精品解析：安徽省合肥市五十中学西校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

二次函数练习卷（2） 一、选择题（细心选一选，把正确答案的代号填在下面对应方框内．每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，熟知相关函数的性质是解答的关键．根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴当或时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； B、∵，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该选项不符合题意； C、∵，∴当或时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； D、∵，∴y随x的增大而减小，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图像的表达式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图像平移的规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位， 平移后的函数图像的表达式为：； 故选A． 【点睛】此题考查了二次函数图像的平移变换，熟练掌握其平移的规律是解此题的关键． 3. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 【答案】C 【解析】 【分析】由图像经过原点可知m2-2m-3=0，同时注意m＋1≠0. 【详解】解：由图像过原点可得，m2-2m-3=0，解得m=-1或3；再由二次函数定义可知m＋1≠0，即m≠-1，故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m＋1≠0. 4. 已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出坐标，代入函数解析式即可求出k． 【详解】解：点A（1，-3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，3）， 将（1，3）代入反比例函数， 可得：k=1×3=3， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出的坐标是解题关键． 5. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，选图中第一象限的抛物线，由题意得抛物线顶点坐标为，过点，则设抛物线解析式为，然后代入求出抛物线解析式为，然后令即可求解，正确求出二次函数解析式解题的关键． 【详解】解：选图中第一象限的抛物线， 由题意得，抛物线顶点坐标为，过点， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点， ∴， 故选：． 6. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象解不等式，把不等式整理，可得：，即，由函数图象可知当时，不等式成立． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 即， 由函数图象可知，当时， 二次函数的图象在一次函数的图象上边， 不等式的解集为． 故选：C． 7. 若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1，即可得到−≥−1，从而求解． 【详解】由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点， ∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，且对称轴−≥−1，a＋b＝1， ∴a＞0，b＝1﹣a， ∴﹣≥﹣1， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是解题的关键． 8. 已知二次函数在时有最小值，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ①，抛物线开口向上， 时，有最小值， 解得：； ②，抛物线开口向下， 对称轴为直线，在时有最小值， 时，有最小值， 解得：； 综上所述，或． 故选：D． 9. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则， ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线． ∴综上，可得B正确． 故选：B． 10. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小； B. 若图象经过点，则； C. 若，是函数图象上的两点，则； D. 若图象上两点，对一切正数，总有，则． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】、设抛物线与轴交点为， ∵二次函数， ∴，，， ∵当时，随的增大而增大， ∴，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，此选项正确； 、∵二次函数 ，当时，随的增大而增大， ∴，开口向下， 若图象经过点，则， 得：， ∵，， ∴，此选项正确； 、∵对称轴为直线，， ∴， ∵， ∴，是函数图象上的两点，离对称轴近些， ∴，此选项错误； 、由图象上两点 对一切正数，总有， ∵该函数与x轴的两个交点为，， ∴， 解得：，此选项正确； 故选：． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】考查的是反比例函数的性质，先根据反比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意得： ，则 故答案为：． 12. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，飞机停下来时，滑行的距离最远，即此时s有最大值，据此求解即可． 【详解】解： ， 当飞机着陆后滑行，才能停下来； 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图像特征，可知两点关于原点对称，从而得到的面积等于的面积，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，即可求出的值． 【详解】解：∵经过原点的直线与反比例函数相交于两点， ∴两点关于原点对称， ∴， ∴， ∵的面积为6， ∴， 又∵是反比例函数图像上的点，且轴于点， ∴，解得， ∵该反比例函数图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数与一次函数的交点问题，明确反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键． 14. 已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）配方成顶点式求解即可； （2）首先求出对称轴为直线，然后分两种情况讨论：当时，当时，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）当时， ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为：； （2）∵抛物线 ∴对称轴为直线 当时，抛物线开口向上 ∴时，y随x的增大而增大 ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴； 当时，抛物线开口向下 ∴时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小； ∵点，为抛物线上两点，若，总有， ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，将一般式配方成顶点式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 三、解答题（共90分） 15. 已知与成正比例函数关系，且时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）在该函数解析式对应的函数图像上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． （1）根据正比例的定义设，将把，代入解方程求出即可; （2）把点代入求出的函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设 把，代入， 得 解得 ∴， 即； 【小问2详解】 解：把代入， 得 解得： ∴的值为． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.（结果保留根号） 【答案】. 【解析】 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式.已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点,可知E、F两点纵坐标为8,把y=8代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求EF长. 【详解】如图，以 AB 所在直线为 x 轴、线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，A(−20，0)，B(20，0)，C(0，10). 设过点A， B， C 的抛物线方程为： y=a(x+20)(x−20)(a<0). 把点 C(0，10) 的坐标代入，得 10=a(0+20)(0−20) ， 解得： a=−， 则该抛物线的解析式为： y=− (x+20)(x−20)=− x2+10， 把 y=8 代入 , 得 −x2+10=8 ， 即 x2=80， ∴x1=4，x2=−4， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： EF=|x1−x2|=|4−(−4)|=8 (m). 【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题. 17. 抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点． （1）C点坐标为________，顶点坐标为________； （2）不等式的解集是________． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数的顶点式、二次函数与不等式， （1）令得，，求得，再把抛物线表达式转化成顶点式，即可求顶点坐标； （2）先令，求得、，再结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与y轴交于C点， 令得，， ∴， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：令得，， 解得，， 如图，当或时，不等式， 故答案为：或． 18. 一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． （1）试确定V与之间的函数表达式； （2）要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【小问1详解】 设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； 【小问2详解】 把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 19. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？ （3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？ 【答案】（1） （2）能通过 （3）不能通过 【解析】 【分析】（1）抛物线的解析式为，根据E点及D点的坐标由待定系数法就可以求出结论； （2）当时代入（1）的解析式求出y的值和高作比较，就求出结论； （3）据题意，求出当或时，对应的y值，与高相比较，即可求出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，． 设抛物线的解析式为，把或代入得 ． 得 ． 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，把代入解析式， 得． ∵， ∴货运卡车能通过 【小问3详解】 解：根据题意，或， 把代入解析式， 得． ∵， ∴货运卡车不能通过 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 20. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （2）该抛物线一定经过的定点为____________； （3）当时，求证：该抛物线的对称轴一定在直线的右侧． 【答案】（1） （2）和 （3） 证明：当时，抛物线的对称轴为：， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据顶点坐标公式，以及轴上点的纵坐标为求解即可； （2）将函数解析式变形为，由于抛物线过定点，则与无关，即可得到，再解方程即可求解； （3）根据抛物线对称轴公式即可证明． 【小问1详解】 解：∵该抛物线的顶点在x轴上， 解得， ∴a的值为； 【小问2详解】 解：， ∵抛物线过定点， ∴， 解得或， 当；当， ∴抛物线过定点和， 故答案为：和； 【小问3详解】 略 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求，的值． （2）求的面积． （3）观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）8 （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）先求得A、B坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得一次函数图象与y轴的交点坐标，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可； （3）根据图象，求得一次函数的图象位于反比例函数的图象下方部分的点的横坐标的取值范围即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点，， ∴，则，， ∴， ∵一次函数的图象点，， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当，，则一次函数的图象与y轴的交点坐标为， ∵，， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：根据图象，当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象下方， ∴当时，x的取值范围为或． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 （1）商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 【答案】（1）15，； （2）当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； （3）5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用． （1）根据表中数据可以求出每件进价，设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可； （2）设该商品的月销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值； （3）根据总利润=（单件利润）×销售量列出函数解析式，再根据时，利用函数性质求解即可． 【小问1详解】 解：由表中数据知，每件商品进价为（元/件）， 设一次函数解析式为， 根据题意，得， 解得：， 所以y与x的函数表达式为； 故答案为：15，； 【小问2详解】 解：设该商品的月销售利润为w元， 则 ， ∵， ∴当或38时，w最大，最大值为， ∴当该商品的售价是或38元时，月销售利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：根据题意得： ， 对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴当时，w取得最大值为3960元， ∴， 解得：． 故答案为：5． 23. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数表达式； （2）如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在最大值，最大值为12． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，用公共三角形表示出，是正确解答此题的关键． (1)把点代入二次函数解析式可得的值，即可求得二次函数的表达式； (2)易得点、、的坐标，设出点的坐标，易得；，①时，易得点的纵坐标和点的纵坐标相等，列出方程，求解即可；②用含的代数式表示出，进而根据二次函数的性质可得的最大值． 【小问1详解】 解：的图象过点， ， ， 解得：， 二次函数表达式为：； 【小问2详解】 解：二次函数表达式为：， 二次函数的图象与轴有两个公共点，，与轴交于点， 点，点，点， 设点， ， ， ①， ， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为； ②， 当时存在最大值，最大值为12. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数练习卷（2） 一、选择题（细心选一选，把正确答案的代号填在下面对应方框内．每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图像向右平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图像的表达式是（　　） A. B. C. D. 3. 若二次函数y=(m＋1)x2-mx＋m2-2m-3的图象经过原点，则m的值必为( ) A. -1或3 B. -1 C. 3 D. -3或1 4. 已知点A（1，-3）关于x轴的对称点在反比例函数的图像上，则实数k的值为（ ） A. 3 B. C. -3 D. 5. 如图，为了美化校园环境，学校计划在草坪中央修建一个直径为米的圆形喷水池，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，则要修建的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数在时有最小值，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则下列结论错误的是（ ） A. 当时，随的增大而减小； B. 若图象经过点，则； C. 若，是函数图象上的两点，则； D. 若图象上两点，对一切正数，总有，则． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 若反比例函数的图象经过一，三象限，则k的取值范围为________． 12. 飞机着陆时速度快，通常借助直道滑行一段距离来保持飞机稳定．据统计某飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行的时间（单位：）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行________才能停下来． 13. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线交反比例函数的图像于两点，轴于点，的面积为6，则的值为______． 14. 已知抛物线． （1）当时，抛物线的顶点坐标为________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 三、解答题（共90分） 15. 已知与成正比例函数关系，且时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）在该函数解析式对应的函数图像上，求的值． 16. 廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.（结果保留根号） 17. 抛物线与x轴交于A、B两点，A在B左侧，与y轴交于C点． （1）C点坐标为________，顶点坐标为________； （2）不等式的解集是________． 18. 一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． （1）试确定V与之间的函数表达式； （2）要使密度不高于，求的取值范围． 19. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗？ （3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗？ 20. 已知抛物线． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值； （2）该抛物线一定经过的定点为____________； （3）当时，求证：该抛物线的对称轴一定在直线的右侧． 21. 如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求，的值． （2）求的面积． （3）观察函数图象，当时，直接写出的取值范围． 22. 某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价为整数，且该商品的月销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价（元/件）、月销售量（件）月销售利润（元）的部分对应值如下表： 售价/（元/件） 30 35 月销售量/件 300 250 月销售利润/元 4500 5000 （1）商品的进价为 元/件，关于的函数表达式为 ； （2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润； （3）现公司决定每销售1件商品就捐赠元利润给“精准扶贫”对象，要求：在售价不低于42元时，每月扣除捐赠后的月销售最大利润为3960元，则 ． 23. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数表达式； （2）如图，若该二次函数的图象与x轴有两个公共点A，B，并与动直线交第一象限于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当时，求点P的坐标； ②探究在直线l的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $