精品解析：安徽省六安市裕安区新安中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

六安市新安中学2026届高三年级第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩25个时，（ ）参考数据：. A. 100 B. 300 C. 1000 D. 2000 5. 若函数在处取得极小值，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 幂函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 如果，那么“”是“”的充要条件 D. ，不等式恒成立，则的取值范围是 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数的图象过定点，则的值为________． 13. 若函数（）为奇函数，则实数________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）已知集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求的单调区间和极值． 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性，并求最值． 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 19. 已知函数，若有两个不同的零点． （1）求实数的取值范围； （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市新安中学2026届高三年级第二次月考 数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合中的元素，再根据交集的求法，求出结果即可； 【详解】由题意得，因式分解得，解得， 可得，则. 故选：B. 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递减， 而， 所以函数的零点所在区间是. 故选：C 3. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得，所以. 故选：D 4. 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩25个时，（ ）参考数据：. A. 100 B. 300 C. 1000 D. 2000 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果. 【详解】根据题意得，整理得到， 两边取以10为底的对数，得到， 即，又， 所以，得到. 故选：C. 5. 若函数在处取得极小值，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，再根据极值的位置导数为0列关于的方程求解． 【详解】，求导得， 又在处取得极小值， ，解得， 若，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 处是函数的极小值点，符合题意． 实数． 故选：A． 6. 设函数，则使得成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数单调性，判断题干函数单调性，根据函数奇偶性的定义，证明题干函数奇偶性，进而根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为都是R上的增函数，所以也是R上的增函数， 因为，且，所以函数为R上的奇函数， 则等价于， 由函数在R上单调递增，得，解得. 故选：B. 7. 已知在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，显然满足条件；当时，由特点分析求解. 【详解】当时，显然在上单调递减； 当时，由在R上单调递减，得恒成立， 所以，解得. 综上，. 故选：D. 8. 已知可导函数f（x）的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式变形结果，构造函数，通过构造函数单调性，以及题目已知条件，构造新的不等式，并求出结果即可. 【详解】设，则， 由得，所以， 即在R上单调递减， 由为奇函数，可知，即，则， 不等式等价于，即， 因为在R上单调递减，所以解集为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 幂函数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数是偶函数 D. 函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据为幂函数，即可求出的值，逐一验证即可. 【详解】因为是幂函数，且， 所以，可得或（舍去），则，故A正确； 又，，，故B错误； 定义域为，，故C正确； 由，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“”的否定是“或” C. 如果，那么“”是“”的充要条件 D. ，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断A；写出存在量词命题的否定判断B；利用充要条件定义推理判断C；利用一元二次不等式恒成立求出范围判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，命题“”是存在量词命题，其否定为全称量词命题， 所求否定是“或”，B正确； 对于C，当时，， 因此当时，“”是“”的充要条件，C正确； 对于D，当时，恒成立，当时，则， 解得，因此的取值范围是，D错误． 故选：BC 11. 已知定义域为的函数，对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ） A. B. 是奇函数 C. 关于中心对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，令得或，令得，结合求得；对B，令，结合利用偶函数定义判断；对C，令得，即可判断；对D，由B、C的解析可得函数的周期为4，从而可判断D. 【详解】对于A，令，可得，解得或， 令，， 又，若，则，显然不成立，故，故A正确； 对于B，令，得，即， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故B错误； 对于C，由选项A知，，所以， 令，得，即， 所以函数关于中心对称，故C正确； 对于D，因为为偶函数，所以， 又由C选项得，即，得， 所以，故函数的周期为4， 因为， 所以一个周期的和为， 所以，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数的图象过定点，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用对数函数图象恒过定点的性质，令，计算出函数所过的定点坐标，最后计算的值． 【详解】因为（）， 所以函数的图象恒过定点，令，解得， 当时，， 所以函数的图像过定点，即， 所以，． 故答案为：2． 13. 若函数（）为奇函数，则实数________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先根据奇函数的定义列方程求出的值，再利用奇函数的性质验证结果． 【详解】为奇函数，定义域为R， 所以，此时， ，所以函数为奇函数，满足题意， ． 故答案为：． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性和单调性化简不等式，再结合对数函数的性质解不等式求出解集． 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ，， 当时，单调递减， 当时，根据偶函数的对称性，单调递增， ， 或， 或，即或， 不等式的解集为：或． 故答案为：或． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求； （2）已知集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式及一元二次不等式化简集合，再由交集、补集的定义求解. （2）利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列出不等式求解. 【小问1详解】 不等式，解得，则， 由不等式，解得，则， 因此，所以或. 【小问2详解】 由“”是“”的充分条件，得，而， 当时，，即，满足，因此； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）在上单调递减，在上单调递增，极小值为 【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率，和导函数的几何意义，判断切点处的导函数值，进而求出参数； （2）根据函数导数和函数单调区间以及极值之间的关系，求出函数导数，进而求出单调区间和极值； 【小问1详解】 因为在点处的切线与轴平行，可得， 由得，则，解得； 【小问2详解】 由（1）得，则， 令，即，解得（舍）或， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在处取得极小值，极小值； 综上说述，在上单调递减，在上单调递增，极小值为； 17. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性，并求最值． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增，无最值；当时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值． 【解析】 【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程； （2）先求导，再分和两种情况讨论函数的单调性和最值． 【小问1详解】 当时，，求导得 ， ，， 在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ，求导得， 当时，，在上单调递增，无最值； 当时，令，解得， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，极小值（也是最小值）为，无最大值． 当时，在上单调递增，无最值；当时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值． 18. 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 19. 已知函数，若有两个不同的零点． （1）求实数的取值范围； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 是的零点， ，，即，， ①，②， 把②代入①得． 不妨设，令，则，， ， 要证明，即证明（其中）， 令 ，求导得， 再求导得：在时恒成立，当时，在上单调递增， ， 当时，恒成立，在上单调递增， ， 当时，，即成立， 得证． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数研究函数单调性及极值，再结合零点个数确定参数范围； （2）结合已知条件对不等式变形转化，构造函数并求导，利用导数确定函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数单调递增，最多有1个零点，不符合题意； 当时，令，解得，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 在处取得极大值（最大值）， 有两个不同的零点， 极大值，即，解得，即，，， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $