精品解析：天津市实验中学津南学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025—2026学年高三（上）10月月检测——数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（    ）的图象 A. B. C. D. 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知0＜β＜＜α＜，cos（+α）=-，sin（+β）=，则cos（α+β）=（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知，给出下列命题： （1）函数的图象关于直线对称； （2）函数在上单调递增； （3）函数的图象关于点对称； （4）函数在上的值域是； 其中正确的命题个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 若复数满足，则__________. 11. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________． 12. 已知平面向量，则与的夹角余弦值等于__________． 13. 扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为______． 15. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 三、解答题 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， （1）求tanα； （2）求的值； （3）求的值. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 19. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求的解析式及最小正周期； （2）已知，，求的值. （3）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围. 20. 已知函数． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数有两个相异零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 2025—2026学年高三（上)10月月检测一数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1.己知集合4={x-1<x<3},B={-1,01,2头，则4nB=（) A.{0,} B{-1,0,1} c.{0,12} D.{-1,0,1,2} 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义直接求解即可 【详解1A={-1<x<3},B={10,12, AnB={0,1,2} 故选：C 2设向量d=(（2,-),b=(m,2),若向量a与a-方共线，则ā+i=（) A.（-2,) B.（-2,-1) c（-4,2) D.（-2,-4 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算求出”的值，再由向量线性运算的坐标表示求+6， 【详解1向量i=(2,-),6=(m,2),则a-6-(2-m,-3), 若向量ā与a-6共线，有2×(-3)=-(2-m）,解得m=4,则6=(4,2）， 所以i+6=(-2,1) 故选：A 第1页/共22页 6学科网 命组卷网 3.把函数1 y=2sin 3x+ 兀 5)图象上所有的点向右平移15个单位长度，可以得到函数y=(）的图象 sin3x sin2x 2sin2x 2sin3x A. B. c. D 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的平移法则即可求解。 【年1因为=2[周引-23，所=23x+号》 5图象上所有的点向右平移 15个单位长度即可得到函数y=2sin3x的图象 故选：D, 4=且a/6是“a=b的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用相等向量和相反向量的定义，结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解， 【详解】若ā与6是相反向量，且均不为零向量，显然满足同=6且ā/6，但得不到ā=6， 若a=6,由相等向量的定义知同-且ā/6，所以同-5且a/6是“a=b”的必要不充分条件， 故选：B. π 3ππ 3 3π 5 5.已知0<B<4<u<4,cos(4+a)=-5,sin(4+B)=13,则cos(a+β)=() 56 56 16 16 A.65 B.65 C.65 D.65 第2页/共22页 6学科网命组卷网 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 in+）和os 4 本的的值，再利用两角和的余弦公式求 4 得oa+月=-cor好++(+al万 4 的值，即可求解 【详解】由题意知， 0<B<年a< 4©os(+四=二5，所以4为第二象限角 4 所以sm+a--es+a)- 丙%管+用言服经+9为常一限货=受A- 12 13, noma+月-ar子+m++e明-m子的a+a+爱+0sa子+ 4 12 3、5416 16(3+i3×565, 故选D. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限 中的符号，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力， 属于基础题， ABCD 6.如图，在平行四边形 中，B是BC的中点，正=3F,则DF=() D F E A-号AB+2AD 3 第3页/共22页 命学科网命组卷网 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则和三角形法则求即可 【详解1因为是BC的中点，所花=6+号D又E-3 4-写证-+号0写+后 所f=DA+正-写B-名A0 故选：C 7.在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑一一文昌阁·在天津市的文化地标中， 文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产如图，某校高一年级张华同学参 加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度CD的实践活动该同学在文昌阁塔的正西方 向找到一座建筑物AB,高约为1Om,A,E,C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶 部D的仰角分别为30°和45°，在B处测得塔顶部D的仰角为15°，则文昌阁CD的高度约为()· B 30 人45° E A.20m B.20v3m C.10v2m D.10v3m 【答案】A 【解析】 第4页/共22页 学科网命组卷网 【分析】直角三角形ABE中，求得BE,在△BED中，由正弦定理求得DE,再在等腰直角△DCE求得 CD 【详解】在直角△4BE中，1B=10,∠AEB=30°BE=20 中， ，则 在△BED中，∠DBE=15°+30°=45°，∠BED=180°-30°-45°=105°，所以∠BDE=30°， DE BE DE 20 由正弦定理得sin∠OBE sin∠BDE,即sin45°sin30°，解得DE=20√2， 所以，在等腰直角△DCE中，直角边DC=20, 故选：A 8已知f()=sin 3 给出下列命题： (1)函数f(x)的图象关于直线x=3对称： (2)函数f(x)在3’2上单调递增： 零)函数的图象关于有0 对称： 4元 511 4)函数fx)在3， 上的值域是 2’2 其中正确的命题个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数式，利用正弦函数的性质，逐一分析各个命题即可判断作答. 第5页/共22页 6学科网 命组卷网 【详解】对于(1)，因为 233 ”2,则直线=3是函数f)图象的对称轴。 (1)正确： rπ7π 1。、x∈-3，时，62中312，而正弦函数y=Snx在6,6】 上不单调， 元兀 因此函数f倒)在厂32上不单调，（②）睛误 ),因此函数f)的图象关于点 对称， (3)正确： 4π 对于(4)，当3 3 所以正确的命题个数是2. 故选：C 9设函数f()=cos2r+V3n inos-(o>0,函数/付在这向0)上格有4个专点，则实 0π 22 数0的取值范围为() 1723 1723 2329 [2329 3’3 B 3’3 3’3 D 3’3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合给定区间求出1=x+ 的范围，借助于 y=sint 的图象，即可建立关于”的不等式，求解即得 【详解】由f()=cos2+V3 22 3sin ox-+cosx3 22 -sin Ox- 第6页/共22页 6学科网命组卷网 sin @x+cosox=sin(@x+) 1 2 6 设1@r+元 中xe(0, 6,由 2,可得6 y=sint 作出函数 的图象、 y-sint 4πX 2π3元 5元 人 2 0 函数f(x)在区间2上恰有4个零点， 4n<π 由图，则 0 亚55r 6 ，解得 故选：C 二、填空题（每题5分，共30分） 10若复数2满足iz=1+i,则2= 【答案】V2 【解析】 【分析】由复数除法的几何意义及模的求法求模长， 【详解1电没1-=1=反 故答案为：V2 1.已知角C的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4),则sin(π+a)= 第7页/共22页 6学科网6组卷网 4 【答案】5拼0.8 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，即可求解 【详解】由角“的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 P(3,4) 4 可得r=OP=5,根据三角函数的定义，可得 sina= 5, hsin(π+a）=-sina=- 4 又 4 故答案为：5。 12已知平面向量a=(4,3),2a-b=(2,-2）,则a与乃的夹角余弦值等于 24 【答案】25 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式即可求解。 【详解】由于6=2-(2，-2)=(6,8) cos(a,B)= ab 4×6+3×8 24 d万 V42+32×V6+8225, 24 故a与b的夹角余弦值为25， 24 故答案为：25 13.扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角C的弧度数是 【答案】2 第8页/共22页 命学科网命组卷网 【解析】 【分析】根据扇形的周长和面积公式，结合弧长公式进行求解即可 【详解】设扇形的半径为”，扇形的弧长为， 2r+1=4 [1=2 因为扇形的周长是4，面积是1，所以21=1今=1 → 1_2=2 因此扇形的圆心角C的弧度数是”1 故答案为：2 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若 ∠A=π 3,a=2,则△ABC面积的最大值 为 (答案】V3 【解析】 【分析】首先利用余弦定理和基本不等式即可求出bc的最大值，最终代入三角形面积公式S,c即可求解 ∠A=π 【详解】由题意3，a=2,由余弦定理得 d2=b2+c2-2 becos3,即+d2-bc=4,对其利用 基本不等式可得 +c-bc=4≥2bc-hc=bc,所以当且仅当b=C时，等号成立，此时bc有最大值 4,代入三角形面积公武可得C)bcim4×c≤片×4=V3,所以ABC面积的最太佰为 22 4 3 故答案为： √3 第9页/共22页 命学科网命组卷网 LAD 15.在平面四边形ABCD中，AB=2N3，AD=6,向量AB在向量AD上的投影向量为2，则 BC=1AD ∠BAD= ；若 3 ,点E为线段BD上的动点，则CE·AE的最小值为 π 【答案】 ①.6 ②.-6 【解析】 【分析】作出向量MB在向是AD上的投影向量，在直角三角形中求出∠BAD,以点A为坐标原点，AD 为轴建立直角坐标系，利用坐标法求 CE·AE 的最小值 【详解】过点B作BM垂直AD于点M,则向量MM为向量MB在向量MD上的投影向量， 由题意知点M为线段AD的中点，所以MM-4AD=6 所以cos∠BAD=M-3V5 4B2V52,又∠B4D为锐角，放∠BAD=石 6 以点A为坐标原点，AD为x轴建系如图，则A0,O),D(6,O),B(3,V3) BC=AD 因 3 ,所以C(5,V3) 因为点E为线段BD上的动点，所以设D正=DB=(-3N3),元[0,1川故点B(6-3,V5A) CE·AE=(6-32,N32)(1-32,V3-V3)=(6-32)1-3)+V32(N32-√3) =1222-242+6元∈[0,1] 当2=时，C匠正取到最小值6， 第10页/供22页 6学科网命组卷网 2 故答案为：6；-6 B E 三、解答题 16已知角口的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P1,2)为角a终边上一点， (1)求tana; sin(π-ax)+5cos(2π-) 3 (2)求2sin 2π-a+cos π +的值： 2 (3)求sina+2 sin-cosa的值， 7 【答案】(1)2(2)4 7 (3)5 【解析】 【分析】(1)根据任意角三角函数的定义可得. (2)根据诱导公式及同角三角函数关系式sina=cos a tana化简，然后代入tan a的值可求得 sin(π-)+5cos(2π-a) 73 2sin。π-a&+cos 二+α的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得 代入求值即 2 2 ina,cosa 可 第11页/共22页 学科网命组卷网 (3)利用ina+cos'a=l,构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入tan“的值可求得 sin2 a+2sina cosa-cos2 a sina,cosa 的值；或直接由定义求得 ,代入求值即可 【小问1详解】 tana= 2-2 根据任意角三角函数的定义可得 1 【小问2详解】 由(l)知tana=2 1 因为sina=cotam'且cosa= 2+225 ≠0 sin(π-a)+5cos(2π-a) sina+5cosa tana+5 7 所以2sin 2π-a+cosπ -2cosa-sina -2-tana 4 +a 2 sin(π-a)+5cos(2π-a) 3 所以2sin -amr任+as信为-子 方法二： 225 1 根据任意角三角函数的定义可得sinx= V12+275,cosa= 12+225 25 sin(π-a)+5cos(2π-a) sina+5cosa 5 所 2sin 3 π-a+cos -2cosa-sina 2V52V5 2 55 sin(π-)+5cos(2π-x) 所以2sin 2π-a+cos 3 +a的值为-7 02 4 【小问3详解】 第12页/供22页 6学科网命组卷网 由(1)知tana=2. 因为sin2a+cos2a=1'sina=cos tam:且cosa-、 1-50 12+225 所以sin2a+2sinacosa-ecos'a-sim'+2sinxcosa-cos2e-an2a+2ana-17 sin2a+cos2a tan2a+1 5 7 所以sin2a+2 sina cosa-cos2a的值为5. 方法二： 25 由(2)知， sina= ,cosa=15 5 所以sin2a+2 sinacosa-cos2 a= 所以sin2a+2 sina cosa-cos2a的值为5. 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知si血A=V3si血C,B=150°，△MBC的面积 为⑤ (1)求a的值： (2)求sinA的值； (3)求sin2A+ 6的值 【答案】(1)2V3 √2i (2)14: 第13页/供22页 6学科网命组卷网 13 (3)14. 【解析】 【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求4： (2)由余弦定理求出b,再根据正弦定理即可求出snA; (3)根据snA求出cosA,再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值. 【小问1详解】 :siA=V5sinC,÷由正弦定理得a=V3c 又△ABC的面积为V3,:2 acsin150=V5 ,解得c=2, :a=2V3 【小问2详解】 由余弦定理有b=d+c2-2 ao150°，b=2W7 a b 由正弦定理sin A sin B →sin4=2W5sin150°-V2 2W7 14· 【小问3详解】 V27 B=150°，A<90°，∴由smA=14得，cosA5V7 14 sin 24=2sin 4cos453 14, cos24=2cos2 4-1=11 14 sm24+名-sin24cos名+cms21sing18 6 614. 18已知向量d=(1,3),b=(-3,k)】 1)若a16,求6的值， 第14页/供22页 6学科网列组卷网 (2)若i1(a+2b), 求实数k的值； (3)若ā与b的夹角是钝角，求实数k的取值范围 【答案】(1)3V10 3 3)（0,-9u(-9,1) 【解析】 【分析】(1)根据向量平行的坐标运算列式求解k的值，从而得模长； (2)根据向量的坐标的线性运算得+2b, k 的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值： （3)根据向量夹角与数量积的关系可知ā·6<0且a与5不共线，运算求解即可 【小问1详解】 因为向量a=(,3),6=(3,k),且ā‖万 所以1×k-3×(-3)=0,解得k=9,即5=(-3,9)， 所以5=-32+(9yP=310 【小问2详解】 因为a+2b=(-5,3+2),且a1(a+2b). 所14(-5+3x3+2)=0,年利=子 【小问3详解】 因为a与b的夹角是钝角，则a-b<0且i与b不共线， 第15页/供22页 命学科网命组卷网 可得×(-3列+3×k<0且k≠-9，解得k<1且k≠-9， 所以实数k的取值范围为一0，-9U(-9,1) 19已知函数f)=4sin(ox+p,(4>0,o>0,lp水) 的部分图象如图所示 2 π (1)求f()的解析式及最小正周期； 0, (3)若方程f(x)=m在2上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围 4-V2 (2)6 3)L2) 【解析】 【分析】(1)由图像最值得到A的值，由相邻最大值与最小值点得到函数周期T,从而得到®，将已知 点坐标代入解析式，求得”，即得到函数解析式： (2)代入(1)中函数解析式得到等式，结合“取值范围得到6的取值范围，由同角三角函数求得 第16页/供22页 6学科网6组卷网 6, 然后利用和差角公式求得c0 12的值： 0,- (3)将零点问题转化为y=f(x)的图象与y=m的图象在区间2]上有两个交点，进而求出m的取值 范围即可 【小问1详解】 即7=元， 2死=T=元 所以0 ,解得o=2,所以f(x)=2sin(2x+p), +p=+2k 2π 则3 2 ,解9=+2keZ 因为划p水，所以9=石，盾以国=2sn2x-君) 透数例发小E阿婚为了-受-元 【小问2详解】 m如-}ma哥- 22 第17页/共22页 6学科网列组卷网 ua+}ma2x9是4 32326: 【小问3详解】 ,x[ 51 =2sin 6 0, 方程f(x)=m在02上有两个不相等的实数根， 则y=f(x)的图象与y=m的图象在区间2]上有两个交点， 由题中函数图象可得m∈，2) 所以实数m的取值范围为几，2) 20.已知函数f()=alhx+bx(a,beR) (1)若a=b=1 求函数y=f, 的图像在=处的切线方程； 求函数yf)】 (2)若a=1 的单调区间： (3)若b=-1,已知函数y=f四有两个相异零点，西，求证，>心 【答案】(1) 2x-y-1=0 (2≥0时，网在0网上年调建：60时.因在0-君)上单#.在合) 单调递减 (3) 证明：由题知 b=-1 f(x)=alnx-x 因为函数y=f)有两个相异零点，5，且⑩=」 第18页/供22页 6学科网 命组卷网 a= Inx 所以 且 ，∫alnx-x=0,即 X2 a= x≠1x2≠1alnx2-32=0 In x2 x .a= 所以，方程nx有两个不相等的实数根， ◆8闭则8四 (Inx)2, 故当xe(0,1Ul,e)时，g'()<0,xe(e+o）时，8(>0， 所以，()在0,1)(，e)上单调递减，在（e,+切)上单调递增。 因为x∈(0,1,8(x<0,xe(山，+o),g(x)>0 所以，要使方程anx有两个不相等的实数根，则a>g(©)=e. 不纺令无>5>0，则al血=，al血6=为 所以a(血+lh)=alhx=+,a血-l血x)=x-为. 要证xx2>e2,只需证lhxx>2,即证： h5=+五>2 a 1Inx -Inx2 因为a1-x2, 所以，只需证 店+x)h-h5=5+n支>2 x-x2 x1-x2 x2 X+1 X2 第19页/供22页 命学科网命组卷网 =t>1 故令x2 故只需证（+血1>2-），1>1成立， 令h(0=(+1)ln1-2(t-1),t>1 测0=h1+牛1-2=n1+1 0)-}分>0回度立 所以，h(0在山，+o)上单调递增。 因为h'()=0 所以h(0>0在（L,+o)恒成立， 所以，h0在L,+切)上单调递增。 所以，h0>h0=0,即+1血1>2-)，1>1成立， 所以，>e成立 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可； (2)根据题意，分b之0和b<0两种情况讨论求解即可； X Q= (3)由题知，方程“一nx有两个不相等的实数根，进而得a>e,再不妨令x>x>0,进而将问题转 =1>1，进一步转化为证明u+1)n1>2-1)1>1成 故令x 第20页/共22页 6学科网6组卷网 立，再构造函数证明不等式即可 【小问1详解】 解：当a=b=l时，函数f)=nx+x,f=+1 所以，f(0=h1+1=lf(四=2 所以函数y=f四的图像在x=1处的切线方程为'-1=2(x-,即2x-y-1=0 所以，函数'=f 刀的图像在=引处的切线方程为 x-y-1=0 【小问2详解】 解：当a=l时，f因=lhx+bx,定义域为(0，+o）, 所以.f)=1+6=1+ 所以，b≥0时，f)20在(0，+切)上恒成立，故f)在（0，+切）上单调递箱， 1 当b<0时，令f")=0得=6， 以.当君动本.了因0.网单两 当（合时.<0.四*羽流 综上，b≥0时，f(在(0，+o)上单调递增， 上单调递减 【小问3详解】 略 第21页/供22页 6学科网命组卷网 【】水学有健抢关郑在十根怎，化为证气+卢经>存造今 X=t>1 ,再构造函数h(t)=(t+1)nt-2(t-1),t>1证明(t+1)ht>2(t-l)t>1成立即可 第22页/共22页