于点， ∵∵弧弧， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·天津·期中）如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留连线痕迹，并简要说明作图方法不用证明） （1）在图（1）中作线段的垂直平分线： （2）在图（2）中的上面一点E，使 ： （3）在图（3）中上找一点F，使F平分优弧． 【答案】 在网格中找到的中点，再找到点C使得，连接，即可； 找到的中点，连接并延长，交于点，则点即为所求； 连接，找到格点，使得、，连接，交圆于点，则点即为所求． 【分析】（1）在网格中找到的中点，再找到点C使得，连接，即可； （2）找到的中点，连接并延长，交于点，则点即为所求； （3）连接，找到格点，使得、，连接，交圆于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图，即为的垂直平分线， 在网格中作矩形、，连接交于点D，则点D是AB的中点，分别连接、，相交于点C，则C为、、中点， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， 连接，则即为的垂直平分线． （2）找到的中点，连接并延长，交于点，则点即为所求；如下图： 如图，∵四边形是矩形， ∴连接，与交于点D，点D是的中点， 连接并延长，交于点， ∵O是圆心， ∴垂直平分， ∴， 即点即为所求； （3）连接，找到格点，使得、，连接，交圆于点，则点即为所求，如下图： ∵，， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点H在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵交圆于点， ∴则点F平分优弧． 故答案为：在网格中找到的中点，再找到点C使得，连接，即可；找到的中点，连接并延长，交于点，则点即为所求；连接，找到格点，使得、，连接，交圆于点，则点即为所求． 【点睛】本题主要考查简单几何作图，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，垂径定理及其推论是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，弦与半径交于点． (1)的半径为5， ，，垂足为E，则______． (2)在中，，，，则______． (3)的半径为5，，垂足为E，，则弦=______． (4)，，弦，求的半径． 【答案】(1) (2)5 (3)6 (4)5 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接，先由垂径定理求，再对运用勾股定理求解即可； （2）连接，利用垂径定理的推论得到，再对运用勾股定理求解即可； （3）连接，由垂径定理得，然后对运用勾股定理求解，即可求解； （4）连接，由垂径定理得，设半径为，则，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． （2）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：5． （3）解：连接， ∵，过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （4）解：连接， ∵，过圆心， ∴， 设半径为，则， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴的半径为5． 【经典例题九 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例9】（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，⊙O中，点、、在圆上，且弧长等于弧长的2倍，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧和弦的关系、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，熟练掌握相关知识是解题关键．取的中点，连接，易得，进而可得，在中，根据三角形三边关系可得，即可获得答案． 【详解】解：如下图，取的中点，连接， ∵弧长等于弧长的2倍， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， ∴． 故选：C． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，，，，则下列结果中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题了考查圆的有关概念及性质，要判断、选项，根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”进行判断；要判断选项，可利用垂径定理及全等三角形的性质判断；要判断选项，可根据等弧所对应的圆心角相等判断，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意在中，，，， ∴根据在同圆或等圆中：圆心角相等；所对的弧相等；所对的弦相等；三项“知一推二”可得：，，， ∴、、正确，错误， 故选：． 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形内接于，．若，，则的半径是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的性质，垂径定理等，过点作，垂足为F，交于点E，连接，根据垂径定理得，从而得到，在和中，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点作，垂足为F，交于点E，连接， 则， ∵， ， ， 在中，， 设半径为R，在中，， 由勾股定理得，即，解得， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的⊙O中，他们提出了如下猜想： 小滨：若∠AOB＝2∠BOC，则． 小江：若AB＝2BC，则． 请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由见解析． 【分析】根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【详解】证明：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作的平分线， ∵是的平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴， 即＝2； 小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D，由垂径定理可知，， ∴， ∵，即，而， ∴， ∴， ∴2． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系是正确解答的关键． 【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例10】（24-25九年级上·江苏镇江·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：取的中点，连接， ， ， ∵， ， ， ∵， ∴，故C正确； 故选：C． 1．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（  ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题． 【详解】解：如图连接OB、OD； ∵AB=CD， ∴，故①正确 ∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM=MB，CN=ND， ∴BM=DN， ∵OB=OD， ∴Rt△OMB≌Rt△OND， ∴OM=ON，故②正确， ∵OP=OP， ∴Rt△OPM≌Rt△OPN， ∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确， ∵AM=CN， ∴PA=PC，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题 【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假． 【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题； 对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题； 对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题； 对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题． 故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题． 【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示，在⊙O中，C、D分别是OA、OB的中点，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列结论： ①， ②， ③四边形MCDN是正方形， ④MN＝AB， 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】连接OM、ON，如图，利用OC＝OD＝OM＝ON，则∠OMC＝∠OND＝30°，则利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判断；通过证明MN＝OM和四边形CDNM为矩形可对①③④矩形判断． 【详解】解：连接OM、ON，如图， ∵MC⊥AB、ND⊥AB， ∴∠OCM＝∠ODN＝90°， ∵C、D分别是OA、OB的中点，OA＝OB， ∴OC＝OD＝OM＝ON， ∴∠OMC＝∠OND＝30°， ∴∠COM＝∠DON＝60°， ∴∠MON＝60°， ∴，所以②正确； ∴△OMN为等边三角形， ∴MN＝CD，∠OMN＝60° ∴MN∥CD， ∴四边形CDNM为矩形， ∴MC＝ND，所以①正确；③错误； ∵MN＝CD＝OA+OB＝AB， ∴④正确． 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 4．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，是上的一点． (1)尺规作图：利用图1，在上作点，使得为的中点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接、，若，，求的半径．（在图2中画出必要的草图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，垂径定理，弧、弦、圆心角关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作的角平分线与圆的交点即为，因为，根据弧、弦、圆心角关系定理，可得，即为的中点； （2）连接，因为为的中点，由垂径定理可知且，利用勾股定理则可求，设圆半径为，在中，利用勾股定理列方程，求解即可． 【详解】（1）解：作的角平分线与圆的交点即为， ∵ ， ∴， 则为的中点； （2）解：连接，交为 ∵为的中点， ， ∵ ， ∵， ， 设圆半径为， 中，， 解得． 【拓展训练一 垂径定理综合】 1．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 已知：如图，在中，是非直径的弦，是直径，且平分，并交于点， 求证：，，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理．连接、，因为是直径，且平分，根据垂径定理可知，根据垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，即可证明结论成立． 【详解】证明：如图所示，连接、， ， 平分， ， ， 是的直径， ，． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请在网格图中进行下列操作： (1)经过三点的圆弧所在圆的圆心坐标为______； (2)的半径为______（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，根据垂径定理的推论找出圆心是解题的关键； （1）根据垂径定理的推论可知，的垂直平分线的交点即为圆心D，进而求出坐标； （2）利用勾股定理求出即为所求． 【详解】（1）解：如图，D为所求；， （2）解：连接， 在中，， 的半径为． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）如图1，在平面直角坐标系中，过格点A，，作一圆弧，圆弧所在圆的圆心的坐标为 （2）如图2所示，破残的圆形轮片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点．已知：，．求破残的圆形轮片圆的半径． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；在中，由勾股定理可求得半径的长． 【详解】解：（1）作弦和的垂直平分线，交点即为圆心， 如图所示，圆心的坐标为； 故答案为：； （2）如图：作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心，长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图． 连接，设，，， 则根据勾股定理列方程： ， 解得：． 故破残的圆形轮片圆的半径为． 【点睛】本题考查了尺规作图-线段的垂直平分线，垂径定理，勾股定理，熟练掌握和运用求作圆心的方法是解决本题的关键． 【拓展训练二 垂径定理的实际应用综合】 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点D．连接．利用勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：连接交于点D．连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在中，， 解得． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，． (1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； (2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程． （1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度． 【详解】（1）解：经过圆心O，且弦， ； （2）解：连接， ∵， ∴， 设的半径为m，则， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴这个月亮门的最大宽度为． 3．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 【拓展训练三 垂径定理中的最值问题】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质．熟练掌握垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作于，于，连接，则四边形是矩形，则，，由勾股定理得，，则 ，即为直径，，根据，计算求解即可； （2）如图1，设，由勾股定理得，，即，，，则，，，则，当时，四边形的面积最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：如图，作于，于，连接，则四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∴，即为直径， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：如图， 设， 由勾股定理得，，即，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形的最大面积是． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图所示，是的直径，，是的两条弦，于点M，于点N，． (1)求的长； (2)若点P为上的动点，请确定点 P 的位置，使得的值最小，并求出最小值 【答案】(1) (2)点P位置建详解； 【分析】（1）连接，分别求出和的长，进而即可求解； （2）连接交于点P，连接，作于点G，的长即为的最小值． 【详解】（1）连接， ∵，，是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）连接交于点P，连接，作于点G，则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵，是的直径， ∴， ∴． ∴，即的值最小值为． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图，是的直径，是上的一动点，若，则面积的最大值为______ ． 问题探究 （2）如图，是的弦，是优弧上的一动点，过点作于点，试猜想：当点在什么位置时，最长，并说明理由． 问题解决 （3）如图，四边形是某市规划中的新商业区示意图，，，，，，现计划在四边形内选取一点，把建成商业活动区，其余部分建成景观绿化区，为方便进入商业区，需修建小路，，从实用和美观的角度，要求满足，求商业活动区的最大面积． 【答案】（1） ；（2）当且仅当经过圆心时，的长度最大，理由见解析；（3） 【分析】（1）利用底一定，高最大时三角形的面积最大解答即可； （2）设经过圆心时的线段为，则，过点作于点，连接，利用矩形的判定与性质和垂线段最短解答即可； （3）根据题意得，点、、、四点共圆，由的结论可知，当点为优弧的中点时，可求得的面积的最大值． 【详解】解：（1）当点为的中点时，，此时，取最大值为， 面积的最大值为， 故答案为：； （2）证明：设经过圆心时的线段为，则，过点作于点，连接，    ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 即， 当且仅当经过圆心时，的长度最大； （3）， 点、、、四点共圆， 由的结论可知，当点为优弧的中点时，可使得的面积最大， 过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为优弧的中点， ， 为的中点， ， ， 的面积的最大值为． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，利用已知条件构造恰当的辅助线是解题的关键． 1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）在半径为5的内有一点P，，在过点P的弦中，长度为整数的弦的条数为（   ） A．8条 B．7条 C．6条 D．5条 【答案】A 【分析】为过P点的直径，是与垂直的弦，连接，根据垂径定理得到，利用圆的性质有过点P的所有的弦中直径最长，最短，并且，然后根据勾股定理可计算出，则，于是得过点P的所有的弦长在6与10之间，进而可求得答案． 【详解】解：如图，为过P点的直径，是与垂直的弦，连接， 则过点P的所有的弦中直径最长，最短，并且， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴过点P的弦中弦长可以为整数的有6，7，8，9，10， 其中长为6和10的弦各有1条，长为7，8，9的弦各有2条，因此长度为整数的弦共有条． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了圆的有关性质以及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质，是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查弧，弦，圆心角，利用等弧和弦的概念，根据弧，弦与圆心角之间的关系进行判断即可． 【详解】解：①直径是弦，故说法正确； ②弧是圆的一部分，不一定是半圆，故说法错误； ③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等，故说法正确； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧两段，不一定相等，故说法错误； ⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故说法正确； 综上所述，正确的序号是①③⑤． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，根据已知得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．10米 C．12米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为， ∴， ∵米， ∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即， 解得：， 即拱桥的半径为10米， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏南京·随堂练习）观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为 【答案】 【分析】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 根据圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦， ∴，，， ∴，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识．连接，先利用勾股定理求出的长，再由垂径定理即可得的长． 【详解】解：如图，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 10．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长．”则的长是 寸． 【答案】10 【分析】此题考查了垂径定理的应用，解决本题的关键是注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题． 连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出圆的半径为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接，如图， ∵，且寸， ∴寸， 设的半径的长为x，则， ∵寸， ∴寸， 在中，根据勾股定理得： 解得， ∴寸． 故答案为：10． 11．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF 【答案】见解析 【分析】根据垂径定理进行解答即可． 【详解】解：∵E为AB中点，MN过圆心O， ∴MN⊥AB ， ∴∠MEB＝90°， ∵AB∥CD ， ∴∠MFD＝∠MEB＝90°， 即MN⊥CD ， ∴CF＝DF． 【点睛】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 12．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在中，半径弦，垂足为，，． (1)求半径的长． (2)作图：延长交于点并连接，求的长． 【答案】(1)5 (2)图见解析， 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得到，设，在利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）延长交于点并连接，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴半径的长为5； （2）解：如图， 由（1）得，半径的长为5， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，两个圆都是以为圆心，大圆的弦交小圆于两点． (1)求证：； (2)若，小圆的半径为5，求大圆的半径的值． 【答案】(1)见解析 (2)大圆的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理； （1）作于E，根据垂径定理得到即可得到； （2）连接，在和中根据勾股定理得到，代入求值计算即可． 【详解】（1）证明：如图：作于E， 由垂径定理，得： 即； （2）解：如图，连接， ， ， 在和中，由勾股定理，得： ， ， 即， 解得： 大圆的半径为． 14．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点，交于点，连接．当桥下水面宽时，． (1)求这座石拱桥主桥拱的半径； (2)有一条宽为，高出水面的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】(1)这座石拱桥主桥拱的半径为 (2)此渔船不能顺利通过这座桥 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，，，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设为该渔船的上端，连接，根据题意可求出的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知，， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为． （2）解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设为该渔船的上端，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 15．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）（1）如图，为的弦，已知的半径是，，求到的距离； （2）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） 任务：如图，为的弦，画一条与长度相等的弦； 任务：如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； 请你选择其中一个任务，完成作图． 【答案】（1）；（2）解析． 【分析】（1）根据垂径定理得，再根据勾股定理即可得解； （2）任务：分别过、作直径和，连接，由得； 任务：连接，，，交于点，作射线交于点，由得，从而得是半圆，则为直径． 【详解】解：（）过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得，即到的距离为； （2）选择任务1：如下图，， 选择任务：如图，如下图为直径．    【点睛】本题主要考查了无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及垂径定理，熟练掌握无刻度直尺作图，圆心角与弦弧的关系，全等三角形的判定及性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $