精品解析：云南省昆明市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷

2024—2025学年上学期期末质量监测试卷 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系可知，分或两种情况讨论，结合元素互异性可得. 【详解】因为，，， 所以，所以或，即或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去； 当时，，满足. 综上，. 故选：B 2. 已知，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出相应一元二次方程的解，结合韦达定理求解可得． 【详解】由题意的两根为和1， 所以，即， 所以， 故选：A． 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：若，则，反之成立，则也成立， 所以是的充要条件，故A错误； 选项B：若，当时，则，当时，则， 故无法一定得到，充分性不成立，故B错误； 选项C：当时，满足，但此时，充分性不成立，故C错误； 选项D：若，且，则，故充分性成立， 反之若，当时，，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 4. 已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弧长公式，扇形面积公式直接求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 则扇形的面积，又， 解得， 所以扇形的周长. 故选：C. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指对数的运算及其性质判断大小关系. 【详解】由，即. 故选：D 6. 根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的概念逐一判断即可 【详解】对于A：当时，，且， 当时，，但，故A错误； 对于B：当时，，， 当时，，， 当时，，，故B正确； 对于C：当时，，， 当时，，， 当时，，但，故C错误； 对于D：当时，，，故D错误； 故选：B 7. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 8. 已知定义域为（且）的函数图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解. 【详解】令，， 因为，当时，总有，即， 即，当时，总有， 所以在上递增，又因为， 所以，， 所以在上是偶函数， 又因为， 所以，即， 所以，即， 因为实数的取值范围为， 所以必有， 由解得， 将代入验证，成立， 综上，， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部份分，有选错得0分. 9. 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 10. 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定条件，结合基本不等式，逐项分析、计算判断作答即可. 【详解】对于A，因为， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，因为， 所以，当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ABD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.设，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. C. 当时， D. 函数在定义域上为奇函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义分析A、B选项；根据高斯函数的定义代入化简的解析式，可判断C选项；根据的值判断D选项. 【详解】，，使得，则， 因为，所以， 所以，即的值域为，故A正确； 又因为，所以， 所以，故B正确； 当时，，所以，故C正确； 因为，，所以， 显然不可能是奇函数，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由条件得到，结合二倍角公式，化弦为切，代入求出答案. 【详解】因为，所以， . 故答案为： 13. 已知函数的零点分别为，则大小顺序为______.（按由小到大排列） 【答案】 【解析】 【分析】根据零点的定义，令，，，据此分别讨论的大致范围，进而得到答案. 【详解】由题意，令，即，得， 由，即，得，则，得， 由，即，得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义判断函数单调性，再根据单调性解不等式. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数，都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算； （2）转化为集合的包含关系求解． 【小问1详解】 ， 或， 所以或． 【小问2详解】 若“”是“”的必要不充分条件，则且， 所以且两个等号不能同时取得，解得． 所以的取值范围是． 16. 计算下列各式： （1）； （2）： （3）已知为方程的两个实数根，求实数的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、对数恒等式和指数幂运算法则进行计算； （2）利用对数的运算法则化简式子； （3）根据韦达定理得到与和方程系数的关系，再结合三角函数的平方关系求解的值. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 根据韦达定理得：， 因为， 又因为， 所以可得， 解得. 17. 已知是函数的一个零点， （1）求实数的值： （2）求的单调递增区间； （3）若，求的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由是函数的一个零点可得，化简可得的值； （2）利用二倍角公式和辅助角公式化简的解析式，再结合整体代入法求单调递增区间； （3）由定义区间和函数解析式，结合正弦函数的性质，可求函数在区间上的值域. 【小问1详解】 由题意，，化简可得，. 【小问2详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 【小问3详解】 由，可得，，， 所以，即的值域为. 18. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. （1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： （2）求四边形面积的最大值. 【答案】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， 点，点； （2）最大值为. 【解析】 【分析】（1）如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系，利用三角函数的定义及诱导公式即可表示两点的坐标； （2）把四边形的面积表示为的函数，利用三角函数求最值即可. 【小问1详解】 如图，以所在直线为轴，为原点建立直角坐标系， ，圆的半径为， 点坐标为，点的坐标为， 坐标为. 【小问2详解】 ， ∴四边形的面积 ，， 当时，即时，， 四边形的面积的最大值为. 19. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点，所以，解得. 【小问2详解】 ，定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. 【小问3详解】 由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年上学期期末质量监测试卷 高一数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 4 2. 已知，关于的不等式的解集为，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形面积为1，圆心角为1弧度，则扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为（且）的函数图象是一条连续不断的曲线，且满足，若，当时，总有成立，且满足的实数的取值范围是，则（ ） A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部份分，有选错得0分. 9. 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 10. 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.设，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. C. 当时， D. 函数在定义域上为奇函数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 13. 已知函数的零点分别为，则大小顺序为______.（按由小到大排列） 14. 已知函数定义域为，对任意两个不相等的实数，都有成立.则不等式的解集为______. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 计算下列各式： （1）； （2）： （3）已知为方程的两个实数根，求实数的值. 17. 已知是函数的一个零点， （1）求实数的值： （2）求的单调递增区间； （3）若，求的值域. 18. 如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转90°到，过分别作于，于. （1）建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示，两点的坐标： （2）求四边形面积的最大值. 19. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $