精品解析：广东省江门市蓬江区江门第二中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

江门二中2025—2026学年第一学期第一次考试 九年级数学试题 （120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( ) A. 1，-3，10 B. 1，7，-10 C. 1，-5，12 D. 1， 3，2 【答案】A 【解析】 【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可． 【详解】方程整理得：x2−3x+10=0， 则a=1，b=−3，c=10. 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式. 3. 若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　） A. ﹣2 B. 4 C. 4或﹣2 D. 4或3 【答案】B 【解析】 【详解】解：函数 是二次函数， 可得，解得a=4或a=-2， 又因为图像开口向上，所以a=4， 故选：B. 4. 在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】根据平面内两点关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴m=2且m﹣n=﹣3， ∴m=2，n=5， ∴点M（m，n）在第一象限， 故选A． 5. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴对称轴为x=1，P2（3，），P3（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∵3＜5， ∴， 根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，）与（3，）关于对称轴对称， 故， 故选：D． 8. 如图，和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了弧、弦和圆心角之间的关系，垂径定理，勾股定理，由弧与弦之间的关系可得，据此可判断A；根据垂径定理可判断B；根据勾股定理可判断C；根据弦与圆心角之间的关系和垂径定理可判断D． 【详解】解：A、∵和是上的两条弦，且， ∴，原说法错误，不符合题意； B、∵和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和， ∴， ∵， ∴，原说法错误，不符合题意； C、在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，原说法错误，不符合题意； D、∵和是上的两条弦，且，圆心O到它们的距离分别为和， ∴，， ∴，原说法正确，符合题意； 故选：D． 9. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 10. 如图所示，是的直径，作，垂足为点D，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，现给出以下结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的一半，垂径定理，等腰三角形的性质，依次判断，即可． 【详解】∵， ∴，， ∴①，③正确； ∵是的直径， ∴， ∴②正确； ∵和是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴是所对的圆心角， ∴， ∴④正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确； ∴正确结论的个数有个． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等边三角形至少旋转___度才能与自身重合． 【答案】120 【解析】 【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】解：∵等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等， ∴旋转角为， ∴至少旋转120度才能与自身重合． 故答案为：120． 12. 小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险． 【答案】会 【解析】 【分析】由题意把代入即可求得s的值，与80比较即可判断． 【详解】解：在中，当时， 则此时刹车会有危险． 【点睛】本题考查二次函数的应用是初中数学的重点和难点，因而是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握． 13. 如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2． 【答案】2 【解析】 【详解】由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积． 解：连接AC． ∵弧OA与弧OC关于点O中心对称， ∴点O为AC的中点， ∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积=2×2÷2=2cm2． 故答案为：2 14. 当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 _____． 【答案】5m+2n≠9． 【解析】 【详解】试题分析:先求出直线AB的解析式，设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(1，2),B(3，-3)代入得，，解得：，所以直线AB解析式为y=-,：因为不在同一条直线上的三个点确定一个圆，所以C点不在直线AB上，即坐标不满足解析式，也就是n≠-,整理得：5m+2n≠9．故m，n需要满足的条件是5m+2n≠9． 考点：点和圆的位置关系. 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有______填序号 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为，能得到：，，， ∴， ∴， ∴①错误； ②当时，由图象知， 把代入解析式得：， ∴， ∴②错误； ③∵图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，， ∴， ∴ ∴③正确； ④由①②知且， ∴，④正确； ⑤∵时，最大值， 时，， ∵的实数， ， ∴成立． ∴⑤正确． 故答案为：③④⑤． 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ，，， ， 所以 ， 即，． 17. 如图，在6×9的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长，每个小正方形顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示： （2）9 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，根据三角形的面积公式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∴的面积为． 【点睛】本题考查图形的旋转，解题的关键是掌握旋转的方向和角度． 18. 如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：连接AC，延长AF交BD于G． ， 又 在中 【解析】 【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长； （2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有． 【详解】（1）解：连接OC， ∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线 ∴，平分CD， ． 在中． ∴圆O的半径为 （2）略 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键． 四、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． （1）___________，___________； （2）当时，x的取值范围是___________ （3）当时，的取值范围是___________． （4）当时，x的取值范围是___________． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数和二次函数的综合．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为，从而可知，．再将代入，即可求出a的值； （2）由（1）知函数解析式，令，求出x的值，得到函数图象与x轴的另一个交点，再根据函数图象即可解答； （3）由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下，从而得出当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，进而得出的最大值为．求出当时，的值和当时，的值，再比较，即可得出当时，的取值范围； （4）根据求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围，再结合图象即可得解． 【小问1详解】 解：由图象可知该抛物线顶点坐标为，与x轴的交点A的坐标为， ∴． 将代入，得：， 解得：． ∴，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线开口向下， 令，则，即， 解得：， 则改抛物线与x轴的另一个交点为， ∴时，； 【小问3详解】 解：由（1）可知该抛物线的解析式为． 由图象可知该抛物线对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，的最大值为． ∵当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是； 【小问4详解】 解：对于，令，则， ∴． 求时，x的取值范围，即求函数的图象在的图象下方时，x的取值范围． 由图象可知当或时，函数的图象在的图象下方， ∴当时，x的取值范围是或． 20. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 【答案】 （1）证明：∵△ABC≌△ADE且AB=AC， ∴AE=AD，AB=AC， ∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE， ∴∠CAE=∠DAB， ∴△AEC≌△ADB． （2）BF=2－2 【解析】 【分析】（1）根据△ABC≌△ADE得出AE=AD，∠BAC=∠DAE，从而得出∠CAE=∠DAB，根据SAS判定定理得出三角形全等； （2）根据菱形的性质得出∠DBA=∠BAC=45°，根据AB=AD得出△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形，从而得出BD=2，根据菱形的性质得出AD=DF=FC=AC=AB=2，最后根据BF=BD－DF求出答案． 【详解】解析：（1）略 （3）∵四边形ADFC是菱形且∠BAC=45°， ∴∠DBA=∠BAC=45°， 由（1）得AB=AD， ∴∠DBA=∠BDA=45° ， ∴△ABD是直角边长为2的等腰直角三角形， ∴BD=2， 又∵四边形ADFC是菱形， ∴AD=DF=FC=AC=AB=2， ∴BF=BD－DF=2－2． 考点：（1）三角形全等的性质与判定；（2）菱形的性质 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明出△ABD为直角边为2的等腰直角三角形是解题的关键． 21. 如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为． （1）用含的式子表示： 矩形的另一边的长为______；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______． （2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围； （3）求当取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大； （4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于，则矩形的长是______，宽是______． 【答案】（1），；（2）；（3）；（4）， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可． （2）根据圆柱的侧面积公式求解即可． （3）利用二次函数的性质求解即可． （4）构建方程求解即可． 【详解】解：（1）BC=（36-2x）=（18-x）cm， 旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18-x）cm． 故答案为：，； （2） （3） ∵-2π＜0， ∴当时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大： （4）由题意：-2πx2+36πx=18π， ∴x2-18x+9=0， 解得x=9+6或9-6（舍弃）， ∴矩形的长是（9+6）cm，宽是（9-6）cm． 故答案为：，． 【点睛】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 五、解答题三（共2小题，22题13分；23题14分） 22. 【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 【答案】（1）小军选的高跟鞋送给妈妈是合适的； （2）； （3）解：小军的结论正确，证明： ∵由对折可得：四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，， ∴， ∴矩形为黄金矩形； （4）证明：∵正方形，， ∴正方形的面积为， ∵矩形，， ∴， ∴矩形为， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图，计算，，结合选择范围为：，可得答案； （2）由，可得，进一步可得答案； （3）证明，可得，，证明即可； （4）求解正方形的面积为，求解，可得矩形为，可得结论． 【详解】解：（1）如图， ∵小军妈妈的身高是，下半身长．小军选择高跟鞋， ∴，， ∴，， ∵误差在范围内符合题意， ∴选择范围为：， ∴小军选择高跟鞋送给妈妈能够达到想要的效果； （2）∵在黄金矩形中，长， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）略 （4）略 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的性质，黄金矩形的含义，二次根式的混合运算，理解题意是关键． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 【答案】（1）； （2），； （3） 证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，因为、是抛物线与直线的交点，可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【小问1详解】 解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2025—2026学年第一学期第一次考试 九年级数学试题 （120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( ) A. 1，-3，10 B. 1，7，-10 C. 1，-5，12 D. 1， 3，2 3. 若函数 是二次函数且图像开口向上，则a=（　　） A. ﹣2 B. 4 C. 4或﹣2 D. 4或3 4. 在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（﹣2，3）关于原点对称，则点M（m，n）在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 已知、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 点P1（﹣1，），P2（3，），P3（5，）均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是上的两条弦，圆心O到它们的距离分别为和，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，是的直径，作，垂足为点D，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，现给出以下结论： ①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 等边三角形至少旋转___度才能与自身重合． 12. 小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险． 13. 如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，弧OA与弧OC关于点O成中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是_______cm2． 14. 当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 _____． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ①；②；③；④；⑤，（的实数） 其中正确的结论有______填序号 三、解答题一（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 17. 如图，在6×9的网格图中，每个小正方形的边长为1个单位长，每个小正方形顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C逆时针旋转90°，得到． （1）在图中画出； （2）求的面积． 18. 如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 四、解答题二（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线的解析式为． （1）___________，___________； （2）当时，x的取值范围是___________ （3）当时，的取值范围是___________． （4）当时，x的取值范围是___________． 20. 如图，已知△ABC中，AB=AC，把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD、CE交于点F． （1）求证：△AEC≌△ADB； （2）若AB=2，，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长． 21. 如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为． （1）用含的式子表示： 矩形的另一边的长为______；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______． （2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围； （3）求当取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大； （4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于，则矩形的长是______，宽是______． 五、解答题三（共2小题，22题13分；23题14分） 22. 【综合与实践】 【阅读材料】在数学世界里，黄金分割宛如璀璨明珠，符合黄金分割比例的事物更具有比例性、艺术性与和谐性． 素材1：若一个点将线段分成两段，较短一段与较长一段的比等于较长一段与整个线段的比，则这个点叫做该线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割数，经计算黄金分割数为．例如在图1中，点为线段上一点，若，则点为线段的黄金分割点．从数据上可描述为：点为线段上一点，若或，则点为线段的黄金分割点． 素材2：宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，常被视为最美矩形． 【特例感知】 （1）母亲节到了，小军买了一双高跟鞋送给妈妈，希望妈妈穿上这双鞋后上半身与下半身的高度比或下半身与全身的高度比接近黄金分割数，呈现一种平衡、稳重的和谐美．如图2，小军妈妈的身高是，下半身长．试通过计算说明小军选择高跟鞋送给妈妈是否能够达到想要的效果（误差在范围内认为是可以的）； （2）如图3，在黄金矩形中，长，则矩形的面积__________； 【操作探究】小军的动手能力很强，想通过折纸的方式得到黄金分割点和黄金矩形．以下是他的折叠步骤： 第一步，准备一张宽，长足够的矩形纸片，利用图4的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步，如图5，把正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平，得到，的中点，； 第三步，折出矩形的对角线，并把折到如图6中的处； 第四步，展平纸片，如图7，过点折出交于点，得到矩形． 小军得到两个结论：点为线段的黄金分割点，所得矩形是黄金矩形． 【问题解决】 （3）请你证明小军的上述结论是否正确； （4）如图8，以为边折出正方形，延长交于点，如图9，得到矩形，请证明． 23. 综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，动点P在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，过原点O作直线l交抛物线于M、N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n．求证：是一个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $