第14章 全等三角形（单元测试卷）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第14章 全等三角形 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．（本题4分）如图，图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，已知点，，，在一条直线上，，，添加一个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题4分）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题4分）如图，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）如图在中，，分别以为边作与，已知，，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，与有公共斜边（顶点A、D在同侧），，连接，已知，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．12 D．8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）如图，在中，，垂足分别为和，线段交于点，若，则的面积为 ．    12．（本题5分）如图，在和中，，点在同一条直线上，且，，，，，则的长为 ． 13．（本题5分）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则 （用含的代数式表示）． 14．（本题5分）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 16．（本题8分）如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 17．（本题8分）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 18．（本题8分）如图，中，，点为的中点，交于． (1)求证：； (2)求证：． 19．（本题10分）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)______．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 20．（本题10分）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 21．（本题12分）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． A． B． C． D． 【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：； 22．（本题12分）在等腰中，、． （1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长． （2）如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在直线的上方），当，时，求的长． 23．（本题14分）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列选项中，两个图案不属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等图形的识别，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案． 【详解】解：A、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； B、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，不符合题意； D、两个图形形状相同，但大小不同，不能完全重合，不是全等图形，符合题意； 故选：D． 2．（本题4分）安装空调时，一般会采用如图所示的方法固定，这样做的数学依据（   ） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：根据题意得：这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故选：B 3．（本题4分）如图，图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据全等三角形的性质结合三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴的对边为b， ∴， 故选：B． 4．（本题4分）如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C 5．（本题4分）如图，已知点，，，在一条直线上，，，添加一个条件，不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，不能使，故符合题意； B、∵，∴，即，故，，，能使，故不符合题意； C、，，，能使，故不符合题意； D、，，，能使，故不符合题意； 故选：A． 6．（本题4分）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有． 根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系逐个判断即可． 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； 故选： D． 7．（本题4分）如图，，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选∶B 8．（本题4分）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 9．（本题4分）如图在中，，分别以为边作与，已知，，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形内角和，熟悉全等三角形的判定与性质以及三角形内角和为是解题的关键． 先根据全等判定定理证明，可得，结合三角形内角和为即可求解． 【详解】， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．（本题4分）如图，与有公共斜边（顶点A、D在同侧），，连接，已知，则的面积为（   ） A．32 B．16 C．12 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，延长，相交于点F，先得出，再证明，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出，进而可求出，最后根据三角形面积求解即可得出答案． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵，， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）如图，在中，，垂足分别为和，线段交于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故答案为：． 12．（本题5分）如图，在和中，，点在同一条直线上，且，，，，，则的长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据、，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，利用即可证明，即可得出，，即可求出，进而可得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ． 故答案为：18． 13．（本题5分）两个全等的三角形按如图方式摆放，其中．此时B，E重合，B，C，D在同一直线上．现将沿射线向右平移．在平移过程中，直线与交于点的平分线与直线交于点，则 （用含的代数式表示）． 【答案】或或 【分析】本题考查了三角形的全等的性质，角平分线的定义，平行线的性质， 根据角平分线的定义求出，利用，得，可得， 根据平行线的性质，分三种情况求解即可， 【详解】解：当交点H在线段上时， 平分， ， ， ， ， ， ， 当交点H在直线上且在点E下方时， ， ， 当交点H在直线上且在点F上方时， ， ， 平分， ， ， ， 综上，的度数为． 故答案为：或或． 14．（本题5分）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形．由三角形三边关系定理可得到 的取值范围；延长、交于点，由证明，推出，，从而可得，当时，的面积取最大值，根据三角形面积公式求解即可，进而得到的面积的最大值． 【详解】解：在中，， ，解得， 如图所示，延长、交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为， 的面积的最大值为， 故答案为：，． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．（本题8分）如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图；作，在射线上截取，在射线上顺次截取，连接，即为所求． 【详解】解：如图： 作法： 作， 在射线上截取，在射线上顺次截取， 连接，即为所求． 17．（本题8分）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？ 【答案】(1)见解析 (2)为直角 【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，再结合，即可得证； （2）由平行线的性质结合全等三角形的性质可得，再结合平角的定义求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即当满足为直角时，． 18．（本题8分）如图，中，，点为的中点，交于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明． （2）如图中，在线段上截取，连接，证明，再证明，即可证明． 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型． 【详解】（1）证明：如图，设与相交于点， ， ， ， ， ，， ． （2）证明：如图，在线段上截取，连接． 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 19．（本题10分）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)______．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查长方形的性质、全等三角形的判定与性质、行程问题中的数量关系和列方程求解速度和时间等知识和方法，第（3）题要分类讨论，且对结果进行必要的检验，以免丢解或得出不符合题意的值． （1）按照行程问题中的数量关系，用含t的式子表示的长即可； （2）由长方形的性质得，，则，列方程求出t的值即可； （3）与全等分为两种情况，即，或，，先根据点P的运动距离求出时间，再根据点Q的运动时间和距离求出点Q的运动速度v． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 故答案为：； （2）∵四边形是长方形， ∴． 如图1，当时，， ∴， 解得； ∴当时，， （3）解：①如图2，当，时，， ∵， ∴， 由，得， ∴， 解得； ②如图3，当，时，， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得． 综上所述，或． 20．（本题10分）在中，，，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，吗？请说明理由； (2)在（1）的结论下，试求：的度数； (3)设，，如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由可得，即可证明； （2）由可得，推出，结合，即可求解； （3）由可得，证明，得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在与中， ， ； （2）， ， ， ， 又， ， 即； （3）， 理由：， 即． 在与中， ， ， ， ， ， ， ． 21．（本题12分）【探究与发现】如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为___________． A． B． C． D． 【变式与应用】如图2，是的中线，若，则的取值范围是___________． A． B． C． D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】如图3，，连接是的中点，试说明：； 【答案】[探究与发现] B ；[变式与应用] C； [问题拓展]见详解 【分析】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． [探究与发现]延长至点E，使，利用“边角边”可证； [变式与应用]延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； [问题拓展] 延长到M，使，即，连接，依次证明，，即可证明结论． 【详解】[探究与发现]解：延长至点，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ， 在和中， ， ∴， 故选：B； [变式与应用] 解：延长到，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； [问题拓展] 证明：延长到M，使，即，连接，如图3所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 22．（本题12分）在等腰中，、． （1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接． ①求证：． ②当，时，求的长． （2）如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在直线的上方），当，时，求的长． 【答案】（1）①证明见解析；②5；（2）或 【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS证明全等； ②由①中全等可得DE=DF，再在Rt△FDC中利用勾股定理计算即可； （2）连接BE，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。需要注意分类讨论. 【详解】（1）①如图1中， ， ，， ，， ， ， ，， ． ②如图1中，设，则， ，， ， ， ， ， ， 在， ，， ， ， ． （2）①当点在线段上时，如图2中，连接， ， ， ，， ， ，， ， ，． ②当点在的延长线上时，如图3中，连接， 同法可证是直角三角形，，， ，， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查半角旋转以及共顶点等腰直角三角形（手拉手模型），综合考查旋转、全等三角形、勾股定理等知识点，熟记相关模型特征是解题的关键. 23．（本题14分）【材料阅读】 小明同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． (1)图1中，，求的长，请补充小明的过程． ， ， ∵，， ，， ， ，  … (2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $