精品解析：重庆市南开中学校2025-2026学年八年级上学期定时练习数学试卷（三）

重庆南开中学初2027届八上定时练习三 （全卷共四道大题，满分150分，90分钟完卷） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，7，9 C. 8，15，17 D. 7，24，25 3. 等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（ ）. A. 30cm2 B. 130cm2 C. 120cm2 D. 60cm2 4. 若直角三角形的三边长为6，8，，则的值为（ ） A. 10 B. 100 C. 28 D. 100或28 5. 满足下列条件时不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 6. 已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　） A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 7. 下列结论中，正确的有（ ） ①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②的三边长分别为，若，则； ③在中，若，则是直角三角形； A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 8. 如图，点E是正方形ABCD内一点，．若，则正方形ABCD的面积为（ ） A. 10 B. 13 C. 36 D. 169 9. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（　） A. 200 B. 175 C. 150 D. 125 12. 如图，在边长为7的正方形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的处，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 13. 为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m 的墙上，如梯角应距墙角_______m. 14. 一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是_______． 15. 如图，小张为测量校园内池塘A、B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使，并测得长，长，则A、B两点间的距离为________． 16. 暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 17. 图中，是直角三角形的序号是________． 18. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为___________． 19. 在中，，的垂直平分线交延长线于E，则长为_______． 20. 如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是________． 21. 如图，在等腰三角形中，，点D为外一点，连接交于点H，连接，若，，则线段的长度为________． 22. 已知：如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，则结论正确的是___________． 三、计算题：（本大题共3题，每小题10分，共30分） 23. 计算： （1）； （2）． 24. 解方程： （1） （2） 25. 化简求值：，其中． 四、解答题：（本大题共3题，26-27题每小题10分，28题12分共32分） 26. 在中，，为边上一点． （1）用尺规完成作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接；（注意：保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）推理填空：若，求证：． 解： 　 　 又 　 　 ，且　 　 　 　 垂直平分 　 　 ． 27. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12 cm，BC＝16 cm，求AB，CD的长． 28. 某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． （1）如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ （2）如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学初2027届八上定时练习三 （全卷共四道大题，满分150分，90分钟完卷） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2. 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 5，7，9 C. 8，15，17 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】判断是否为勾股数，首先这三个数都要是正整数，同时还需验证两较小数的平方和是否等于最大数的平方. 【详解】、，能构成直角三角形，都是正整数，故选项错误； 、，不能构成直角三角形，故选项正确； 、，能构成直角三角形，都是正整数，故选项错误； 、，能构成直角三角形，都是正整数，故选项错误. 故选：. 【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键. 3. 等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则面积为（ ）. A. 30cm2 B. 130cm2 C. 120cm2 D. 60cm2 【答案】D 【解析】 【分析】首先结合题意画出图形，然后过点A作AD⊥BC于点D，由三线合一的性质，可求得BD=CD=5cm，再利用勾股定理求得高AD的长，继而求得答案． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D． ∵AB=AC=13cm，∴BD=CD=BC=×10=5（cm），∴AD==12（cm），∴S△ABC=BC•AD=×10×12=60（cm2）． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键． 4. 若直角三角形的三边长为6，8，，则的值为（ ） A. 10 B. 100 C. 28 D. 100或28 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理,分m为斜边或m为直角边计算即可． 【详解】解：当m为斜边时，m2=62+82， ∴m2=100； 当m为直角边时，m2=82-62=64-36=28， ∴m2的值为100或28． 故选D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的知识，解答本题的关键是知道勾股定理的特点. 5. 满足下列条件时不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是本题的考点，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理是解题的关键．利用勾股定理逆定理可以判断两项，利用三角形的内角和可以判断两项． 【详解】解：、， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、设， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 、， ， 不是直角三角形， 故本选项符合题意； 、，， ， ， 是直角三角形， 故本选项不符合题意； 故选：． 6. 已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（　　） A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 【答案】A 【解析】 【分析】根据∠C＝90°确定直角边为，对式子两边平方，再根据勾股定理得到的值，即可求解． 【详解】解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 故选A 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定的值． 7. 下列结论中，正确的有（ ） ①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5； ②的三边长分别为，若，则； ③在中，若，则是直角三角形； A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；根据勾股定理及其逆定理，三角形的内角和定理逐项判断即可． 【详解】解：①在中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为或，故本选项不符合题意； ②的三边长分别为，若，则，故本选项不符合题意； ③在中，由，可得，则是直角三角形，故本选项符合题意， 综上所述，正确的有1个， 故选：． 8. 如图，点E是正方形ABCD内一点，．若，则正方形ABCD的面积为（ ） A. 10 B. 13 C. 36 D. 169 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴正方形ABCD的面积＝， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，即在直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方． 9. 如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，，，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】设大圆的半径是r3，两个小圆的半径分别是r1和r2，分别计算大圆的面积S3，两个小圆的面积S1，S2，根据直角三角形中大圆小圆直径（2r3）2=（2r1）2+（2r2）2的关系，可以求得S1+S2=S3． 【详解】：设大圆的半径是r3，则S3=πr32； 设两个小圆的半径分别是r1和r2， 则S1=πr12，S2=πr22． 由勾股定理，知（2r3）2=（2r1）2+（2r2）2， 得r32=r12+r22．所以S1+S2=S3． 故答案为S1+S2=S3． 故选A. 【点睛】本题考查了勾股定理的正确运算，在直角三角形中直角边与斜边的关系，本题中巧妙地运用勾股定理求得：（2r3）2=（2r1）2+（2r2）2是解题的关键． 10. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 11. 如图，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图由图的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，，按此规律，则图中所有正方形的面积和为（　） A. 200 B. 175 C. 150 D. 125 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图、图和图中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图中所有正方形面积和为：， 图中所有正方形面积和，， 图中所有正方形面积和， ⋯ ∴第个图形中所有正方形的面积和为， ∴图中所有正方形的面积和为：，故正确． 故选：A． 12. 如图，在边长为7的正方形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的处，若，则的长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由正方形的性质和折叠的性质可得，，，，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， 沿折叠，使点A恰好落在边上的处， ，， 在中，， 在中，， ， ． 故选：C． 二、填空题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 13. 为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，小明搬来一架高为2.5m的木梯，想把拉花挂到2.4m 的墙上，如梯角应距墙角_______m. 【答案】0.7 【解析】 【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可． 【详解】 梯脚与墙角距离，利用勾股定理得：=0.7（米）． 故答案为：0.7． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 14. 一个三角形的三边长分别是，，，则这个三角形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式，即可求出其面积． 【详解】解：， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，那么这个三角形就是直角三角形．能够根据具体数据，运用勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形是解题的关键． 15. 如图，小张为测量校园内池塘A、B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使，并测得长，长，则A、B两点间的距离为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理求边长是解题的关键；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，长，长， ， 故答案为：10． 16. 暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 【答案】10 【解析】 【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离. 考点：勾股定理 17. 图中，是直角三角形的序号是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理求边长及逆定理证明直角三角形；先分别求出每个三角形的边长，再根据勾股定理逆定理判断即可． 【详解】解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意； 三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意； 故答案为：． 18. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 19. 在中，，的垂直平分线交延长线于E，则长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，设为x，根据垂直平分线的性质可得，然后由勾股定理可列出方程，求解即可． 【详解】解：连接，设为x， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 20. 如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，则的面积是________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，作辅助线构造全等是解题的关键；作于D，作于E，证明，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作于D，作于E，则，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：17． 21. 如图，在等腰三角形中，，点D为外一点，连接交于点H，连接，若，，则线段的长度为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形，勾股定理及直角三角形的两个锐角互余等知识，先利用等腰三角形的性质、互余及直角三角形的性质说明，得到与间关系，再用含的代数式表示，最后在直角中利用勾股定理得结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵ ∴． 解得． 故答案为：15． 22. 已知：如图在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，则结论正确的是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．证出，根据全等三角形的性质即可判断①正确；根据全等三角形的性质可得，设交于点，根据可得，则，由此即可判断②正确；根据等腰三角形的性质可得，再根据角的和差、等量代换即可判断③正确；根据勾股定理可得，，再根据可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，则结论①正确； 如图，设交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； ∵，， ∴， ∴，则结论③正确； ∵，，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、计算题：（本大题共3题，每小题10分，共30分） 23. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式和平方差公式展开括号后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 24. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是关键． （1）利用加减消元法解答即可； （2）变形后利用加减消元法解答即可． 【小问1详解】 解： 得， 解得， 把代入②得， 解得 ∴ 【小问2详解】 整理得到： ， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得， ∴方程组的解为． 25. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键；根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出x，y，代入计算得到答案． 【详解】解： 原式 ， ， ， ， ， 原式． 四、解答题：（本大题共3题，26-27题每小题10分，28题12分共32分） 26. 在中，，为边上一点． （1）用尺规完成作图：作线段的垂直平分线交于点，交于，连接；（注意：保留作图痕迹，不写作法，不下结论） （2）推理填空：若，求证：． 解： 　 　 又 　 　 ，且　 　 　 　 垂直平分 　 　 ． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求， ； （2），，，， 【解析】 【分析】（1）分别以为圆心，大于为半径画弧，交于两点，通过这两点作直线，交于点，交于，连接，直线即为所求； （2）由等腰三角形的性质可得，从而得到，证明，再由角平分线的性质可得，证明，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 又， ， ，且， ， 垂直平分， ， ， ， 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 27. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12 cm，BC＝16 cm，求AB，CD的长． 【答案】的长为，的长为． 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得的长，再利用三角形的面积公式可得的长． 【详解】解：在中，，， ， ， ， 解得， 答：的长为，的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理是解题关键． 28. 某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． （1）如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ （2）如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】（1）基地E距A为 （2）如图所示；基地E距A为，的最小值为 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； 【小问2详解】 解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $