3.1.2 第2课时 函数的平均变化率-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 第2课时　函数的平均变化率 (教师独具内容) 课程标准：1.了解函数平均变化率的几何意义.2.理解函数递增和递减的充要条件，并能够运用函数递增和递减的充要条件判断函数的单调性． 教学重点：函数递增和递减的充要条件． 教学难点：运用函数递增和递减的充要条件证明函数的增减性． 核心素养：1.通过学习函数平均变化率的概念培养数学抽象素养.2.通过利用函数的平均变化率证明函数的单调性培养逻辑推理素养． 知识点一　直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在． 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为． 知识点二　函数平均变化率的定义 一般地，当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1<x2时)或[x2，x1](x1>x2时)上的平均变化率． 知识点三　函数递增和递减的充要条件 一般地，若区间I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则： (1)y＝f(x)在区间I上是增函数的充要条件是>0在区间I上恒成立； (2)y＝f(x)在区间I上是减函数的充要条件是<0在区间I上恒成立． 1．(函数递增、递减的充要条件)函数递增的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都________0，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都________0. 答案：大于　小于 2．(函数的平均变化率)函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝，③f(x)＝|x|，④f(x)＝2x＋1中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有<0的是________． 答案：② 3．(利用函数的单调性求最值)函数f(x)＝－x2－2x的最大值是________． 答案：1 题型一　直线的斜率公式及应用 　已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)．当m为何值时，直线l的斜率是1? [解]　因为直线l的斜率是1， 所以＝1，即＝1，解得m＝. 故当m＝时，直线l的斜率是1. 【感悟提升】　利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 【跟踪训练】　 1．已知A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)三点在同一条直线上，求实数a的值． 解：因为A，B，C三点共线，且3≠－2， 所以直线BC，AB的斜率都存在，且kAB＝kBC. 又因为kAB＝＝，kBC＝＝. 所以＝，解得a＝2或a＝. 故实数a的值为2或. 题型二　求函数的平均变化率　 　求函数f(x)＝2x2＋1在区间上的平均变化率． [解]　因为Δy＝f－f(1)＝2×＋1－2×12－1＝，Δx＝－1＝，所以函数f(x)＝2x2＋1在区间上的平均变化率＝＝5. 【感悟提升】　求函数的平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求函数y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的主要步骤是： 【跟踪训练】　 2．(1)如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．－2 答案：C 解析：根据函数平均变化率的定义，可知＝＝a＝3. (2)已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2 答案：C 解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx. 题型三　函数平均变化率的应用　 角度　证明函数的单调性 　证明函数f(x)＝(x>0)在(0，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，并求这个函数的最值． [解]　设x1≠x2， 则＝＝ ＝. 当x1，x2∈(0，1]时，有1－x1x2>0， 从而>0， 因此f(x)在(0，1]上是增函数． 当x1，x2∈[1，＋∞)时，有1－x1x2<0，从而<0， 因此f(x)在[1，＋∞)上是减函数． 由函数的单调性可知，函数没有最小值； 当x∈(0，1]时，f(x)≤f(1)，当x∈[1，＋∞)时，f(x)≤f(1)． 因此f(1)＝是函数的最大值． 【感悟提升】　 1．利用函数递增(递减)的充要条件证明单调性的步骤 (1)设任意x1，x2∈I⊆定义域，且x1≠x2； (2)计算； (3)判定与0的关系； (4)依据充要条件得结论． 2．函数的最值与单调性的关系 (1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)； (2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)； (3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值； (4)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的； (5)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者变化趋势． 【跟踪训练】　 3．判断函数f(x)＝在区间[2，6]上的单调性，并求函数在该区间上的最值． 解：设x1≠x2，则＝ ＝＝. 当x1，x2∈[2，6]时，有x2－1>0，x1－1>0， 从而<0，因此f(x)在区间[2，6]上是减函数． 由函数的单调性可知，函数f(x)＝在区间[2，6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值， 即当x＝2时取得最大值，最大值是2； 当x＝6时取得最小值，最小值是. 角度　解决与变化快慢有关的问题 　向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可以是(　　) [解析]　由函数图象可知，固定的Δh内，随着h的增大，ΔV逐渐减少，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B. [答案]　B 【感悟提升】　解决这类问题的关键是要弄清随着自变量的改变，函数平均变化率的变化情况，然后由函数平均变化率的变化情况确定容器的形状． 【跟踪训练】　 4.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时缸内水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的(　　) 答案：B 解析：由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得越来越快，后减少得越来越慢．故选B. 1．在函数平均变化率的定义中，Δx应满足(　　) A．Δx>0 B．Δx<0 C．Δx≠0 D．Δx＝0 答案：C 解析：由函数平均变化率的定义，知Δx≠0.故选C. 2．函数f(x)＝1－x2在区间[0，2]上的平均变化率为(　　) A．－3 B．－4 C．2 D．－2 答案：D 解析：函数f(x)＝1－x2在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝－2. 3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是(　　) 答案：A 解析：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t的增大而增大，故排除C，D；因为汽车在加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.故选A. 4．在x＝1附近取Δx＝0.3，在下列四个函数：①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________，平均变化率最小的是________(填序号)． 答案：③　④ 解析：∵①的平均变化率k1＝＝1，②的平均变化率k2＝＝2.3，③的平均变化率k3＝＝3.99，④的平均变化率k4＝≈－0.77，∴k3>k2>k1>k4.∴平均变化率最大的是③，平均变化率最小的是④. 5．已知函数y＝2x2＋4x，x∈(－∞，－1]，因为当x∈(－∞，－1]时，________0，所以函数y＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是________函数． 答案：<　减 解析：设x1≠x2，则＝＝2(x1＋x2)＋4.当x1，x2∈(－∞，－1]时，有x1＋x2<－2，2(x1＋x2)<－4，从而<0，因此函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 直线的斜率公式　 函数的平均变化率 实际问题中函数的平均变化率 利用函数的单调性求最值 解决与变化快慢有关的问题——函数图象的识别 同一函数在不同区间上的平均变化率 不同函数在同一区间上的平均变化率的比较 利用函数图象求平均变化率 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用函数的单调性求最值 利用函数的单调性求参数范围 利用函数的平均变化率证明函数的单调性 解决与变化快慢有关的问题——决策问题 解决与变化快慢有关的问题——容器模型问题 利用分段函数的单调性求参数范围 解决与变化快慢有关的问题——描述生活现象 函数单调性的证明及应用 一、单选题 1．已知函数f(x)＝x2＋4图象上的两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(　　) A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1 答案：B 解析：∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴kAB＝＝＝2.3.故选B. 2．函数f(x)＝在区间上的平均变化率为(　　) A．2 B. C. D. 答案：B 解析：函数f(x)＝在区间上的平均变化率为＝＝.故选B. 3．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则在3≤t≤3.3这段时间里，质点运动的平均速度为(　　) A．6.3 B．36.3 C．3.3 D．9.3 答案：A 解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89，平均速度v＝＝＝6.3.故选A. 4．函数f(x)＝，x∈[2，9]的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：任取x1，x2∈[2，9]，且x1≠x2，f(x2)－f(x1)＝－＝－＝.所以＝＝.因为x1，x2∈[2，9]，所以(x1＋1)(x2＋1)>0，所以>0，所以函数f(x)在区间[2，9]上是增函数．故函数f(x)在区间[2，9]上的最大值为f(9)＝＝. 5．如图，正方形ABCD的顶点A，B，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是(　　) 答案：C 解析：判断S＝f(t)的图象，可用观察法，直线l在运动到点B之前，左侧面积增大的速度越来越快，而过了点B之后，左侧面积增大的速度越来越慢，而速度的快、慢反映在图象上是陡、缓．故选C. 二、多选题 6．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)在区间[1，7]上的平均变化率情况是(　　) A．在区间[1，2]上的平均变化率最小 B．在区间[2，3]上的平均变化率大于0 C．在区间[3，4]上的平均变化率比[2，3]上的大 D．在区间[4，7]上的平均变化率最大 答案：BC 解析：函数f(x)在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间[4，7]上，<0，即函数f(x)在区间[4，7]上的平均变化率小于0；在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]上，>0且Δx相同，由图象可知函数在区间[3，4]上的最大．故选BC. 7．已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2－ax，对于不相等的两实数x1，x2，设m＝，n＝，则下列说法正确的是(　　) A．对于不相等的两实数x1，x2，都有m>0 B．对于任意实数a及不相等的两实数x1，x2，都有n>0 C．对于任意实数a及不相等的两实数x1，x2，都有m＝n D．对于任意不相等的两实数x1，x2，存在实数a，使得m＝n 答案：AD 解析：因为x1≠x2，则m＝＝＝2>0，A正确；由二次函数的单调性可得g(x)在上单调递减，在上单调递增，可取x1＝0，x2＝a(a≠0)，则n＝＝＝＝0，B错误；m＝2，n＝＝＝＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，即对任意不相等的两实数x1，x2，存在a＝x1＋x2－2，使得m＝n，D正确．故选AD. 三、填空题 8.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率为________． 答案：－1 解析：由函数平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率＝＝＝－1. 9．函数f(x)＝x2＋在x∈[1，2]上的最大值是________，最小值是________． 答案：　2 解析：设x1≠x2，则＝＝＝＝(x1＋x2)－，由x1，x2∈[1，2]，得2<x1＋x2<4，1<x1x2<4，－1<－<－.所以(x1＋x2)－>0，即>0.所以f(x)在[1，2]上单调递增，故当x＝1时，f(x)min＝2；当x＝2时，f(x)max＝. 10．若函数f(x)＝－x3＋ax在(0，1)上是增函数，则实数a的取值范围是________． 答案：[3，＋∞) 解析：任取x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2， 则＝ ＝ ＝ ＝＝a－(x＋x1x2＋x)．因为f(x)＝－x3＋ax在(0，1)上是增函数，所以>0，即a>x＋x1x2＋x.又x1，x2∈(0，1)，所以x＋x1x2＋x<3，所以a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞)． 四、解答题 11．证明：函数f(x)＝＋x是增函数． 证明：设x1≠x2， 则＝＝. ∵函数f(x)的定义域为[0，＋∞)， ∴＝＋1. ∵x1，x2∈[0，＋∞)，∴>0. ∴函数f(x)＝＋x是增函数． 12．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，试指出哪一个厂治污效果较好？ 解：在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)， 但> ， 即< ， 所以在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小， 所以乙厂治污效果较好． 13.向一杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是(　　) 答案：A 解析：函数图象的走势是稍陡、陡、平，水面高度的变化与所给容器的粗细有关，容器应下粗上细且上、下两部分均为柱体，水面上升速度是匀速的，故选A. 14．若函数f(x)＝满足对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有<0成立，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：根据题意可知，函数f(x)在R上单调递减，所以需满足解得<m≤1，即实数m的取值范围为.故选A. 15．很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．若已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系式为V(r)＝πr3，从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 解：将半径r表示为体积V的函数，得r(V)＝. 当空气容量V从0 L增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)． 类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)． 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，即随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢． 16．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝2，证明f(x)在(－∞，2)上单调递减； (2)若a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围． 解：(1)证明：当a＝2时，f(x)＝. 设x1≠x2， 则＝＝ ＝. 当x1，x2∈(－∞，2)时， 有x1－2<0，x2－2<0， ∴<0. ∴f(x)在(－∞，2)上单调递减． (2)设x1≠x2，则＝ ＝＝. ∵a>0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减， ∴(x2－a)(x1－a)>0在(1，＋∞)上恒成立． ∴a≤1. ∴实数a的取值范围为(0，1]． 13 学科网（北京）股份有限公司 $