精品解析：天津市实验中学津南学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025—2026学年高三（上）10月月检测——数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集定义直接求解即可. 【详解】，， . 故选：C. 2. 设向量，，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的坐标运算求出的值，再由向量线性运算的坐标表示求. 【详解】向量，，则， 若向量与共线，有，解得，则， 所以. 故选：A. 3. 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（    ）的图象 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的平移法则即可求解. 【详解】因为，所以把图象上所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象 故选：D. 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用相等向量和相反向量的定义，结合充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】若与是相反向量，且均不为零向量，显然满足且，但得不到， 若，由相等向量的定义知且，所以“且”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 已知0＜β＜＜α＜，cos（+α）=-，sin（+β）=，则cos（α+β）=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得和的值，再利用两角和的余弦公式求得的值，即可求解． 【详解】由题意知，，，所以为第二象限角， 所以， 因为，所以为第二象限角，所以， 则 ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系，两角和的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 6. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则和三角形法则求即可. 【详解】因为E是的中点，所以又 所以 所以 故选:C. 7. 在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直角三角形中，求得，在中，由正弦定理求得，再在等腰直角求得． 【详解】在直角中，，则， 在中，，，所以， 由正弦定理得，即，解得， 所以，在等腰直角中，直角边， 故选：A． 8. 已知，给出下列命题： （1）函数的图象关于直线对称； （2）函数在上单调递增； （3）函数的图象关于点对称； （4）函数在上的值域是； 其中正确的命题个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数式，利用正弦函数的性质，逐一分析各个命题即可判断作答. 【详解】对于（1），因为，则直线是函数图象对称轴，（1）正确； 对于（2），当时，，而正弦函数在上不单调， 因此函数在上不单调，（2）错误； 对于（3），因为，因此函数的图象关于点对称，（3）正确； 对于（4），当时，，则，（4）错误， 所以正确的命题个数是2. 故选：C 9. 设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合给定区间求出的范围，借助于的图象，即可建立关于的不等式，求解即得. 【详解】由 ， 设，由，可得，即， 作出函数的图象. 函数在区间上恰有4个零点， 由图，则，解得. 故选：C. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 若复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数除法的几何意义及模的求法求模长. 【详解】由题设. 故答案为： 11. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义和三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】由角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， 可得，根据三角函数的定义，可得， 又由 故答案为：. 12. 已知平面向量，则与的夹角余弦值等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】由于, ， 故与的夹角余弦值为， 故答案为： 13. 扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的周长和面积公式，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】设扇形的半径为，扇形的弧长为， 因为扇形的周长是4，面积是1，所以， 因此扇形的圆心角的弧度数是， 故答案为： 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用余弦定理和基本不等式即可求出的最大值，最终代入三角形面积公式即可求解. 【详解】由题意，，由余弦定理得，即，对其利用基本不等式可得，所以当且仅当时，等号成立，此时有最大值4，代入三角形面积公式可得，所以面积的最大值为. 故答案为：. 15. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以点为坐标原点，为轴建立直角坐标系，利用坐标法求出的最小值. 【详解】过点作垂直于点，则向量为向量在向量上的投影向量， 由题意知点为线段的中点，所以， 所以，又为锐角，故. 以点为坐标原点，为轴建系如图，则，，. 因为，所以. 因为点为线段上的动点，所以设，故点. ，. 当时，取到最小值. 故答案为：；. 三、解答题 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， （1）求tanα； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得. （2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可. （3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可. 【小问1详解】 根据任意角三角函数的定义可得 【小问2详解】 由（1）知. 因为，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. 【小问3详解】 由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 由（2）知，. 所以. 所以的值为. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a； (2)由余弦定理求出b，再根据正弦定理即可求出sinA； (3)根据sinA求出cosA，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值. 【小问1详解】 ∵，∴由正弦定理得， 又的面积为，∴，解得， ∴； 【小问2详解】 由余弦定理有，∴. 由正弦定理. 【小问3详解】 ∵B＝150°，∴A＜90°，∴由sinA＝得，， ∴，. ∴. 18 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长； （2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值； （3）根据向量夹角与数量积的关系可知且与不共线，运算求解即可. 【小问1详解】 因为向量，且， 所以，解得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以，解得. 【小问3详解】 因为与的夹角是钝角，则且与不共线， 可得且，解得且， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求的解析式及最小正周期； （2）已知，，求的值. （3）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图像最值得到的值，由相邻最大值与最小值点得到函数周期，从而得到，将已知点坐标代入解析式，求得，即得到函数解析式； （2）代入（1）中函数解析式得到等式，结合取值范围得到的取值范围，由同角三角函数求得，然后利用和差角公式求得的值； （3）将零点问题转化为的图象与的图象在区间上有两个交点，进而求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由最值可确定，，即， 所以，解得，所以， 又，所以， 则，解得， 因为，所以，所以； 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 ，即， 因为，所以 ，又，所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 当时，，， 方程在上有两个不相等的实数根， 则的图象与的图象在区间上有两个交点， 由题中函数图象可得. 所以实数m的取值范围为. 20. 已知函数． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数有两个相异零点，求证：． 【答案】（1） （2）答案见解析. （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可； （3）由题知，方程有两个不相等的实数根，进而得，再不妨令，进而将问题转化为证明，故令，进一步转化为证明，成立，再构造函数证明不等式即可. 【小问1详解】 解：当时，函数，， 所以，， 所以函数的图像在处的切线方程为，即. 所以，函数的图像在处的切线方程为 【小问2详解】 解：当时，，定义域为， 所以，， 所以，时，在上恒成立，故在上单调递增， 当时，令得， 所以，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 解：由题知，， 因为函数有两个相异零点，且 所以且，，即， 所以，方程有两个不相等的实数根， 令，则， 故当时，，时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 因为， 所以，要使方程有两个不相等的实数根，则. 不妨令，则 所以，， 要证，只需证，即证： 因为， 所以，只需证， 只需证，即 故令， 故只需证，成立， 令 则， 在恒成立， 所以，在上单调递增， 因为， 所以在恒成立， 所以，在上单调递增， 所以，，即，成立， 所以，成立. 【点睛】本题第三问解题的关键在于根据题意，将问题转化为证明，进而令，再构造函数证明成立即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高三（上）10月月检测——数学试卷 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，若向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（    ）的图象 A. B. C. D. 4. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知0＜β＜＜α＜，cos（+α）=-，sin（+β）=，则cos（α+β）=（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在我区杨柳青的大运河畔，有一座建于明代万历四年的馆阁式建筑——文昌阁.在天津市的文化地标中，文昌阁因其悠久的历史和独特的建筑风格，被认为是一个重要的文化遗产.如图，某校高一年级张华同学参加了主题为《追寻历史足迹，传承运河文化》测量文昌阁高度的实践活动.该同学在文昌阁塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，A，E，C三点共线，在地面上点E处测得建筑物顶部B与文昌阁顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则文昌阁的高度约为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知，给出下列命题： （1）函数的图象关于直线对称； （2）函数在上单调递增； （3）函数的图象关于点对称； （4）函数在上的值域是； 其中正确的命题个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 若复数满足，则__________. 11. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________． 12. 已知平面向量，则与夹角余弦值等于__________． 13. 扇形的周长是4，面积是1，则扇形的圆心角的弧度数是___________. 14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则面积的最大值为______． 15. 在平面四边形中，，，向量在向量上的投影向量为，则________；若，点为线段上的动点，则的最小值为________． 三、解答题 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， （1）求tanα； （2）求值； （3）求的值. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，的面积为. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 19. 已知函数的部分图象如图所示 （1）求的解析式及最小正周期； （2）已知，，求的值. （3）若方程在上有两个不相等实数根，则实数m的取值范围. 20. 已知函数． （1）若，求函数的图像在处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间； （3）若，已知函数有两个相异零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $