精品解析：广东省梅州市兴宁市宋声学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

兴宁市宋声学校九年级月考数学试卷 说明：1．考试范围：第一章～第二章2.4． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，未知数最高次为3，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：C． 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 5，6，1 B. 5，， C. 5，6， D. 5，，1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可解答． 【详解】解：由原方程得：， ∴二次项系数为5，一次项系数为，常数项为， 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先将常数项移到等号右边，再在两边同时加上一次项系数一半的平方，最后根据完全平方公式即可完成配方． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 5. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，对角线互相平分求解即可． 【详解】解∶∵矩形的对角线相交于点， ∴，， ∴， 故选∶D． 6. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 8. 对于实数，定义运算“”为，例如， 则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，由新定义得，进而得到，再根据一元二次方程根的判别式即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：． 9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】B 【解析】 【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长，即可发现结论． 【详解】用求根公式求得： ∵ ∴ ∴ AD的长就是方程的正根． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程及勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 10. 如图，在边长为的正方形中，是上一点，是延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明，设，则，，，在中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 在和中： ∴ ∴， ∵四边形是正方形， ∴ 设，则，，， 在中，根据勾股定理， 得 即， 解得： ∴， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式写出符合题意的方程即可． 【详解】解：由题意知二次项系数为，且一根为的一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 13. 如图，已知菱形的边长为5，对角线的长为6，则菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质及面积计算，涉及勾股定理的应用．利用菱形边长和对角线的关系，求出另一条对角线的长度，通过对角线乘积的一半计算即可． 【详解】解：设菱形对角线与交于点O，则，且， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 14. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先利用因式分解法解方程解得到或，然后分、两种情况，分别运用三角形的三边关系进行验证后，再求周长即可． 【详解】解：， 方程分解得：， 可得或， 解得：或， 若2为腰，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 若2为底，三角形三边为2，4，4，周长为． 故答案为：10． 15. 如图，在四边形中，，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点，则________. 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理．连接，，，，利用三角形中位线定理证得四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：50． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：3x2+5x-1=0 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的公式法即可解答． 【详解】解：3x2+5x-1=0 ， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记公式法． 17. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，通过菱形的性质证明，从而证明得到是解题的关键． 【详解】略 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）当为何值时，此方程有实数根； （2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 【答案】（1）当时，此方程有实数根． （2）当时，，． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系是解答此题的关键． （1）根据，确定k的取值范围； （2）从上题中求得的范围中找到一个喜欢的值代入后得到方程，求解即可． 【小问1详解】 解：要使方程有实数根，必须， ． 即． 解得． 当时，此方程有实数根． 【小问2详解】 解：当时，（答案不唯一）． 原方程变为． 解得． 即∶，． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根，的值分别是平行四边形的两边，的长． （1）若，试求四边形的周长； （2）当m为何值时，四边形是菱形？ 【答案】（1）6 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式及平行四边形和菱形的性质． （1）代入已知根求m的值，求解出m的值，再确定方程并求出两根之和后计算出平行四边形的周长即可； （2）根据菱形性质确定方程根的关系，再根据根的判别式列出方程并求解出m的值即可． 【小问1详解】 解：将代入原方程， 得，解得， 则方程为， ∴， ∴， 即平行四边形的周长为6． 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，解得， ∴当时，四边形是菱形． 20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形为菱形，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）首先根据勾股定理得到，然后利用菱形的性质得到，设，则，然后在中，利用勾股定理列方程求解求出，，然后利用菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形 ∴ ∵，， ∴ ∵四边形为菱形 ∴ ∴设，则 ∵ ∴在中，，即 解得， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度． 【答案】小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米． 【解析】 【分析】设小芳设计方案中，小路的宽为x米，分别用x表示出花园的长、宽，从而表示出花园的面积，令花园面积等于矩形荒地面积的一半，列方程，解出x即可得小路的宽度. 【详解】解：不符合． 设小路的宽度均为x米，则花园的长为（16﹣2x）米，宽为（12﹣2x）米， 根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）=×16×12， 解得：x1=2，x2=12（舍去）． ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为2米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用. 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． （1）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． （2）从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ （3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）不存在，使为菱形 （2） （3）不存在，使为正方形 【解析】 【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置 （）利用菱形的判定和性质进行求解即可； （）利用矩形的判定和性质进行求解即可； （）利用正方形的判定和性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：不存在，理由： ∵，，过作于，则四边形是矩形， ∴，.， 又∵， ∴， 根据勾股定理，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 此时，， 而， ∴四边形不可能是菱形； 【小问2详解】 如图，∵，； ∴当时，四边形是矩形， 即， 解得：， 当时，四边形是矩形； 【小问3详解】 由当时，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形不能是正方形， 即不存在时间，使四边形是正方形 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，线段有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形三边之间的关系、旋转的性质属于综合题． 将绕点顺时针旋转得到，根据正方形的性质可知，因为，可得：； 过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到，可证，根据全等三角形的性质可得，可以求出，根据勾股定理可得：，即可求出； 将绕点逆时针旋转得线段，连接、，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可证，当、、三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ； 故答案为：； 解：如下图所示，过点作，交延长线于，将绕点顺时针旋转得到， ，，，， 直角梯形中，（），，， ， 四边形是正方形，，， 点与重合，、、三点共线， ， 由可知， 在和中，， （）， ， ， ， ，， ， 在中，， ， 解得：； 当时，线段有最大值， 如下图所示，将绕点逆时针旋转得线段，连接、， 是等腰直角三角形，， ， ， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中，， ， ， 当有最大值时，有最大值， ，， 当、、三点共线时，有最大值， 最大值为， ， 此时， 当时，线段有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市宋声学校九年级月考数学试卷 说明：1．考试范围：第一章～第二章2.4． 2．考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 5，6，1 B. 5，， C. 5，6， D. 5，，1 3. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 5. 如图，矩形的对角线相交于点，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（ ） A. 始终不变 B. 不断变小 C. 不断变大 D. 先变小后变大 8. 对于实数，定义运算“”为，例如， 则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 9. 欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取．则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 10. 如图，在边长为的正方形中，是上一点，是延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个二次项系数为，且一根为的一元二次方程是_______． 12. 如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：_________________． 13. 如图，已知菱形的边长为5，对角线的长为6，则菱形的面积为___________． 14. 若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程的两根，则这个等腰三角形的周长是______． 15. 如图，在四边形中，，，且，E，F，G，H分别是，，，的中点，则________. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程：3x2+5x-1=0 17. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）当为何值时，此方程有实数根； （2）选择一个满足（1）的条件的，并求此时方程的根． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根，的值分别是平行四边形的两边，的长． （1）若，试求四边形的周长； （2）当m为何值时，四边形是菱形？ 20. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形为菱形，，，求四边形的面积． 21. 在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，如图所示分别是小华与小芳的设计方案．同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请你依照小芳的方案设计小路的宽度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为． （1）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． （2）从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？ （3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是． （1）在图2中，的度数是 （直接写答案）． 参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度． （3）如图4，中，，，以为边作正方形，连接．当 时，线段有最大值，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $