第6章 平面向量初步 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案Word（人教B版）

数学　必修 第二册 RJB 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．向量的线性运算方法 (1)向量的加法 ①三角形法则：首尾相连； ②平行四边形法则：共始点； ③坐标运算：对应坐标相加，满足交换律、结合律． (2)向量的减法 ①三角形法则：共始点，指向被减向量； ②相反向量：可以通过相反向量，把向量的减法化为加法； ③引入点O，逆用向量减法的三角形法则，将各向量始点统一； ④坐标运算：对应坐标相减． (3)数乘向量 ①几何运算； ②代数运算； ③运算律满足分配律； ④坐标运算：结果依然是向量． (4)平面向量基本定理 ①基底化：找出平面内两个不共线的向量组成基底，从而表示该平面内任一向量； ②坐标化：选取合适的原点建立平面直角坐标系表示平面内各点的坐标，进而表示向量的坐标． 2．向量的应用 (1)在平面几何中的应用． (2)在物理中的应用． 一、平面向量及其线性运算 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的基本原则和求解策略如下： (1)基本原则：向量线性运算的结果仍为向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． (2)求解策略：①向量的线性运算类似于多项式的运算，多项式运算中的一些常用的变形手段，如去括号、移项、合并同类项、提取公因式等在向量的线性运算中同样适用；②向量是一个“有形”的几何量，在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧． 如图，已知四边形ABCD是梯形，AB∥CD，E，F，G，H分别是AD，BC，AB，CD的中点，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ [解析]　如图，连接BD交EF于点M，连接MH，MG，则四边形AEMG和四边形MFCH都是平行四边形，所以＝，＝＝．则有＝＋＝＋．故选C． [答案]　C 化简下列各式： (1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)； (2)． [解]　(1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b＝－(a＋b)． (2)原式＝ ＝ ＝ ＝a－b． 如图所示，在ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，且＝a，＝b，试用向量a，b表示向量，，，． [解]　＝－＝b－b＝b， ＝＋＝a＋b． ＝－＝b－＝－a－b． ＝＋＝a＋b． ＝＋＝－a－b＋b＝－a＋b． 所以＝a＋b，＝－a－b， ＝a＋b，＝－a＋b． 二、平面向量基本定理与向量的坐标 平面向量基本定理的引入为向量的加、减、数乘的坐标运算提供了有力的理论依据，利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底，常与待定系数法、方程思想紧密联系在一起解决问题． 向量的坐标表示实际上是向量的代数表示，是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题． 设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋b与2a＋kb共线，求实数k的值． [解]　∵向量ka＋b与2a＋kb共线， ∴存在实数λ使ka＋b＝λ(2a＋kb)， 即(k－2λ)a＝(kλ－1)b． ∵a，b不共线，∴⇒k2＝2， ∴k＝±． 如图，在△ABC中，已知＝2，＝，＝a，＝b． (1)若＝3，证明：A，F，E三点共线； (2)若AE，BD交于点F，求的值． [解]　(1)证明：因为＝2，＝， 所以＝b，＝(b－a)， 又＝3，所以＝＝(－)＝＝b－a， 因为＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b，＝＋＝a＋b－a＝a＋b， 所以＝，又，有公共点A， 所以A，F，E三点共线． (2)设＝λ，则＝a＋λ＝a＋λ(－)＝(1－λ)a＋b， 由(1)知＝a＋b， 由题意，知A，F，E三点共线， 设＝μ， 则(1－λ)a＋b＝μ＝a＋b， 因为a，b不共线，所以解得 所以＝，所以＝． 已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)． (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值． [解]　(1)设B(x1，y1)． ∵＝(4，3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)， ∴解得∴B(3，1)． 同理得D(－4，－3)． 设线段BD的中点M(x2，y2)， 则x2＝＝－，y2＝＝－1， ∴M． (2)由(1)及题意，知＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． ∵＝λ， ∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)， ∴解得 三、平面向量线性运算的应用 利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算来解决问题的． 用向量法证明三角形的三条中线交于一点． [证明]　如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点， 令＝a，＝b为基底， 则＝a－b，＝a－b， ＝－a＋b， 设AD与BE交于点G，且＝λ，＝μ， 则有＝λa－b，＝－a＋μb． 又有＝＋＝a＋(μ－1)b， ∴解得λ＝μ＝． ∴＝a－b，＝＋＝－a＋a－b＝－a－b＝×(－a－b)． 而＝(－a－b)，∴＝． ∴点G在CF上，∴AD，BE，CF交于一点G， 即三角形的三条中线交于一点． 如图，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝120°，＝(－1，)． (1)求点B，C的坐标； (2)求证：四边形OABC为等腰梯形． [解]　(1)如图，连接OB，设B(xB，yB)， 则xB＝||＋||cos60°＝， yB＝||sin60°＝， ∴＝＋＝＋(－1，)＝， ∴B，C． (2)证明：∵＝，＝， ∴＝3，∴∥． 又易知OA与BC不平行，||＝||＝2， ∴四边形OABC为等腰梯形． 如图1所示，有两个定滑轮A和B，一个动滑轮O，定滑轮两侧各挂了相同质量的重物，动滑轮下方施加一个竖直向下的力，当θ＝60°时，动滑轮受力如图2所示，设||＝||＝||，求＋＋． [解]　根据题意，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB， 由向量加法的平行四边形法则， 知＋＝， 又||＝||，∠AOB＝120°， 则||＝||，且∠BOD＝60°， 又由∠BOC＝120°且||＝||， 则＝－， 故有＋＋＝＋＝0． 8 学科网（北京）股份有限公司 $