4.6 函数的应用（二）-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB (教师独具内容) 课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 教学重点：根据给定的函数模型解决实际问题． 教学难点：建立函数模型解决实际问题． 核心素养：通过应用函数模型解决实际问题培养数学抽象素养和数学建模素养． 知识点　　用函数模型解决实际问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型． (3)求模：求解函数模型，得到数学结论． (4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中． 可将这些步骤用框图表示如下： 1．(对数型函数模型的应用)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　) A．1010.1 B．10.1 C．lg 10.1 D．10－10.1 答案：A 2．(幂函数模型的应用)异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数量关系，通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为(　　) A. B. C. D. 答案：D 3．(指数型函数模型的应用)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽______次(已知lg 2≈0.3010，lg 5≈0.6990)． 答案：8 题型一　指数型函数模型的应用　 　某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率10%，按单利计算利息，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算利息，5年后收回本金和利息．问哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少万元(结果精确到0.01万元)? [解]　本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)． 本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)． 由此可见，5年后按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，多得利息约3.86万元． 【感悟提升】指数型函数模型解决的几类问题 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 【跟踪训练】 1．某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初始含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少要过滤几次才能使产品达到市场要求？(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771) 解：由题意，得×≤，即≤， 所以n≥log＝＝≈7.4. 所以至少要过滤8次才能使产品达到市场要求． 题型二　对数型函数模型的应用　 　20世纪30年代，查尔斯·里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)． (1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)； (2)5级地震给人震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍(精确到1)？(参考数据：lg 2≈0.3010，102.6≈398) [解]　(1)依题意知M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20000＝lg 2＋lg 104＝4＋lg 2≈4.3. 因此这是一次约里氏4.3级的地震． (2)由M＝lg A－lg A0可知M＝lg ， 所以＝10M， 所以A＝A0·10M. 当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6，当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105. 所以两次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398，所以7.6级地震的最大振幅大约是5级地震最大振幅的398倍． 【感悟提升】对数型函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 【跟踪训练】 2．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解：(1)由题意得，当0≤x≤8时，y＝0.15x； 当x>8时，y＝1.2＋log5(2x－15)． ∴奖金y关于销售利润x的关系式为 y＝ (2)由题意，得1.2＋log5(2x－15)＝3.2， 解得x＝20， 故小江的销售利润是20万元． 题型三　幂函数模型的应用　 　在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R(单位：cm3/s)与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比． (1)写出流量速率R与管道半径r的函数解析式； (2)若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求气体通过半径为r的管道时，其流量速率R的表达式； (3)若已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率(精确到0.1 cm3/s)． [解]　(1)由题意可得流量速率R与管道半径r的函数解析式为R＝kr4(k>0)． (2)当r＝3，R＝400时，则k＝＝， 所以流量速率R的表达式为R＝r4. (3)当气体通过的管道半径r＝5 cm时，该气体的流量速率为R＝×54＝≈3086.4 cm3/s. 【感悟提升】幂函数模型的常见题型及解法 常见题型：一是给出含参数的函数关系式；二是根据题意直接列出相应的关系式．幂函数的应用题大多可与指数函数的应用题相互转化，因为在y＝(1＋a)b中，如果a是已知的，b是待求的，那么此问题是指数函数问题；如果b是已知的，a是待求的，那么此问题是幂函数问题． 【跟踪训练】 3．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元． (1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函数关系式； (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？ 解：(1)设两类产品的收益与投资额x的函数关系式分别为f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0)， 结合已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2， 所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得，获得收益 y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)， 令t＝(0≤t≤2)，则x＝20－t2， 所以y＝＋＝－(t－2)2＋3， 所以当t＝2，即x＝16时，y取得最大值，ymax＝3. 故当投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时，可使投资获得最大收益，最大收益是3万元． 1．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过(　　) A．12小时 B．4小时 C．3小时 D．2小时 答案：C 解析：设共分裂了x次，则有2x＝4096，∴x＝12，又每次为15分钟，∴共需15×12＝180分钟，即3小时． 2．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10%，那么经过y年后可增长到原来的x倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　) 答案：B 解析：设原来的蓄积量为a，则a(1＋10%)y＝a·x，∴y＝log1.1x.故选B. 3．(多选)某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4 min后，测得车库内的一氧化碳浓度为64 μL/L，继续排气4 min，又测得浓度为32 μL/L，经检测知该地下车库一氧化碳浓度y(单位：μL/L)与排气时间t(单位：min)存在函数关系：y＝c(c，m为常数)．若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5 μL/L为正常，则为使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态，可以排气的时间为(　　) A．30 min B．31 min C．32 min D．33 min 答案：CD 解析：由题意，得方程组解得所以y＝128×.由128×≤0.5，得≤，即t≥8，解得t≥32，所以至少排气32 min，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．故选CD. 4．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示时间为中午12：00，其后t取值为正，则上午8：00的温度是________． 答案：8 ℃ 解析：由12：00时，t＝0，且12：00以后t为正值，可知12：00以前t为负值，即上午8：00时有t＝－4，故T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8 ℃. 5．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足：L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为________．(≈1.585) 答案：0.6 解析：由L＝5＋lg V，L＝4.8，得4.8＝5＋lg V，即lg V＝－0.2，解得V＝10－0.2＝＝≈≈0.6，所以其视力的小数记录法的数据约为0.6. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 对数函数模型的应用 增长型指数函数模型的应用 幂函数模型的应用 增长型指数函数模型的应用 对数函数模型的应用 增长型指数函数模型的应用 衰减型指数函数模型的应用 对数函数模型的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ 对点 增长型指数函数模型的应用 对数函数模型的应用 增长型指数函数模型的应用 分段函数(二次函数、对数型函数)模型的应用 对数函数模型的应用 幂函数模型的应用 衰减型指数函数模型的应用 对数函数模型的应用 一、单选题 1．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，则第七年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C．500只 D．600只 答案：A 解析：当x＝1时，y＝100，∴a＝100，∴当x＝7时，y＝100×log28＝300. 2．某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为(　　) A. B. C.－1 D.－1 答案：D 解析：设1月份产值为a，月平均增长率为x，则有a(1＋x)11＝ma，∴x＝－1. 3．已知某公司工人生产第n件产品的时间t(n)(单位：小时)与n大致服从的关系为t(n)＝ (t0，N0为常数)．若第4件产品的生产时间为6小时，第9件和第10件产品的生产时间均为4小时，则第8件产品的生产时间为(　　) A．4小时 B．5小时 C．3小时 D．4小时 答案：C 解析：因为第9件和第10件产品的生产时间均为4小时，则N0≤9.因为第4件产品的生产时间为6小时，则＝6，解得t0＝12，由第9件和第10件产品的生产时间均为4小时，得＝4，解得N0＝9，所以t(n)＝所以当n＝8时，t(8)＝＝3.故选C. 4．已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数m(t)＝a·2kt，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后用户数为(　　) A．10000 B．8000 C．4000 D．3500 答案：B 解析：由题意，得解得所以m(10)＝a·210k＝a·(25k)2＝8000.故选B. 5．点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系式为ΔL＝10lg (单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从10米变化到40米时，衰减量的增加值约为(　　) A．9 dB B．12 dB C．15 dB D．18 dB 答案：B 解析：当r＝10时，ΔL1＝10lg 25π，当r＝40时，ΔL2＝10lg 400π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 400π－10lg 25π＝40lg 2＝40(lg 10－lg 5)≈40×(1－0.7)＝12.故选B. 二、多选题 6.某池塘中的浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系：y＝at的图象如图所示．则下列说法正确的是(　　) A．第5个月时浮萍面积就会超过30 m2 B．浮萍从4 m2蔓延到12 m2要经过1.5个月 C．浮萍每月增加的面积相等 D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 答案：AD 解析：把点(1，2)代入y＝at，得a＝2，∴y＝2t.当t＝5时，y＝25＝32，∴A正确；由题图知，当t＝2时，y＝4，由2t＝12，得t＝log212，而log212－2≠1.5，∴B不正确；1月到2月浮萍面积增加2 m2，2月到3月浮萍面积增加4 m2，∴C不正确；∵2t2＝3，∴t2＝log23，∵2t3＝6，∴t3＝log26，又t1＝1，∴t1＋t2＝1＋log23＝log26＝t3，∴D正确．故选AD. 7．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14的含量为y(把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位)，则下列叙述正确的是(　　) A．函数解析式为y＝，x∈[0，＋∞) B．碳14的年衰减率为 C．经过九个“半衰期”后，碳14的含量不足死亡前的千分之一 D．在2024年，某遗址检测出碳14的残留量为55.2%，则该遗址大概是公元前2888年建成的 答案：AD 解析：对于A，因为机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，所以x年后机体内的碳14应为原来的，所以函数解析式为y＝1×＝，x∈[0，＋∞)，故A正确；对于B，设每年的衰减率为k，原来的碳14含量为A，则有A－A(1－k)5730＝，即(1－k)5730＝，解得k＝1－，故B错误；对于C，经过九个“半衰期”后，y＝＝＝>，故C错误；对于D，因为碳14的残留量为55.2%，所以55.2%＝，即log0.552＝≈，解得x≈4912，由4912－2024＝2888，可知该遗址大概是公元前2888年建成的，故D正确．故选AD. 三、填空题 8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)、火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)之间的函数关系是v＝2000ln .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 答案：e6－1 解析：设M＝tm，则有2000ln (1＋t)＝12000，即ln (1＋t)＝6，解得t＝e6－1. 9．某产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的关系式为y＝2＋4x，若每台产品的售价为8万元，且当产量为6台时，生产者可获得的利润为16万元，则m＝________． 答案：3 解析：当产量为6台时，总成本为y＝2＋24万元，则生产者可获得的利润为6×8－(2＋24)＝16，解得m＝3. 10．已知土壤中某药品的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝alog2(a≠0)，其中a是残留系数，则大约经过________年后，土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.(≈1.414，结果精确到0.1) 答案：7.5 解析：当t＝2时，y＝alog2＝2a，由alog2＝a，得t＝6－1≈7.5. 11．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t(单位：小时)表示时间，y表示繁殖后细菌的总个数，则k＝________；经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________． 答案：2ln 2　1024 解析：当t＝0时，y＝1，∴当t＝时，y＝2，即2＝ek，∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1024. 四、解答题 12．某公司设计了某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备．已知购买该新型设备需要3万元，之后每生产x万件产品，还需另外投入原料费及其他费用f(x)万元，产量不同其费用也不同，且f(x)＝已知每件产品的售价为8元，且生产的该产品可以全部卖出． (1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式； (2)该产品年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？其最大利润为多少万元？ 解：(1)当0＜x＜10时，W(x)＝8x－x2－3＝－x2＋8x－3； 当x≥10时，W(x)＝8x－(9x＋lg x－41)－3＝－x－lg x＋38. 故W(x)＝ (2)当0＜x＜10时，W(x)＝－x2＋8x－3＝－(x－8)2＋29， 所以当x＝8时，W(x)取得最大值，为29； 当x≥10时，W(x)＝－x－lg x＋38，此时W(x)单调递减， 所以当x＝10时，W(x)取得最大值，为27. 综上，当该产品年产量为8万件时，年利润最大，最大利润为29万元． 13．已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为L＝32.4＋20(lg D＋lg F)，其中D为传输距离(单位：km)，F为载波频率(单位：MHz)，L为传输损耗(单位：dB)．若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60 dB，则传输距离变为原来的(　　) A．100倍 B．50倍 C．10倍 D．5倍 答案：C 解析：设L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，则L′＝L＋60，F′＝100F，60＝L′－L＝20lg D′＋20lg F′－20lg D－20lg F＝20lg ＋20lg ，则20lg ＝60－20lg ＝60－40＝20，即lg ＝1，从而D′＝10D，故传输距离变为原来的10倍．故选C. 14．生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率f(单位：心跳次数·min－1)与体重W(单位：kg)的次方成反比．若A，B为两只睡眠中的恒温动物，A的体重为2 kg、脉搏率为210次·min－1，B的脉搏率是70次·min－1，则B的体重为________kg. 答案：54 解析：根据题意，设f＝(k>0)，当W＝2，f＝210时，k＝210×2，故f＝.当f＝70，则W＝＝3×2，所以W＝54. 15．一种药在病人血液中的量不少于1500 mg才有效，而低于500 mg病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，结果精确到0.1 h) 答案：2.3 解析：设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500×(1－20%)x＝1500，整理可得0.8x＝0.6，∴x＝log0.80.6，∵log0.80.6＝＝＝≈2.3，∴x≈2.3，即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药． 16．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30，31.2≈3.74，31.4≈4.66)． (1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？ (2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？ (3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 解：(1)由题意，x0＝2，x＝8100， 得v＝log3－lg 2≈1.7， 故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min. (2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0， 可得0＝log3－lg 5， 即log3＝2lg 5，解得x≈100×31.4≈466， 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． (3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2， 由题意得 两式相减，可得1＝log3，解得＝9， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 12 学科网（北京）股份有限公司 $