专题强化05 函数的概念与性质解答题专项训练【七大题型 培优】-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

专题强化05 函数的概念与性质解答题专项 【题型归纳】 · 题型01、函数表示及其图像问题 · 题型02：函数的单调性和奇偶性应用 · 题型03：函数的最值问题 · 题型04：函数的对称性和周期性问题 · 题型05：幂函数 · 题型06：抽象函数 · 题型07：函数压轴问题 【题型探究】 题型01、函数表示及其图像问题 【例1】．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【答案】(1)， (2)或1或 (3)作图见解析， 【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得； （2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得； （3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集. 【详解】（1）因为， 所以，． （2）当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得或（舍去）． 综上所述，的值为或1或． （3）作出函数的图象如图所示：    当时，恒成立；当时，恒成立； 当时，，即，得． 综上所述，的解集为． 【变式2】．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）求出函数的定义域，再结合抽象函数定义域求出的定义域. （2）配方，借助二次函数性质求出值域. （3）利用换元法求出解析式. 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为，则， 函数中，，解得， 所以函数的定义域. （2），当且仅当时取等号， 所以的值域是. （3）令，则， 由，得， 所以的解析式是. 题型02：函数的单调性和奇偶性应用 【例2】．（22-23高一下·福建·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 【变式1】．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)减函数，证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，列出方程求出值. （2）由（1）求出，再利用奇函数的定义推理判断. （3）利用单调函数的定义证明函数的单调性. 【详解】（1）由的图象过点，得，又， 联立解得：. （2）由（1）知函数，因此是奇函数.证明如下： 的定义域为R，对于R，R， ， 所以是奇函数. （3）函数在上是减函数. 证明如下： 设， 则 ， 由，得 因此， 即， 所以函数在上是减函数. 【变式2】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可； （2）借助定义法证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 即，，故， 即，此时有， 故关于原点对称，故， 即的解析式为； （2）在上单调递增；证明如下： 令，则 ， 由，则，，， 故，即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数，则有， 又因为在上单调递增，则有，解得， 所以原不等式的解集为． 题型03：函数的最值问题 【例3】．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由点代入解析式，列出方程求解即可； （2）由单调性的定义作差即可求证； （3）利用单调性求得最值，即可求解； 【详解】（1），， ，解得，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，，且， 则， ，，且， ，，， ，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知函数在上单调递增， 由对勾函数性质得在上单调递减， 函数在上的最大值为， 由知，，所以的最小值为. 【变式1】．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. 【变式2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，求出，，再检验即得解； （2）函数在为单调递增函数，再利用函数的单调性定义证明； （3）分析得到对任意的恒成立，解不等式组即得解. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 又因为，即，解得， 经检验可得，符合题意． 所以当时，， 令则， 所以， 则当 综上所述，； （2）函数在上是增函数． 证明如下： 任取，且， 则 ， 因为， 所以，， 则，即， 故在上为增函数； （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是. 题型04：函数的对称性和周期性问题 【例4】．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数. (1)若为偶函数，解不等式：； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，函数的图象关于直线对称，由二次函数的对称性可求得的值，然后利用一元二次不等式的解法解不等式即可； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为函数为偶函数，即， 所以，函数的图象关于直线对称，所以，，可得， 所以，， 由可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）由于的图象为开口向上，对称轴为直线，讨论如下： 若即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，可得，解得（舍）； 若即，此时函数在上为增函数， 则，合乎题意. 综上，. 【变式1】．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. (1)求曲线的对称中心； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）首先设函数，判断函数是奇函数，即可判断函数的对称中心； （2）根据函数单调性的定义，结合作差法，即可证明. 【详解】（1）设， 则函数的定义域为，其定义域关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以函数的对称中心为. （2）函数在上单调递减. 证明：，且， 则 ， 因为，所以， 又，所以，所以，即， 所以函数在上单调递减. 【变式2】．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式，利用赋值法进行证明即可； （2）根据函数的周期性，结合奇函数的性质进行求解即可； （3）根据函数的周期性进行求解即可. 【详解】（1）， 所以：是以为周期的周期函数； （2）当时，因为函数是定义在R上的奇函数， 所以， 当时，； （3）， 因为函数的周期为， 所以. 题型05：幂函数 【例5】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得. 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【变式1】．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【答案】(1) (2)8． 【分析】（1）令前面括号内得1，求出后再验证即可； （2）根据题意求出的表达式后利用基本不等式的乘1法可得. 【详解】（1） 因为幂函数，所以，解得或． 当时，，满足， 当时，，不满足，所以． （2） 由（1）得．由，得． 因为， 所以． 又a，b均为正数，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为8． 【变式2】．（24-25高一上·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质确定的值，进而确定函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明. （2）先根据函数的单调性，确定集合，再分情况讨论二次函数在给定区间上的最值，根据条件列出不等式求参数的取值范围. 【详解】（1）由，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则. 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由. 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 题型06：抽象函数 【例6】．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 【变式1】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 【变式2】．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 题型07：函数压轴问题 【例7】．（22-23高一上·四川广安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值 (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析； (3) 【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. （2）在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. （3）由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 【变式1】．（24-25高一上·四川·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是“局部反比例对称函数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【详解】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3）根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 【变式2】．（24-25高二下·安徽六安·期末）已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有． (1)求的值，判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围． 【答案】(1)0；为偶函数，证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）赋值后求出，令，再由偶函数的定义得证； （2）根据函数的单调性及偶函数的性质列出不等式组求解； （3）由题意转化为求，换元后分离参数，利用基本不等式求最值得解. 【详解】（1）为偶函数，证明如下: 因为的定义域是，关于原点对称， 令，则，所以， 令，则， 所以，所以为偶函数． （2）不妨设，由，得， 则在上单调递增，又是定义在上的偶函数． 所以在上单调递减． 则可变形为，则，解得． 故所求不等式解集为． （3）由（1）（2）知， ，令， 当时，；当时，恒成立，故． 因为，当且仅当时等号成立，故． 综上，实数的取值范围是 【专项训练】 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.    (1)作出函数的图象； (2)写出的单调递增区间和单调递减区间； (3)求在区间上的最值. 【答案】(1)答案见解析 (2)单调递增区间为：和；单调递减区间为 (3)最大值为4，最小值为 【分析】（1）根据函数的解析式画出的图像，再根据奇函数图像关于原点对称，画出的图像； （2）根据（1）画出的函数图像分析单调性； （3）根据（2）由单调性确定最值. 【详解】（1）函数图象如图所示：    （2）由图可知，的单调递增区间为：和； 单调递减区间为； （3）由函数图象及（2），知在区间上递增，上递减， 所以当时，在区间上取得最大值4；           当时，； 当时，； 所以当时，在区间上取得最小值. 综上，在区间上的最大值为4，最小值为. 2．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据可直接求得结果； （2）设，由可证得结论； （3）当时，，结合奇函数定义可求得在上的解析式，结合可得结果. 【详解】（1）为奇函数，. （2）设， ， ，，，， 在上是减函数. （3）当时，，，； 又为定义在上的奇函数，， . 3．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）求出的函数单调性解不等式． 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴，∴是上的增函数； （2）任意的，都有， 在上式中取，则有， ∵，∴， 于是不等式等价于， 又由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为． 4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由及列方程求参数值，注意验证； （2）根据单调性定义，应用作差法比较大小，即可证； （3）由奇函数、单调性得，求解即可. 【详解】（1）由题设，，则， 所以，则，满足题设， 所以； （2）由（1），令， 则 ， 由，则， 所以函数在上单调递增； （3）由题设， 则， 所以，即. 5．（23-24高一上·辽宁·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且， ， ，则，，， ，即， 是上的增函数． （3）， ， 是上的奇函数， ， ， 为上的增函数， ，解得， 不等式的解集为． 6．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； （2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 7．（24-25高一上·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【详解】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 8．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 9．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由条件得到求解即可； （2）由条件得到的值域为值域的子集.再分类讨论求解； 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减， 所以 解得：， 所以. （2）， 当时，， 易得的值域为. ，总存在，使， 的值域为值域的子集. ， ①当时，， 则； ②当时，， 则； ③当时，，不符合题意. 综上，或. 10．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)若对，都有，求实数m的取值集合． 【答案】(1)；； (2)在区间上单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）由即可求得函数的解析式，再由函数是上的偶函数，即可得到其解析式. （2）由函数单调性的定义法即可证明的单调性； （3）根据题意，由偶函数的性质可得，再由函数的奇偶性以及单调性可得，由对数函数的单调性即可求解不等式. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即， 所以，且满足，即； 设，则，即， 又是定义在上的偶函数，则， 所以； （2）在区间上单调递减. 证明：任取，且， 则 ， 由可得，，，， 所以，即， 所以在区间上单调递减. （3）因为是定义在上的偶函数， 且当时，，其对称轴为， 所以当时，单调递增， 对，都有，即， 由（1）可知，是定义在上的奇函数， 且时，单调递减， 所以， 所以，即或， 当时，即，解得； 当时，即，解得； 综上所述，实数m的取值集合为. 11．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用赋值法求出，再利用奇函数定义推理得证. （2）求出在上的最大值，再由能成立问题建立不等式求解. （3）变换给定不等式，构造新函数，利用单调性、奇函数的性质求解不等式. 【详解】（1），都有成立， 取，得，解得； 对，取，则， 因此，所以为奇函数. （2）函数为上的增函数，则当时，， 由，使成立，得，解得， 所以取值范围是. （3） ，， 不等式， 令，则函数是奇函数，且为上的增函数， 原不等式为，即， 于是，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 12．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可. （2）根据单调性求不等式. 【详解】（1）由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以． （2）由函数图象关于轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以的取值范围是． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，又由，解可得的值，将、的值代入函数解析式即可得答案； （2）根据题意，设，由作差法分析可得结论； （3）由函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数， 则，解得， 又由，则有，解得，则， 所以，满足条件，所以； （2）由（1）知， 证明：设， 则， 又由，所以、、 则，，，， 则， 则函数在上为增函数； （3）根据题意，即 ，即 ， 即，解得：， 即不等式的解集为． 14．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是，值域为； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据题设描述的性质写出单调区间，再由单调性求最值，即可得值域； （2）根据凹函数的定义，应用作差法比较大小证明结论； （3）根据题设求出的值域，将问题化为的值域为的值域的子集，求参数值. 【详解】（1）由已知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，又，， 所以，所以， 所以在上的值域为. （2）设，，， 则 ， ∴， ∴当时，是凹函数. （3）， 设，，，则，， 由已知性质得，当，即时，单调递减，所以递减区间为， 当，即时，单调递增，所以递增区间为， 由，，，得的值域为， 因为为减函数，所以，， 根据题意，的值域为的值域的子集， 从而有，所以. 试卷第2页，共22页 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化05 函数的概念与性质解答题专项 【题型归纳】 · 题型01、函数表示及其图像问题 · 题型02：函数的单调性和奇偶性应用 · 题型03：函数的最值问题 · 题型04：函数的对称性和周期性问题 · 题型05：幂函数 · 题型06：抽象函数 · 题型07：函数压轴问题 【题型探究】 题型01、函数表示及其图像问题 【例1】．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【变式1】．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数    (1)求，的值； (2)若，求的值； (3)作出函数的大致图象，并求的解集． 【变式2】．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 题型02：函数的单调性和奇偶性应用 【例2】．（22-23高一下·福建·期中）函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【变式1】．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数的图象过点，且. (1)求实数和的值； (2)判断函数的奇偶性，并利用定义证明； (3)判断函数在上的单调性，并利用定义证明你的结论. 【变式2】．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称． (1)求的解析式； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)解不等式． 题型03：函数的最值问题 【例3】．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)当时，，求实数的最小值. 【变式1】．（22-23高一上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【变式2】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有 (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 题型04：函数的对称性和周期性问题 【例4】．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数. (1)若为偶函数，解不等式：； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 【变式1】．（24-25高一上·广东佛山·期末）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，若函数. (1)求曲线的对称中心； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【变式2】．（23-24高三上·山西晋中·开学考试）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有，当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算． 题型05：幂函数 【例5】．（25-26高一上·全国·期中）已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【变式1】．（24-25高一下·广西贵港·期中）已知幂函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数，且，a，b均为正数，求的最小值． 【变式2】．（24-25高一上·山东威海·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 题型06：抽象函数 【例6】．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【变式1】．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【变式2】．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 题型07：函数压轴问题 【例7】．（22-23高一上·四川广安·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值 (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【变式1】．（24-25高一上·四川·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【变式2】．（24-25高二下·安徽六安·期末）已知函数的定义域为，对任意，都有，并满足对任意，当时，都有． (1)求的值，判断的奇偶性并给出证明； (2)解不等式：； (3)记表示中较大的值，若对，都有.求实数的取值范围． 【专项训练】 1．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.    (1)作出函数的图象； (2)写出的单调递增区间和单调递减区间； (3)求在区间上的最值. 2．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 3．（23-24高一上·黑龙江佳木斯·期中）已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 4．（24-25高一上·天津·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，且. (1)求a，b的值； (2)用定义法证明函数在上单调递增； (3)解不等式. 5．（23-24高一上·辽宁·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 6．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 7．（24-25高一上·福建福州·期中）给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 8．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 9．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知幂函数在上单调递减. (1)求的值并写出的解析式； (2)已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，当时，． (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)若对，都有，求实数m的取值集合． 11．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）定义在上的函数满足：，都有成立，且为上的增函数． (1)求的值，并证明为奇函数； (2)，使成立，求取值范围； (3)解不等式． 12．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知幂函数在上单调递减． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 13．（24-25高一上·广东广州·期中）函数是定义在上的奇函数， (1)确定的解析式； (2)请用定义法证明在上的单调递增； (3)解关于t的不等式． 14．（24-25高一上·陕西商洛·期末）设函数的定义域为，一般地，对于，，若，则称为“凹函数”；若，则称为“凸函数”.对于函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知函数，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (2)证明：在上是凹函数； (3)已知函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 试卷第2页，共22页 2 学科网（北京）股份有限公司 $