精品解析：重庆市长寿中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

初2023级初三上数学第一次学科素养测试 一、单选题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 4. 已知，，那么为（　　） A. B. C. D. 以上答案都不对 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 6. 如图，在中， ，，则与的面积之比为（ ） A. 2：1 B. 9：4 C. 2：3 D. 4：9 7. 下列说法不正确的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 8. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 任意两个菱形不一定相似 B. 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 C. 若线段，点C是线段的黄金分割点且，则 D. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是 10. 已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：__ 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 13. 如图把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的一半，若，三角形移动的距离是_____． 14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为_________． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点，于点．若，则的长为__________． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 19. 先化简，再求值，其中x满足 20. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； （2）求的面积． 21. 如图，在中，，，，动点在（与点、不重合）边上，交于点． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长； （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 22. 近年来，重庆市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长．     （1）当鸡场面积为时，求边的长； （2）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由． 23. 小明和小红学习了《利用相似三角形测高》一课后，对我国杰出数学家刘徽的著作《海岛算经》非常感兴趣，也想利用相同的方法测量广场上路灯的高度．如图所示，他们在广场上竖立两根长均为米的标杆和．测得标杆在路灯下的影长为1米，标杆在路灯下的影长为3米，两根标杆和之间的距离为米．已知，，点H、B、F、D、G五点在同一直线上，求路灯的高． 24. 某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价1元．销售量就减少20件． （1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？ （2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3168元，求m的值． 25. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2023级初三上数学第一次学科素养测试 一、单选题（10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C. 调查某市垃圾分类的情况 D. 调查全班观看电影《哪吒2》的情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】解：A中，调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； B中，调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不合题意； C中，了调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不合题意； D中，调查全班观看电影《哪吒2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程即可得到满足条件的a值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：B． 4. 已知，，那么为（　　） A. B. C. D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了特殊角的三角函数值，把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， ， 故选：C． 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 6. 如图，在中， ，，则与的面积之比为（ ） A. 2：1 B. 9：4 C. 2：3 D. 4：9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 证明，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵在中， ， ∴， ∴， 故选：D． 7. 下列说法不正确的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 一个角是直角的平行四边形是正方形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，正确； B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确； C、一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定；熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定是解题的关键． 8. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 9. 下列说法错误的是（ ） A. 任意两个菱形不一定相似 B. 两边对应成比例的两个直角三角形一定相似 C. 若线段，点C是线段的黄金分割点且，则 D. 在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定，黄金分割比，位似图形，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、任意两个菱形对应角不一定相等，故两个菱形不一定相似，故该选项不符合题意； B、两边对应成比例的两个直角三角形，运用勾股定理算出第三边， 故三边都成比例的直角三角形一定相似，故该选项不符合题意； C、若线段，点C是线段的黄金分割点且， 则，即， 解得，故该选项不符合题意； D、∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，且， ∴点的对应点的坐标为或，即点A的对应点的坐标是或， 故该选项符合题意； 故选：D 10. 已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 二、填空题（6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：__ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂，根据特殊角的三角函数值、零指数幂求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于m的不等式，即可解得答案． 【详解】解：∵的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 13. 如图把沿边平移到的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是面积的一半，若，三角形移动的距离是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质以及相似三角形，根据平移得到相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：设与交于点， 沿边平移到的位置， 平行于， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，判定出和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，对角线相交于点，于点．若，则的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据矩形和线段垂直平分线的性质得到，则是等边三角形，然后求出，再由角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角直角三角形的性质，求出是解题的关键． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是__________：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可． 【详解】解：设四位数 ∵要求最小的“十全数”， ∴， ∴， ∴最小的“十全数”是； ∵一个“十全数”， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵与均是整数 ∴与均是整数 ∴能被13整除，能被17整除 ∵， ∴， ∴ ∴的值可以为13，26，39，52，65 ∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意 ∴， ∴满足条件的M的值是． 故答案为：，． 三、解答题 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： ， ， ， 即或， 解得：． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，有理数的四则混合运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先代入特殊角的三角函数值，化为有理数的四则混合运算计算； （2）先代入特殊角的三角函数值，化为二次根式的四则混合运算计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 先化简，再求值，其中x满足 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．先根据单项式乘以多项式，完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在第二象限内，将放大为原来的2倍得到，请作出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了画位似图形： （1）利用位似图形的性质，得出各对应点位置进而得出答案； （2）直接求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 21. 如图，在中，，，，动点在（与点、不重合）边上，交于点． （1）当的面积与四边形的面积相等时，求的长； （2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方和相似三角形对应边成比例求解． （1）根据题意得的面积是的面积的，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出； （2）根据相似三角形对应边成比例，设的长为，用表示出的长度，再根据周长相等列出等式，解方程即可． 【小问1详解】 解：的面积与四边形的面积相等， ， 又， ， ，且， ； 【小问2详解】 解：设的长为， ， ， ， 由的周长与四边形的周长相等，得， 解得， 的长为． 22. 近年来，重庆市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长．     （1）当鸡场面积为时，求边的长； （2）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不能实现，理由如下： 假设可以围成的鸡场， 设边的长为，则边的长为，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数解， ∴不能实现． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）设边的长为，则边的长为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）假设可以围成的鸡场，设边的长为，则边的长为，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设边的长为，则边的长为，根据题意得： ， 解得：， ∵墙长度等于， ∴， ∴， ∴， 答：边的长； 【小问2详解】 略 23. 小明和小红学习了《利用相似三角形测高》一课后，对我国杰出数学家刘徽的著作《海岛算经》非常感兴趣，也想利用相同的方法测量广场上路灯的高度．如图所示，他们在广场上竖立两根长均为米的标杆和．测得标杆在路灯下的影长为1米，标杆在路灯下的影长为3米，两根标杆和之间的距离为米．已知，，点H、B、F、D、G五点在同一直线上，求路灯的高． 【答案】路灯的高为 【解析】 【分析】证明，推出，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴； 答：路灯的高为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用．解题的关键是证明三角形相似． 24. 某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价1元．销售量就减少20件． （1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？ （2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3168元，求m的值． 【答案】（1）售价应不高于15元；（2）60 【解析】 【分析】（1）设售价应为x元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可； （2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3168元，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设售价应为x元，依题意有 1160﹣20（x﹣12）≥1100， 解得：x≤15． 答：售价应不高于15元． （2）10月份的进价：10（1+20%）＝12（元）， 由题意得： 1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]＝3168， 设m%＝t， 化简得50t2﹣25t﹣3＝0， 解得：t1＝0.6，t2＝﹣0.1（舍去）， 所以m＝60． 答：m的值为60． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的不等关系和等量关系，列出不等式和方程，再求解． 25. 在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，，，求的度数； （2）如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： （3）如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $