专题06 双曲线（期中复习讲义）（知识必备+9大核心题型+分层验收）高二数学上学期人教B版

专题06 双曲线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义与方程 双曲线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握双曲线的定义求轨迹方程 双曲线的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，渐近线及特征三角形，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 双曲线的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 知识点01 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、对双曲线定义的理解 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点02 双曲线的标准方程及简单性质 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、双曲线的基本性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 实轴的长；虚轴的长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 关系 离心率 渐近线方程 焦点到渐近线距离 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ·易错点： 实轴，虚轴，通径的长度位置，利用数形结合掌握双曲线的定义以及应用上，消参的表示上为易错点 知识点03 焦点三角形 1、焦点三角形：，，， 2、焦半径：， 易错点：易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 题型一 双曲线的定义及辨析 解｜题｜技｜巧 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 易｜错｜点｜拨 注意距离之差为常数与距离之差的绝对值为常数的区别. 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【典例2】（24-25高二上·云南丽江·月考）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 题型二 求双曲线的方程 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的标准方程，通过双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【变式2-1】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（ ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 题型三 双曲线方程的参数问题 解｜题｜技｜巧 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【典例3】（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·湖北孝感·月考）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）（24-25高二下·重庆渝中·月考）若方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 题型四 由双曲线的方程研究其性质 解｜题｜技｜巧 先将方程化为标准形式，再根据标准方程确定“定位参数”（焦点位置）和“定量参数”（），最后代入公式计算离心率、渐近线等几何性质，关键是避免参数混淆和符号错误． 【典例4-1】（24-25高二下·重庆·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高二下·广东汕头·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【变式4-1】．（24-25高二上·湖南·期中）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 【变式4-2】（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 题型五 离心率 解｜题｜技｜巧 离心率： 1、点在双曲线上，利用坐标法带入双曲线方程，求解出之间的关系即可； 2、点在双曲线上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例5-1】（24-25高二下·河南新乡·期末）已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【典例5-2】（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线，点（不与原点重合）在的一条渐近线上，若点到另一条渐近线的距离与到轴的距离相等，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【变式5-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点A，B在双曲线上，且满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 题型六 离心率取值范围 答｜题｜模｜板 1、离心率：利用定义（双曲线上的点到焦点距离差的绝对值为定值），坐标（点在双曲线上，渐近线上），几何关系（角度，最值，正余弦定理）进行不等式的表示，从而推导出的不等式，求解离心率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 不等关系的寻找上，没有按照精确的标准进行不等关系的表示. 【典例6】（24-25高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 题型七 焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆圆心的横坐标 ，内切圆圆心的坐标 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算，也容易和椭圆的焦点三角形面积公式混淆. 【典例7-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【典例7-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【变式7--1】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 【变式7-2】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ） A．1 B． C．3 D． 题型八 双曲线的最值 答｜题｜模｜板 利用双曲线的定义，将两条线段转化为定义的另一条线段进行最值的求解，两个线段相加时存在最小值，即两边之和大于第三边；两个线段相减时存在最小值，即两边之差小于第三边. 易｜错｜点｜拨 在数形结合上，没有使用定义进行其中一条线段的表示，从而表达不出三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 【典例8-1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【典例8-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【变式8-1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【变式8-2】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 题型九 双曲线的光学性质 答｜题｜模｜板 通过双曲线一焦点的光线，被双曲线反射后，反向延长线经过双曲线的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用双曲线的定义，焦点三角形的面积公式，余弦定理等进行求解. 易｜错｜点｜拨 双曲线的焦点三角形面积，余弦定理的表示和应用上不足. 【典例9】（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京·开学考试）若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A． B． C．或 D． 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（21-22高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西商洛·一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 8．(多选)（24-25高二下·广西南宁·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C表示双曲线 B．当时，曲线C表示椭圆 C．曲线C不可能表示两条直线 D．曲线C可能表示抛物线 9．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 10．（24-25高二下·上海杨浦·期末）双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 11.（24-25高二上·福建浦城·期中）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 12．（24-25高二下·广西南宁·期中）求双曲线的顶点、焦点的坐标、实轴长、虚半轴长、焦距、离心率以及渐近线方程． 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为； (3)离心率，且经过点； (4)经过点，且一条渐近线的方程为． 14．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 15．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 17．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D． 19．（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 20．（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 21.（多选）（2025·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 22．（多选）（25-26高三上·河北·开学考试）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 23．（24-25高二下·福建福州·期中）已知双曲线的一条渐近线倾斜角为60°，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程以及离心率； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上． 24．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 期中综合拓展练（测试时间：25分钟） 25.（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 27．（多选）（24-25高三下·云南昭通·期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（　　） A． B．为等腰直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为 28．（多选）（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，，为上关于坐标原点中心对称的两点，则下列说法正确的有（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 29．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 30．（24-25高二上·上海·期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 18 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 双曲线的定义与方程 双曲线的定义及标准方程 基础必考点；常在小题或解答题第一问中出现，难点利用数形结合掌握双曲线的定义求轨迹方程 双曲线的简单性质 长轴，短轴，焦距，离心率，渐近线及特征三角形，对称关系 基础必考点，常在小题中出现，难点利用定义，方程以及解三角形正、余弦定理求解离心率及范围问题 双曲线的焦点三角形 焦点三角形周长和面积 基础必考点，常在小题中出现，难点利用焦点三角形的面积公式题型的求解. 知识点01 双曲线的定义 1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为． 2、双曲线的集合表示：． 3、对双曲线定义的理解 （1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 知识点02 双曲线的标准方程及简单性质 1、双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在轴 焦点在轴 图形 标准方程 焦点坐标 、 、 的关系 2、双曲线的基本性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 或， 或， 顶点 、 、 轴长 实轴的长；虚轴的长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 关系 离心率 渐近线方程 焦点到渐近线距离 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： ·易错点： 实轴，虚轴，通径的长度位置，利用数形结合掌握双曲线的定义以及应用上，消参的表示上为易错点 知识点03 焦点三角形 1、焦点三角形：，，， 2、焦半径：， 易错点：易混淆椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式，焦半径的坐标式的表达上. 题型一 双曲线的定义及辨析 解｜题｜技｜巧 紧扣定义的“两个关键点”——距离差的绝对值和与焦距的大小关系，解题思路可分为“定定义→判条件→用性质”三步． 第一步：明确双曲线的定义，尤其是两个关键点，这是解题的基准线； 第二步：分析题干条件，先提取关键信息，对照定义逐一判断，排除不符合定义的情况； 第三步：结合定义解决典型问题． 易｜错｜点｜拨 注意距离之差为常数与距离之差的绝对值为常数的区别. 【典例1】（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（    ） A．2 B．10 C．2或9 D．2或10 【答案】B 【详解】，，，， 由，由得或10， 又，所以.故选：B. 【典例2】（24-25高二上·云南丽江·月考）如图，过双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【详解】依题意，双曲线实半轴长，虚半轴长，令半焦距为c， 设是双曲线的右焦点，连接， 由分别为的中点，得，由双曲线定义，得， 由切圆于点，得， 所以.故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点， 所以有， 由，得，该圆的半径为， 因为点在圆上运动时， 所以有，于是有， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以， 所以点的轨迹方程为， 故选：D 【变式1-2】（24-25高二上·宁夏·期末）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为两条射线 【答案】AD 【详解】对于A，，则点的轨迹为以为焦点的椭圆，A正确； 对于B，，则点的轨迹是以为焦点双曲线的右支，B错误； 对于C，由，得，则点的轨迹是以为直径的圆，C错误； 对于D，，则点的轨迹是以为端点，且不过的两条射线，D正确. 故选：AD 题型二 求双曲线的方程 解｜题｜技｜巧 1、双曲线的标准方程，通过双曲线上的点到两个焦点的距离的差的绝对值等于，焦点坐标确定，利用求解椭圆的方程 2、焦点在轴：，焦点在轴： 易｜错｜点｜拨 注意焦点在轴或轴上，容易出现方程错误. 【典例2】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程. 【详解】由题意，，，则，， 由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 【变式2-1】（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断椭圆的焦点位置，求出其半焦距，设出双曲线方程，依题意列出方程组，解之即得. 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（ ） A．13 B．10 C．1 D．13或1 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义求解． 【详解】由题意得焦距为，由双曲线定义可得， 所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确. 故选：A. 题型三 双曲线方程的参数问题 解｜题｜技｜巧 由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线． （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围． 【典例3】（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则，解得， 所以实数m的取值范围是故选：C 【变式3-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得或， 故的取值范围为．故选：B. 【变式3-2】（24-25高二上·湖北孝感·月考）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得解得，故选：B． 【变式3-3】（多选）（24-25高二下·重庆渝中·月考）若方程表示的曲线为．给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BD 【详解】当时曲线表示圆，A选项错误. 若曲线表示双曲线，则或 所以当或时，曲线表示双曲线，B选项正确. 若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，∴C选项错误. 若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则D选项正确.故选：BD. 题型四 由双曲线的方程研究其性质 解｜题｜技｜巧 先将方程化为标准形式，再根据标准方程确定“定位参数”（焦点位置）和“定量参数”（），最后代入公式计算离心率、渐近线等几何性质，关键是避免参数混淆和符号错误． 【典例4-1】（24-25高二下·重庆·期中）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由双曲线，则，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为.故选：B. 【典例4-2】（24-25高二下·广东汕头·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为.故选：B. 【变式4-1】．（24-25高二上·湖南·期中）已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．21 B．19 C．13 D．11 【答案】B 【详解】由题意，解得， 所以.故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由双曲线定义知，又，则，， 在中，，，则， 所以，可得，则， 所以的渐近线方程为.故选：C. 题型五 离心率 解｜题｜技｜巧 离心率： 1、点在双曲线上，利用坐标法带入双曲线方程，求解出之间的关系即可； 2、点在双曲线上，利用定义（）及长度关系，求解出之间的关系； 3、利用三角形的正、余弦定理，化简求解出之间的关系. 解三角形正弦定理：， 解三角形余弦定理：，以及解多个三角形时，在不同三角形中表示同一个角的余弦定理进行化简求解. 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 易｜错｜点｜拨 在正余弦定理的使用时，容易把角的余弦正负判断错误. 【典例5-1】（24-25高二下·河南新乡·期末）已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质把的三边用，，表示出来，然后用的余弦定理建立起，，的方程，进而可得到答案. 【详解】记为坐标原点，由双曲线的性质可知：在中，，，，． 在中，， 因为，所以，所以， 化简得，即， ，，． 因为，所以． 故选：D 【典例5-2】（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用表示，结合双曲线定义列式求解. 【详解】设双曲线的焦距为， 由，则，又， 所以点在双曲线的右支上，且，， ，解得. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线，点（不与原点重合）在的一条渐近线上，若点到另一条渐近线的距离与到轴的距离相等，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知为的角平分线，可得渐近线的倾斜角，进而可得离心率. 【详解】设点在另一条渐近线、轴上的投影分别为，则， 可知为的角平分线，即， 根据对称性可得，即， 可知渐近线的倾斜角，斜率， 所以的离心率. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知双曲线a的一个焦点为，且双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】已知双曲线a的一个焦点为，可知焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为.根据圆的方程可知圆心为焦点，半径为.圆心到渐近线的距离d等于半径r，根据点到直线距离公式得到b，根据得到a，从而计算出离心率. 【详解】已知双曲线a的一个焦点为，故焦点位于x轴上，半焦距.设双曲线方程为：，渐近线方程为. 已知圆得方程：，圆心即为焦点，半径为. 圆心到渐近线的距离d等于半径r，由点到直线的距离公式可得： ，代入得：. 由. 所以离心率. 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点A，B在双曲线上，且满足，，则双曲线C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合勾股定理建立方程求出离心率. 【详解】令点关于原点的对称点为，连接，则四边形为平行四边形， ，由，得，则点共线， 令，则，，， ，由，得为矩形，则， 即，解得，，令， 由，得，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：D 题型六 离心率取值范围 答｜题｜模｜板 1、离心率：利用定义（双曲线上的点到焦点距离差的绝对值为定值），坐标（点在双曲线上，渐近线上），几何关系（角度，最值，正余弦定理）进行不等式的表示，从而推导出的不等式，求解离心率的取值范围. 易｜错｜点｜拨 不等关系的寻找上，没有按照精确的标准进行不等关系的表示. 【典例6】（24-25高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质即可求解. 【详解】因为在双曲线的右支上， 所以由双曲线的定义可得：， 又因为， 所以，. 则，即. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的两条渐近线之间的夹角小于， 所以或 ，即 或 ， 又 ，所以，故选：D 【变式6-2】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 题型七 焦点三角形问题 答｜题｜模｜板 焦点三角形：，，，为内切圆圆心的横坐标 ，内切圆圆心的坐标 易｜错｜点｜拨 在焦点三角形面积公式的求解时，不易判断具体使用哪一种面积公式的计算，也容易和椭圆的焦点三角形面积公式混淆. 【典例7-1】（24-25高二上·江西南昌·期末）已知，为双曲线的左，右焦点， O为坐标原点， M为双曲线上一点，且，则M到x轴的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】双曲线的焦点，， 在中，由余弦定理， 得， 即，解得，又， 令M到x轴的距离为，则， 即，解得，所以M到x轴的距离为2.故选：C. 【典例7-2】（24-25高二上·云南昭通·期中）若是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上，且，离心率为，则的面积为 . 【答案】4 【详解】双曲线中，解得， 所以，得，所以， 故为直角三角形，得， 由双曲线的定义知， 所以， 得，所以. 【变式7--1】（24-25高二下·广东东莞·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线第一象限上一点，的角平分线为，过点作的平行线，分别与，交于，两点，若，则的面积为 . 【答案】 【详解】如图，记与轴交于点， 由题意得，，，故，. ∵，为中点， ∴为的中位线， ∴，， 由得与相似，∴， ∴，， ∵的角平分线为， ∴由角平分线定理得，， 由双曲线的定义得，， ∴， ∴，故为直角三角形， ∴的面积为. 【变式7-2】（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义、余弦定理及三角形的面积公式求解． 【详解】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上， 则，， 又， 则， 即， 即， 即的面积是 故选： 题型八 双曲线的最值 答｜题｜模｜板 利用双曲线的定义，将两条线段转化为定义的另一条线段进行最值的求解，两个线段相加时存在最小值，即两边之和大于第三边；两个线段相减时存在最小值，即两边之差小于第三边. 易｜错｜点｜拨 在数形结合上，没有使用定义进行其中一条线段的表示，从而表达不出三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 【典例8-1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理，利用三角形三边关系，可得答案. 【详解】由双曲线，则，即，且， 由题意， ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 【典例8-2】（24-25高二上·山西太原·期末）已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】设双曲线E：的右焦点为，则，. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， ，. 【变式8-1】（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 【变式8-2】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为 . 【答案】8 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 题型九 双曲线的光学性质 答｜题｜模｜板 通过双曲线一焦点的光线，被双曲线反射后，反向延长线经过双曲线的另一个焦点，即得到一个焦点三角形，从而利用双曲线的定义，焦点三角形的面积公式，余弦定理等进行求解. 易｜错｜点｜拨 双曲线的焦点三角形面积，余弦定理的表示和应用上不足. 【典例9】（24-25高二上·广西河池·期末）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长则必过点， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 【变式9-1】（2023·广西柳州·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 【变式9-2】（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得，进而得出结论． 【详解】设，，，由题意知，，， 所以，，，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：B. 期中基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（25-26高二上·湖南长沙·阶段练习）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 2．（25-26高三上·北京·开学考试）若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线定义求出，再由双曲线方程求出其渐近线方程. 【详解】双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4， 则有，得， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：C 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为，是双曲线上的一点，且，则（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，解得，所以，双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以，， 当时，； 当时，. 综上所述，，故. 故选：A. 4．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知双曲线的焦点在x轴上，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程表示的双曲线特征，列相应不等式，即可求解. 【详解】由双曲线的焦点在x轴上， 可得，即m的范围为， 故选：D 5．（21-22高三下·四川德阳·期末）双曲线的焦点坐标是和，实轴长是2，则其方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定即可得双曲线方程. 【详解】双曲线的焦点坐标是和可得， 实轴长是2可得， 所以， 所以方程是. 故选：B. 6．（2023·陕西商洛·一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，焦距为，点在双曲线上，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦距可得，根据半通径长和长可构造等式求得. 【详解】焦距为，即，； ，，又，， ，即，，解得：. 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 8．(多选)（24-25高二下·广西南宁·期中）已知曲线，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线C表示双曲线 B．当时，曲线C表示椭圆 C．曲线C不可能表示两条直线 D．曲线C可能表示抛物线 【答案】AC 【分析】根据椭圆、双曲线的定义列式求解m范围，可判断AB；根据方程特征可判断CD. 【详解】对于A，曲线，当时，表示双曲线， 即时，曲线C表示双曲线，A正确； 对于B，曲线，即曲线， 当，即时，曲线C表示椭圆，B错误； 对于C，由B的分析可知，时，曲线C表示圆， 当，此时m不存在， 结合以上分析可知无论m如何取值，方程都不能化为两个一次因式积等于0形式， 故曲线C不可能表示两条直线，C正确； 对于D，方程不含一次项，故曲线C不可能表示抛物线，D错误， 故选：AC 9．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为 ． 【答案】2 【分析】设所求双曲线方程为，将点代入即可求解. 【详解】设所求双曲线方程为， 将点代入双曲线方程得， 故双曲线方程为，则双曲线的实轴长为2． 10．（24-25高二下·上海杨浦·期末）双曲线的两条渐近线的夹角是，则该双曲线的焦距长是 . 【答案】或4 【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合夹角大小求出，进而求出焦距. 【详解】双曲线的其中一条渐近线方程是， 由两条渐近线的夹角是，得直线的倾斜角是或， 则，或，， 所以该双曲线的焦距长是或4. 11.（24-25高二上·福建浦城·期中）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设右焦点为，则，则， 依题意有， ， （当在线段与双曲线的交点时，取等号）． 故的最小值为9. 12．（24-25高二下·广西南宁·期中）求双曲线的顶点、焦点的坐标、实轴长、虚半轴长、焦距、离心率以及渐近线方程． 【答案】答案见详解 【分析】把双曲线的方程化成标准方程，再分别求出顶点，焦点，实轴长，虚半轴长，焦距，离心率及渐近线方程即可. 【详解】把双曲线的方程化成标准方程， 因此实半轴的长，实轴长，虚半轴的长，于是， 所以两个顶点是、， 两个焦点是、，焦距，离心率， 两条渐近线的方程是和． 13．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆有公共焦点，且过点； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为； (3)离心率，且经过点； (4)经过点，且一条渐近线的方程为． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）依题意设所求双曲线为，代入点的坐标，求出，即可得解； （2）设双曲线的标准方程为，即可得到渐近线方程，从而求出、，即可得解； （3）由离心率得到，即可得到双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，代入点的坐标，求出，即可得解； （4）设双曲线方程为，代入点的坐标，求出，即可得解； 【详解】（1）椭圆的焦点， 由题意设所求双曲线为， 双曲线过点， ，整理得， 解得或（舍去）， 所求双曲线方程为． （2）设双曲线的标准方程为， 则渐近线为， 焦距为，渐近线斜率为， ，， 又，所以，， 双曲线的标准方程为， （3）离心率，经过点， 则，所以， 所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， ，解得，所以双曲线方程为，即. （4）因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 所以，解得， 所以双曲线方程为. 14．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    期中重难突破练（测试时间：10分钟） 15．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D 16．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件，求出渐近线的斜率，再根据求双曲线的离心率. 【详解】如图：不妨设点在第一象限. 因为与轴垂直，，且， 所以. 所以点坐标为. 所以. 所以. 故选：B 17．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知点F是双曲的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求出双曲线焦点到渐近线的距离为，再结合的面积可求的值，即可求出双曲线的离心率. 【详解】如图： 由题有，由双曲线性质有，，所以. 所以，所以. 又双曲线方程，则，， 所以，则双曲线离心率. 故选：C 18．（23-24高二上·河北保定·期末）已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案. 【详解】由双曲线，可得，则， 设，由双曲线的定义，可得， 根据余弦定理，可得，解得， 再设点的坐标为， 则， 因为，可得，解得， 由，可得，即点到轴的距离为. 故选：C. 19．（24-25高二上·江苏泰州·期中）3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D    20．（2024·广东韶关·二模）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点A（A在轴右侧）．若是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用题给条件得到的关系，进而得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设双曲线右焦点为，连接. 又中，，则, 由直线可得，则， 又由双曲线可得， 则，则有，即 又，则有， 整理得，解之得 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C 21.（多选）（2025·山东淄博·二模）已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以， 所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角， 所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且， 所以，所以，错误． 故选：BC 22．（多选）（25-26高三上·河北·开学考试）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，点是两曲线的一个交点，，分别为，的离心率，则（    ） A． B． C．是直角三角形 D．是个定值 【答案】ACD 【分析】由椭圆和双曲线的定义和性质推理和判断得出. 【详解】选项A，因为有公共的焦点，得， 即，又，所以可得.故A正确； 选项B，因为有公共的焦点，可得，，， 得，即，故B错误； 选项C，因为有公共的焦点，可得，不妨设点在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得， ，，所以，，，， 所以，故是直角三角形，故C正确； 选项D，因为有公共的焦点，可得，，， 因此，故D正确. 故选：ACD. 23．（24-25高二下·福建福州·期中）已知双曲线的一条渐近线倾斜角为60°，左、右顶点分别为，且． (1)求C的方程以及离心率； (2)若动直线与C交于不同的两点，直线，交于点，证明：点恒在椭圆上． 【答案】(1)C的方程为，离心率为； (2)证明见解析； 【分析】（1）利用渐近线倾斜角以及实轴长可得，，即可求出C的方程以及离心率； （2）设并求得直线方程，解得交点的坐标代入椭圆方程验证即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 又由可得，所以； 可得，即； 因此双曲线C的方程为； 离心率为. （2）易知， 由动直线与C交于不同的两点，不妨设，如下图所示： 则直线的斜率为， 所以两直线的方程分别为； 联立，解得， 又因为在双曲线上，所以，即可得 又椭圆为， 易知，即点满足椭圆方程， 即点E恒在椭圆上. 24．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解； （2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解. 【详解】（1）由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以 所以方程为，即：. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 25.（25-26高二上·安徽阜阳·阶段练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离和点到直线的距离公式，变形等式，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由方程，， 得，则， 即，可得动点到定点和定直线的距离的比值为常数. 由双曲线的定义，可得，解得. 故选：B 26．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）公元前 300 年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值， 则这个比值即为“黄金分割比”， 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”． 黄金双曲线 的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦， 为中点． 设双曲线的离心率为， 则下列说法中，错误的有（ ） A． B． C． D．若， 则恒成立 【答案】D 【分析】由黄金分割双曲线定义求得双曲线的离心率，判断A，证明，利用射影定理证明，判断B，利用点差法求判断C，联立方程求出坐标，计算，判断D. 【详解】由为黄金分割双曲线可得，即，对两边同除以可得，则，A正确； 变形得，， ，， 所以，又， 所以，，所以， 所以，所以， B正确；    设，，，将坐标代入双曲线方程可得， ，作差后整理可得，即 所以，故C正确； 设直线，则直线，将代入双曲线方程， 可得，则，，将换成即得 ， 则与，的值有关，故D错误， 故选：D. 27．（多选）（24-25高三下·云南昭通·期中）已知双曲线的渐近线与圆相切，分别为的左、右焦点，动点在的左支上，则（　　） A． B．为等腰直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线的渐近线方程及直线与圆相切求出即可判断A；根据双曲线的关系求出，可得，进而结合勾股定理判断B；结合双曲线的定义可得周长为，结合三角形的几何性质求解判断C；设，进而结合两点间的距离公式、二次函数的性质求解判断D. 【详解】双曲线的渐近线方程为，即， 由圆，圆心为，半径为， 因为渐近线与圆相切，所以，解得，故A正确； 而，则，即，所以， 则，故，即， 所以为等腰直角三角形，故B正确； 的周长为 ， 当且仅当三点共线时等号成立， 则的周长的最小值为，故C不正确； 设，则，即， 所以， 则时，取得最小值，故D正确. 故选：ABD． 28．（多选）（24-25高三下·甘肃庆阳·期中）设双曲线的左、右焦点分别为，，且，，为上关于坐标原点中心对称的两点，则下列说法正确的有（   ） A．的实轴长为 B． C．若，则直线的斜率为 D．若，则 【答案】BD 【分析】A利用即可；B利用对称性得出，再结合双曲线的定义即可；C利用即可求出点坐标，再计算直线的斜率即可；D利用并结合双曲线的定义可得，再利用勾股定理即可. 【详解】设为双曲线的半焦距，则2， 由，即，所以的实轴长为，故A错误； 由于关于原点中心对称，关于原点中心对称， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故B正确； 由，解得，所以， 所以直线斜率即直线斜率，，故C错误； 由，，可得，， 则，所以， 又，所以，故D正确. 故选：BD. 29．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义分别表示出，利用直线的斜率得到，在解出，在用余弦定理得到与的关系，即解出双曲线的渐近线方程． 【详解】由，得为的中点；又，所以，所以； 设，如下图： 由双曲线的定义得，， 所以，从而， 所以； 由直线的斜率为，得 又， 在中，，即； 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得，所以，可得， 因此，可知渐近线方程为. 故答案为： 30．（24-25高二上·上海·期中）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】(1)：，: (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 50 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $