第08讲 一元二次方程的应用（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册满分全攻略备考系列

第08讲 一元二次方程的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次三项式的因式分解 2.可化为一元二次方程的分式方程 3.列方程解应用题 题型巩固 一、实数范围内分解因式 二、可化为一元二次方程的分式方程 三、传播问题 四、增长率问题 五、与图形有关的问题 六、数字问题 七、营销问题 八、动态几何问题 九、工程问题 十、握手、循环赛问题 十一、其他问题 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（9） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点2.可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点3.列方程解应用题 1.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 2.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 3.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 4.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 5.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 6.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 题型巩固 题型一、实数范围内分解因式 1．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列多项式，在实数范围内一定可以分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解的应用、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．，能分解因式；，不能分解因式． 【详解】解：A：， ， ， ． 不能在实数范围内分解因式．故A错． B：， ， ． 能在实数范围内分解因式．故B正确． C：， ， ， 不能在实数范围内分解因式．故C错． D：， ， ， m的值不定，的符号不确定， 故不能判断能否在实数范围内分解因式．故D不一定． 故答案为：B． 【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用． 2．（24-25八年级·上海·假期作业）将在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】本题考查求根公式法分解因式．把某些二次三项式分解因式，先求出方程的两个根，再根据即可因式分解． 【详解】解：方程的两个根为：，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．先令，求出，然后写出结果即可． 【详解】解：令， 解得：， ∴在实数范围内分解因式：． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，公式法解一元二次方程．熟练掌握实数范围内的因式分解是解题的关键． 解方程，进而可得结果． 【详解】解：令， ， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级·上海·假期作业）若方程的两个根是，，则在实数范围内分解因式 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、实数范围内分解因式 【分析】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．如果一元二次方程的两个根是和，那么二次三项式可分解为：，据此求解即可． 【详解】解：方程的两个根是，， ∴． 故答案为： 题型二、可化为一元二次方程的分式方程 6．（2025·上海·模拟预测）解方程： 【答案】， 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查解一元二次方程和分式方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．两边都乘以将分式方程转化为整式方程，求得x的值，再进一步检验，从而得出答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得，，   整理，得 ， 化简，得， 解得，， 经检验、都是原方程的根， 所以原方程的根为，． 7．（22-23八年级·上海嘉定·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，先化为整式方程，再解一元二次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得． 整理，得． 解得，． 经检验知：是增根，应舍去；是原方程的根． 所以，原方程的根是． 8．（24-25八年级·上海松江·阶段练习）解方程：． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．方程两边同乘以，化成一元二次方程，利用因式分解法解方程求出的值，再代入进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因式分解，得， 解得或， 经检验，或都是分式方程的解， 所以方程的解为或． 9．（24-25八年级·上海·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．方程两边同时乘去分母化为一元二次方程再求解，最后检验即可得出结果． 【详解】解： 去分母得： 去括号，移项得： ∴ ∴或， ∴，； 检验：当时，； 当时，， ∴分式方程的解为． 题型三、传播问题(一元二次方程的应用) 10．某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有 人． 【答案】12 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】先找出题目中的等量关系为：人数×（人数-1）=132，通过列一元二次方程计算求得正数解即可． 【详解】解：设这个小组共有x人． x（x-1）=132， 解得x1=12，x2=-11（不合题意，舍去）． 故答案为: 12． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，得到照片总张数的等量关系是解决本题的关键，重点是理解2个人之间要互送出2张照片． 11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡，根据全组共送90张贺卡，列方程即可解答． 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到每个人要送人数减1张贺卡，是解题的关键． 12．（22-23八年级·上海·假期作业）圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？ 【答案】31人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设昂立共有师生人，再建立方程：，再解方程即可． 【详解】解：设昂立共有师生人， 由题意可得：， 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：昂立共有师生31人． 【点睛】本题主要考查互送卡片问题，一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键，注意由于每人都要送到，因此不用除2． 题型四、增长率问题(一元二次方程的应用) 13．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键； 根据每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元，表示之后两个月的产值，然后已知第三季度的总产值，列方程即可． 【详解】解：∵每个月产值的平均增长率为x，七月份的产值是100万元， ∴八月份产值为， 九月份产值为， ∵计划第三季度共创产值484万元， ∴， 故选：D． 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的200元下降至128元，则这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设这种型号的优盘平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， ， ， ，（不合题意，舍去）， 答：这种型号的优盘平均每次降价的百分率为． 故答案为： 15．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）该生产线日产量的增长率，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据题意求出第四试验阶段日产量，将其与2500件比较后即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，有理数的运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：该生产线日产量的增长率， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该生产线日产量的增长率为； （2）解：能，理由如下： 依题意，（件）． 他们的目标能实现． 题型五、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 16．（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 17．（22-23八年级·上海·假期作业）如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是 ． 【答案】1米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设道路的宽为．由题意可得：，解方程即可求解． 【详解】解：设道路的宽为． 由题意可得：， 整理得：，    解得：，（不符合题意，舍去）． ∴道路的宽为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 18．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 【答案】这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意； ∴，， 答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米． 题型六、数字问题(一元二次方程的应用) 19．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 【答案】10和12 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这两个连续正偶数分别为，，且，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意正确列出一元二次方程是解题关键． 20．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 【答案】16或49 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设一位数为，则两位数为，根据题意列出方程求解即可． 【详解】设一位数为，则两位数为． 则根据题意可得：，   整理得：． 分解得：， 解得：，． 答：这个两位数为16或49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示为；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为，读懂题意，找出等量关系式是解题的关键． 题型七、营销问题(一元二次方程的应用) 21．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件可降价x元，则每件时装可盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1600元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 22．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售衬衫获得的总利润＝每件衬衫的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）解：（件）， 故答案为：45； （2）设每件衬衫应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件衬衫应降价10元． 23．（24-25八年级上·上海·期中）“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 【答案】(1)8月份卖出“美心”月饼盒 (2)，， 【知识点】列代数式、销售盈亏(一元一次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的运用，代数式表示，以及一元二次方程的运用，解题的关键在于根据题意找准等量关系． （1）设8月份卖出“美心”月饼盒，则8月份卖出“杏花楼”月饼盒，根据“总销售额为16400元，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意列出代数式即可得到9月份“美心”月饼的售价与9月份“杏花楼”月饼的销售量，再根据“9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，”建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：设8月份卖出“美心”月饼盒， 则8月份卖出“杏花楼”月饼盒， 根据题意可知：， 整理得， 解得， 答：8月份卖出“美心”月饼盒． （2）解：根据题意可知，9月份“美心”月饼的售价为， 9月份“美心”月饼的销售量为， 9月份“杏花楼”月饼的售价为， 9月份“杏花楼”月饼的销售量为， ， 整理得， 解得，， ， ． 故答案为：，，． 题型八、动态几何问题(一元二次方程的应用) 24．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 题型九、工程问题（分式方程的应用） 26．（2022·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 27．（22-23八年级·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 【答案】每天加固的长度还要再增加64米 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的工程问题 【分析】设现在计划每天加固的长度为x米，则原计划每天加固的长度为米，根据“现计划比原计划所需天数缩短2天”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设现在计划每天加固的长度为x米， 由题意知：， 整理可得：， 解得，（舍）， 经检验，是所列分式方程的解， 即现在计划每天加固的长度为160米， （米）， 因此每天加固的长度还要再增加64米． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用、解一元二次方程，解题的关键是根据所给等量关系列出分式方程，求出解后注意检验． 题型十、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 28．瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用—比赛积分问题，先根据比赛规定，可知选手的总人数为人；则每位选手比赛的场次为场，而选手这次比赛共得分，即选手每场都获胜，即可得出结论．了解单循环赛的规则及积分规定，求出参加比赛选手的总人数是解题的关键． 【详解】解：∵全部选手总分为分， ∴比赛的场次为， 设选手人数为人， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴选手人数为人， ∵每局赢者得分，每位选手比赛的场次为场，每位选手最高可得（分），又∵选手这次比赛共得分， ∴选手一定能成为冠军． 故选：D． 29．n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，依题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—单循环应用，根据公式准确列方程是解题的关键． 根据单循环公式列方程即可； 【详解】根据题意可得：． 故答案是． 30．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 题型十一、其他问题(一元二次方程的应用) 31．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设参会人士共有x人，则根据两两握手一次，共握了28次手可列出方程，解出即可． 【详解】解：设参会人士共有x人， 则根据分析可得：． 故选：C． 32．（22-23八年级上·上海虹口·期中）若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据“所得的长方形比原正方形面积多，”列出方程，即可求解． 【详解】解：设原正方形的边长为x，则所得的长方形的长为，宽为，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 33．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）中国和美国两个国家的代表团举行一次双边会谈，在会谈前双方成员分别与对方成员一一握手，握手次数共88次．已知中国代表团成员比美国代表团成员少3人，问中、美两国代表团各有几人？ 【答案】中国代表团8人，美国代表团11人． 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设中国代表团有人，得到美国代表团有人，根据双方成员分别与对方成员一一握手，握手次数共88次，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设中国代表团有人，则美国代表团有人，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； ∴； 答：中国代表团8人，美国代表团11人． 分层强化 一、单选题 1．如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为75平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得， 即， 故选：C． 2．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（    ）. A．1+x＝225 B．1+x2＝225 C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝225 【答案】C 【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可． 【详解】解：设1人平均感染x人， 依题意可列方程：（1+x）2＝225． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 3．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196 【答案】C 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 4．若二次三项式能在实数范围内分解因式，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，因二次三项式在实数范围内能分解因式，所以有实数根，据此求解即可． 【详解】解：解：二次三项式在实数范围内能分解因式，就是对应的二次方程有实数根， ∴且， 解得且． 故选：C． 5．去分母解关于x的方程产生增根，则m的取值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】先把分式化为整式方程x﹣3=m，由于原分式方程有增根，则有x﹣2=0，得到x=2，即增根只能为2，然后把x=2代入整式方程即可得到m的值． 解：方程两边乘以x﹣2得，x﹣3=m， ∵分式方程有增根， ∴x﹣2=0，即x=2， ∴2﹣3=m， ∴m=﹣1． 故选C． 6．近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先分别求出第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元，再根据“第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元”建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：第二季度全市地区生产总值约亿元，第三季度全市地区生产总值约亿元， ∵第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元， ∴可列方程为， 故选：D． 二、填空题 7．若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 ． 【答案】7 【分析】解方程，求出方程的解，根据两位数的十位不为0从而求出答案． 【详解】依题意解方程： ， 又因为是两位数， 所以十位数字是7， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了用因式分解解一元二次方程，关键是正确求解方程，并结合题意两位数的十位确定出取值． 8．当a＝ 时，方程的解与方程的解相同． 【答案】 【分析】根据解分式方程，可得第二个分式方程的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：，去分母，得x-4=3x．解得x=-2， 经检验：x=-2是原分式方程的解． ∵方程的解与方程的解相同． 把x=-2代入得： 解得a= 经检验：a=是分式方程的解， ∴当a=时，方程的解与方程的解相同． 故答案为 【点睛】本题考查了分式方程的解，利用了解分式方程的步骤，注意要检验分式方程的解． 9．“校安工程”关乎生命、关乎未来目前我省正在强力推进这重大民生工程.2018年，我市在省财政补助的基础上投入万元的配套资金用于“校安工程”,计划以后每年以相同的增长率投入配套资金,2020年我市计划投入“校安工程”配套资金 万元从2018年到2020年，我市三年共投入“校安工程”配套资金 万元. 【答案】 【分析】先设出年平均增长率，列出方程，解得年平均增长率，然后求出2019年的配套资金，将三年资金相加即可得到结果 【详解】设配套资金的年平均增长率为x，则由题意可得，解之得x=0.4或x=-2.4（舍），故三年的共投入的资金为600+600×（1+0.4）+1176=2616（元），故填2616 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程得到平均增长率，重点注意最后是要求三年的资金总和，不要看错题 10．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【详解】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 11．关于x的一元二次方程－x2＋（2m＋1）x＋1－m2=0无实数根，则m的取值范围是 . 【答案】m＜－ 【分析】根据一元二次方程根的情况与根的判别式△=b2-4ac的关系解答． 【详解】∵关于x的一元二次方程-x2+（2m+1）x+1-m2=0的二次项系数a=-1，一次项系数b=（2m+1），常数项c=1-m2， ∴△=（2m+1）2-4×（-1）（1-m2），即△=4m+5， 又∵原方程无实根， ∴△＜0，即4m+5＜0， 解得，m＜-； 故答案为m＜-． 12．若分式方程无解,则k= 【答案】3和1 【详解】试题解析：方程去分母得：3（x-3）+2-kx=-1， 整理得（3-k）x=6， 当整式方程无解时，3-k=0即k=3， 当分式方程无解时，x=3，此时3-k=2，k=1， 所以k=3或1时，原方程无解． 故答案为3或1． 13．用一条长30cm的绳子围成一个面积为60cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为 ． 【答案】x（15﹣x）＝60． 【分析】根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程． 【详解】解：设长方形的长为xcm，则宽为（15﹣x）cm， 根据面积为60cm2可得：x（15﹣x）＝60， 故答案为x（15﹣x）＝60． 【点睛】此题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法． 14．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调研，售价为40元，可销售150件，售价每上涨1元，销售量将减少10件，如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利1560元，设这种商品的售价上涨x元，根据题意，可列方程为 ． 【答案】（40﹣30+x）（150﹣10x）＝1560． 【分析】根据单件利润×销售量＝总利润，即（40＋提高的售价－成本）×（原来的销售量－10×提高的售价）＝1560列出方程即可. 【详解】售价上涨x元，则单件可得利润为（40－30＋x）元，销售量为（150－10x），因此根据单件利润×销售量＝总利润可得（40－30＋x）（150－10x）＝1560.故答案为（40－30＋x）（150－10x）＝1560. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在实际问题中的应用，弄清题意，理解题目中的等量关系是解答的关键. 15．已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根则此三角形的周长为 . 【答案】17 【详解】解方程x2-17x+66=0，得x1=6，x2=11，①当x=6时，因3+6＞8，所以可以构成三角形； ②当x=11时，因3+8=11，所以不能构成三角形．所以三角形的周长为3+8+6=17． 点睛：本题主要考查一元二次方程的应用，通过解一元二次方程可以确定三角形的第三边的长，根据三角形的三边关系确定能否构成三角形，再求三角形的周长即可． 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）两边同时乘，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可；（2）方程两边同时乘，将分式方程化为整式方程求解，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ∴ 检验：当时，，且左边＝右边 ∴是原方程的解． （2）解：方程两边同乘，得 ∴． 检验：当时，． ∴是增根． ∴原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程．求解后检验是易漏掉的环节，需要注意． 17．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）把原方程化为，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解； （2）把原方程化为，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的 【详解】（1）解：方程两边同时乘以得 ， 解得． 检验：把代入 ∴是原方程的根． （2）解：原方程可化为 方程两边同时乘以得 ， 解得 检验：把代入 ∴是增根，舍去    ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 18．某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】(1)从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为 (2)2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为，根据题意，销售量从2021年20万辆增加到2023年51.2万辆，增加了31.2万辆，列出方程求解即可． （2）根据（1）中计算得出的增长率，列出算式求解即可． 【详解】（1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为． 得：， 解得：，（舍去）． ∴从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为． （2）由题意得：（万辆）． ∴2024年该品牌新能源汽车的销售量为81.92万辆． 19．如下图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止．如果点从点先出发，点再从点出发，那么点运动几秒后，？ 【答案】4s 【分析】本题可设点P出发后，由题可得在列方程求出答案即可. 【详解】解：设点运动后，，则点运动的时间为． 由题意，得， 整理，得， 解得． 故点运动后，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键在于弄清图形与实际问题的关系. 20．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 21．新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1)安全区域的宽度为1米 (2)每次降价的百分率为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为x米，根据篮球场及安全区域的总面积为，列出方程，解方程即可； （2）设每次降价的百分率为a，根据原价为45万元，连续两次降价后为万元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设安全区域的宽度为x米，由题意得： ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：安全区域的宽度为1米； （2）解：设每次降价的百分率为a，由题意得： ， 解得（舍去），， 答：每次降价的百分率为． 22．阿里巴巴电商对贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件降低10元，月销售件数增加20件 （1）已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？ （2）小红返校在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件300元，买五送一，在（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应该选择在线上购买还是线下超市购买？ 【答案】（1）250元；（2）在线上购买更优惠 【分析】（1）根据题意，设售价为每件x元，月利润为w，则列出关系式，结合月利润不变，即可求出x的值； （2）根据题意，求出线上购买和超市购买的费用，然后进行比较，即可得到答案. 【详解】解：（1）设售价为每件x元，月利润为w，根据题意得： ， 当售价为每件300元时， 月利润为：， ∴， 解得：，（舍去）； 答：该售价应定为250元； （2）在（1）的条件下，售价为每件250元， ∴线上购买需要花费：元； 在买五送一活动中，有 ， ∴超市购买只需支付的数量为：（件）， ∴元； ∵， ∴应该选择在线上购买更优惠． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出题目的等量关系进行列式计算. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次方程的应用（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.二次三项式的因式分解 2.可化为一元二次方程的分式方程 3.列方程解应用题 题型巩固 一、实数范围内分解因式 二、可化为一元二次方程的分式方程 三、传播问题 四、增长率问题 五、与图形有关的问题 六、数字问题 七、营销问题 八、动态几何问题 九、工程问题 十、握手、循环赛问题 十一、其他问题 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（9） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.二次三项式的因式分解 （1）形如的多项式称为二次三项式； （2）如果一元二次方程的两个根是和,那么二次三项式的分解公式为：． 知识点2.可化为一元二次方程的分式方程 1．分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 2．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 3．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 知识点3.列方程解应用题 1.数字问题 多位数的表示：任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成。数位从右至左依次是个位、十位、百位等，数位上的单位从右至左依次为 1、10、100 等。数位上的数字只能是 0-9 之中的数，且最高位上的数不能为 0。例如，一个三位数，个位上数为 a，十位上数为 b，百位上数为 c，则这个三位数可表示为 100c + 10b + a。 连续整数、偶数或奇数问题：几个连续整数中，相邻两个整数相差 1。如三个连续整数，设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 1，x + 1。几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 2。如三个连续偶数（奇数），设中间一个数为 x，则另两个数分别为 x - 2，x + 2。 解决数字问题时，通常先根据题目条件设出合适的未知数，再依据数字之间的关系找出等量关系，进而列出一元二次方程求解，最后要检验所得的解是否符合实际情况，如数字是否在合理范围内等。 2.增长率问题 增长率：增加量占起始量的百分比，若起始量为q，终极量为p，增长率为x，则增长一次后p=q(1+x)。 连续增长率公式：连续增长两次，公式为p=q(1+x)² 若x>0，表示增长；若x<0，表示降低，此时公式变为p=q(1−x)²，常用于计算降低率问题。 3.握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 4.利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 5.几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 6.动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 题型巩固 题型一、实数范围内分解因式 1．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列多项式，在实数范围内一定可以分解因式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级·上海·假期作业）将在实数范围内分解因式 ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在实数范围内分解因式： ． 4．（24-25八年级上·上海·期中）在实数范围内分解因式： ． 5．（24-25八年级·上海·假期作业）若方程的两个根是，，则在实数范围内分解因式 ． 题型二、可化为一元二次方程的分式方程 6．（2025·上海·模拟预测）解方程： 7．（22-23八年级·上海嘉定·期末）解方程：． 8．（24-25八年级·上海松江·阶段练习）解方程：． 9．（24-25八年级·上海·阶段练习）解方程：． 题型三、传播问题(一元二次方程的应用) 10．某小组每人给他人送一张照片，全组共送出132张，那么这个小组共有 人． 11．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 12．（22-23八年级·上海·假期作业）圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？ 题型四、增长率问题(一元二次方程的应用) 13．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）某工厂七月份的产值是100万元，计划第三季度共创产值484万元．若每个月产值的增长率相同，并设这个增长率为x，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的200元下降至128元，则这种型号的优盘平均每次降价的百分率为 ． 15．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标． (1)如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率； (2)按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现． 题型五、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 16．（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 17．（22-23八年级·上海·假期作业）如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是 ． 18．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 题型六、数字问题(一元二次方程的应用) 19．（22-23八年级上·上海·阶段练习）如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是 ． 20．（22-23八年级·上海·假期作业）一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数． 题型七、营销问题(一元二次方程的应用) 21．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 23．（24-25八年级上·上海·期中）“中秋季”是我国传统节日，某商店销售“美心”和“杏花楼”两个品牌的月饼，每盒“美心”月饼的售价是100元，每盒“杏花楼”月饼的售价是80元．8月份，两个品牌的月饼一共销售180盒，且总销售额为16400元， (1)8月份卖出“美心”月饼多少盒？ (2)9月份，月饼大量上市，受此影响，“美心”月饼售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，“杏花楼”月饼的售价降低了，销售量在8月份销售量的基础上增加了，结果9月份总销售额比8月份总销售额增加了6800元，那么9月份“美心”月饼的售价为_____（用含的代数式表示），9月份“杏花楼”月饼的销售量为_____（用含的代数式表示），直接写出的值是_____ 题型八、动态几何问题(一元二次方程的应用) 24．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 25．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 题型九、工程问题（分式方程的应用） 26．（2022·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 27．（22-23八年级·上海静安·期中）为加强防汛工作，市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天，为进一步缩短该段加固工程的时间，如果要求每天加固224米，那么在现在计划的基础上，每天加固的长度还要再增加多少米？ 题型十、握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 28．瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 29．n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛总场数为15场，依题意可列方程为 ． 30．2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 题型十一、其他问题(一元二次方程的应用) 31．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 32．（22-23八年级上·上海虹口·期中）若把一个正方形的一边增加，另一边增加，所得的长方形比原正方形面积多，设原正方形的边长为x，则可列方程为 ． 33．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）中国和美国两个国家的代表团举行一次双边会谈，在会谈前双方成员分别与对方成员一一握手，握手次数共88次．已知中国代表团成员比美国代表团成员少3人，问中、美两国代表团各有几人？ 分层强化 一、单选题 1．如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染（225人可以理解为三轮感染的总人数），若设1人平均感染x人，依题意可列方程（    ）. A．1+x＝225 B．1+x2＝225 C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2）＝225 3．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196 4．若二次三项式能在实数范围内分解因式，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 5．去分母解关于x的方程产生增根，则m的取值为（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．以上答案都不对 6．近年来，宜宾市积极推进产业转型和升级，在新兴产业领域取得了显著的突破．在2024年前三季度的地区生产总值总量中，宜宾位居全省第三．其中第一季度全市地区生产总值约为829亿元，到第三季度全市地区生产总值累计达到约2606亿元．设第一季度到第三季度全市地区生产总值平均增长率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是 ． 8．当a＝ 时，方程的解与方程的解相同． 9．“校安工程”关乎生命、关乎未来目前我省正在强力推进这重大民生工程.2018年，我市在省财政补助的基础上投入万元的配套资金用于“校安工程”,计划以后每年以相同的增长率投入配套资金,2020年我市计划投入“校安工程”配套资金 万元从2018年到2020年，我市三年共投入“校安工程”配套资金 万元. 10．在实数范围内分解因式： ． 11．关于x的一元二次方程－x2＋（2m＋1）x＋1－m2=0无实数根，则m的取值范围是 . 12．若分式方程无解,则k= 13．用一条长30cm的绳子围成一个面积为60cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为 ． 14．某商店经销的某种商品，每件成本为30元，经市场调研，售价为40元，可销售150件，售价每上涨1元，销售量将减少10件，如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利1560元，设这种商品的售价上涨x元，根据题意，可列方程为 ． 15．已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根则此三角形的周长为 . 三、解答题 16．解方程： (1)； (2)． 17．解分式方程： (1) (2) 18．某品牌新能源汽车2021年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2023年的销售量比2021年增加了31.2万辆． (1)求从2021年到2023年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率； (2)按照（1）中所求平均年增长率计算2024年该品牌新能源汽车的销售量． 19．如下图，在中，．点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度运动，在点停止．如果点从点先出发，点再从点出发，那么点运动几秒后，？ 20．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 21．新课改下中考体育改革与创新的目的是促进素质教育全面发展，体育课作为一门重要课程，对促进学生身心健康起着尤为重要的作用．某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 22．阿里巴巴电商对贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件降低10元，月销售件数增加20件 （1）已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？ （2）小红返校在附近线下超市也有该农产品销售，并且标价为每件300元，买五送一，在（1）的条件下，小红想要用最优惠的价格购买38件该农产品，应该选择在线上购买还是线下超市购买？ 学科网（北京）股份有限公司 $