4.2.2对数运算法则（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.2对数运算法则 4.2对数与对数函数 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解对数积、商、幂三条运算法则的推导依据（依托指数运算法则与对数定义）a>0,a≠1，M>0,N>0记住法则成掌握对数运算法则a>0,a≠1，M>0,N>0能进行对数式的化简、求值；理解换底公式a>0,a≠1，M>0,N>0会把一般对数转化为常用对数、自然对数进行计算a>0,a≠1，M>0,N>0会用简单推论。 能辨析常见易错形式（如 重点：对数积、商、幂运算法则及换底公式的应用 难点：法则的证明、公式成立条件、换底公式灵活变形 复习设问 上一节我们学习了对数的定义：若=N(a>0,a≠0,a≠1)a>0,a≠1，M>0,N>0则a>0,a≠1，M>0,N>0指数式和对数式可以互化。 指数有一套成熟的运算法则： 对数是指数的逆运算a>0,a≠1，M>0,N>0对数有没有对应的运算规律？ 猜想：是不是等于？我们用具体数字试一试a>0,a≠1，M>0,N>0再严格证明a>0,a≠1，M>0,N>0今天研究对数运算法则。 数学史情境 16世纪天文学、航海有大量大数乘法除法直接计算十分繁琐。纳皮尔发明对数核心目的就是化乘除为加减降低计算难度。 问题：为什么对数可以把乘法变成加法？它背后有什么运算规律？ 今天我们从指数与对数的互逆关系出发推导对数的运算法则揭开对数简化运算的秘密。 目标一：运算法则 法则一 知识讲解 互动探究 新课引入 对数运算可以看作指数运算的逆运算，若=M，=N，利用指数与对数的互化，你能推出吗？ 提示 由，得，，得。由得。从而得出。 推广： 即正因数积的对数等于同一底数的各正因数对数的和。 6 法则二 知识讲解 互动探究 新课引入 若，，则，你能得到吗？ 提示 由，，得，，将指数式化为对数式，得。 7 法则三 知识讲解 互动探究 新课引入 若，则，你能得到吗？ 提示 由，得，又由，得。 特别地，。 8 特别提醒 ①利用对数的运算性质时，要注意公式成立的前提条件：a>0,a≠1,M>0,N>0。如是存在的，但均不存在，故不能写成。 ②能用语言准确叙述对数的运算性质：a. 积(MN)的对数等于对数的和；b. 商()的对数等于对数的差[分子(M)的对数与分母(N)的对数的差]；c. 幂()的对数等于幂底数(N)的对数与幂指数(n)的乘积。 ③要牢记对数的运算法则，避免出现下列错误： 1.若 ,且 ,,,给出下列各式： ①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦； ⑧。 其中式子成立的个数为( )。 A.3 B.4 C.5 D.6 对点体验 解 ①不成立,如取 ,则 ,而 ; ②不成立,如取 ,则 ,而 ; ③不成立,如取 ,则 ,而 ; 2, 而 ; ⑤不成立,如取 ,则 ,而 ; ⑥成立,; ⑦成立,; ⑧成立,设 ,则 ,即 , ,即 。 答 A 指数与对数的运算性质对比表 式子 运算性质 ，， ，， 2.求下列各式的值： (1) ； (2) ； 对点体验 解 (1) 原式 ； (2) 原式 。 3. 对点体验 解 原式 。 4. 解析 因为 ， 所以 。 5.（1）计算： A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 已知 ，，则 A. B. C. D. 对点体验 解析 (2) 。 (3) 由已知，。 特别提醒 利用对数运算法则化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用运算法则，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行。 (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)。 目标二：换底公式 特例铺路 知识讲解 互动探究 新课引入 假设 ，则 ，即 ， ，由指数和对数的互化可得 ，。 如果 ，等式还成立吗？ 提示 成立，推导如下： 由 ，则 ， 即 ， ，由指数和对数的互化可得 ， 。 17 一般情形 知识讲解 互动探究 新课引入 假设 ，我们会得到什么样的式子呢？你能写出它的推导过程吗？ 提示 将公式进行推广， 可得 ， 推导如下： 由 ，则 ，即 ， ，由指数和对数的互化可得 ，。 18 解读换底公式 知识讲解 互动探究 新课引入 ①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若 M>0,N>0,M=N，。 ②换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底数问题转化为同底数问题，从而进行化简、计算和证明。 ③换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数。 19 解读换底公式 知识讲解 互动探究 新课引入 换底公式的作用 换底公式的作用在于把不同底的对数化成同底的对数，特别地，。 几个特殊的对数换底公式 (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 20 化简并计算： 。 对点体验 答 原式 。 点评 本题考查对数运算及化简求值，解题的关键是先利用对数换底公式统一底数，再进行化简求值。 已知 ，求 的值（用含 的式子表示） 对点体验 答 方法一：， 。 于是 。 方法二：。 于是 。 已知 ，求 的值（用含 的式子表示） 对点体验 方法三：。 又 。 令 ，则 ， 即 ，即 。 ， ， ，即 。 点评 认真研究后不难发现本题还有其他解法。这里的方法一、方法二是把指数式 改写成对数式，再把所求对数通过换底公式换成和它同底的对数，以便利用已知条件和对数的性质求值。方法三是把对数式 log_18 9=a 改写成指数式 ，利用已知条件及指数性质来求解。 目标三：针对训练 举一反三 1.已知 ，，则 A. B. C. D. 解析 因为 ， 所以 。 举一反三 2.设 ，则 A.2 B.4 C.8 D. 或 解析 由 ， 可得 ， 即 ，所以 。 3.设 ，求 的值； 解 法一 由 ， 得 ，， 由换底公式得 ，， 。 法二 由 ， 两边取以 6 为底数的对数，得 ， ，，。 举一反三 4.已知 ，且 ，求 。 解 令 ， ，，， ，，， 由 ，得 ， ， ，，。 举一反三 5.已知 ，且 ，则实数 的值为 A.6 B.9 C.12 D.18 解析 ， ，， ，。 ， ，。 6.若 ，则 等于 A.9 B. C.25 D. 解析 由题意得 ， 所以 ， 所以 。 举一反三 7.若 是方程 的两个实根，则 的值为 A.2 B. C.100 D. 解析 是方程 的两个实根， 由根与系数的关系得 ，。 8. (多选)下列运算正确的是 A. B. C. D. 举一反三 解析 对于 A，，A 错误； 对于 B，，B 错误； 对于 C，，C 正确； 对于 D，，D 正确。 目标四：小结 学海拾贝 本节课核心公式 （注意前提：a>0,a，M>0,N>0） 换底公式：常用推论。 学海拾贝 思想主线： 指数、对数互化a>0,a≠1，M>0,N>0对数运算本质是指数运算的逆表达；遇到陌生对数a>0,a≠1，M>0,N>0可借助指数定义设元证明。 易错提醒： 运算法则只对正数的积、商、幂成立；M、N必须大于0； ，M>0,N>0不能随意拆分加减；换底公式可以自选底数一般选10或e方便计算器求值。 学海拾贝 用途： 对数运算法则用来化简对数式、求值a>0,a≠1，M>0,N>0也是后续对数函数学习、对数方程的基础。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $