第2章 等式与不不等式 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 第二章　单元质量测评 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ ★ 对点 一元一次方程的解集 一元二次不等式的解集　　 利用不等式的性质判断不等关系 分式不等式的解集 三元一次方程组的解集　　 二元二次方程组的解集　　 由一元二次不等式的解集求参数范围 均值不等式的综合问题　　 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 利用均值不等式求最值——拼凑法、直接法 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 利用不等式的性质判断命题的真假 绝对值不等式的解法、分式不等式的解法 两个“二次”之间的关系 利用均值不等式求最值——直接法、常数代换法 作差法比较大小　 方程组的解集、不等式的解集 利用均值不等式证明不等式、利用均值不等式求最值 两个“二次”之间的关系、利用均值不等式解决恒成立问题 一元二次不等式与均值不等式的实际应用 　时间：120分钟　　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．方程－＝1的解集为(　　) A．{－17} B．{17} C．{4} D．{1} 答案：A 解析：通分，得＝1，去分母，去括号，得3x－9－4x－2＝6，系数化为1，得x＝－17，即其解集为{－17}．故选A. 2．不等式14－5x－x2<0的解集为(　　) A．{x|－7<x<2} B．{x|x<－7或x>2} C．{x|x>2} D．{x|x<－7} 答案：B 解析：原不等式等价于x2＋5x－14>0，所以(x＋7)(x－2)>0，即x<－7或x>2.故选B. 3．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是(　　) A．ac2<bc2 B.< C.> D．a2>ab>b2 答案：D 解析：对于A，取c＝0，可知A错误；对于B，取a＝－2，b＝－1，此时>，故B错误；对于C，取a＝－2，b＝－1，此时<，故C错误；对于D，因为a<b<0，所以a2>ab，ab>b2，所以a2>ab>b2，故D正确． 4．不等式≥2的解集为(　　) A．[－1，0) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞) 答案：A 解析：原不等式变形为－2≥0，即≤0，所以x(1＋x)≤0且x≠0，解得－1≤x<0.所以原不等式的解集为[－1，0)．故选A. 5．方程组的解集为(　　) A．{(－12，16，18)} B．{(62，－12，14)} C．{(18，16，14)} D．{(14，16，18)} 答案：C 解析：由已知 先消去未知数x，由②得x＝y＋2，④ 把④分别代入①和③得到关于y和z的二元一次方程组为 整理得解得把y＝16代入④得x＝18，∴原方程组的解为即其解集为{(18，16，14)}．故选C. 6．方程组的解集为(　　) A．{(4，－2)} B．{(4，2)，(4，－2)} C．{(－2，4)} D．{(2，4)，(－2，4)} 答案：B 解析：由已知把①代入②整理得x2－2x－8＝0，即(x－4)(x＋2)＝0，∴x1＝4，x2＝－2，∵y2＝2x≥0，∴x2＝－2舍去，∴x＝4，把x＝4代入①得y1＝2，y2＝－2，∴方程组的解为或即其解集为{(4，2)，(4，－2)}．故选B. 7．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[－2，2] C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，2) 答案：B 解析：由题意知，x2＋mx＋1＝0的判别式Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.故选B. 8．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A．0 B．1 C. D．3 答案：B 解析：＝＝≤＝＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.故选B. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．在数轴上，A(x)，B(3)，且AB＝，则(　　) A．x＝或－ B．x＝－或 C．AB的中点C或C D．AB的中点C或C 答案：AC 解析：由题意AB＝|x－3|＝，所以x－3＝±，x＝或－，所以AB中点对应的数为＝或＝.故选AC. 10．下列命题中正确的是(　　) A．y＝x＋(x<1)的最大值是－1 B．y＝的最小值是2 C．y＝2－3x－(x>0)的最大值是2－4 D．y＝的最大值是2 答案：AC 解析：因为y＝x＋＝x－1＋＋1＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时，等号成立，所以A正确；因为y＝＝＋>2，取不到最小值2(等号取不到)，所以B，D错误；因为y＝2－3x－(x>0)＝2－≤2－4，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立，所以C正确．故选AC. 11．设a，b为正实数，则下列命题中的真命题是(　　) A．若a2－b2＝1，则a－b<1 B．若－＝1，则a－b<1 C．若|－|＝1，则|a－b|<1 D．若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1 答案：AD 解析：若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即(a＋1)·(a－1)＝b2，∵a＋1>a－1，∴a－1<b<a＋1，即a－b<1，∴A正确；若－＝1，可取a＝7，b＝，则a－b>1，∴B错误；若|－|＝1，则可取a＝9，b＝4，而|a－b|＝5>1，∴C错误；由|a3－b3|＝1，若a>b>0，则a3－b3＝1，即(a－1)(a2＋a＋1)＝b3，∵a2＋1＋a>b2，∴a－1<b，即a－b<1.若0<a<b，则b3－a3＝1，即(b－1)(b2＋1＋b)＝a3，∵b2＋1＋b>a2，∴b－1<a，即b－a<1，∴|a－b|<1，∴D正确．故选AD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知集合M＝{x∈R||x－1|≤2}，P＝，则M∩P＝________． 答案：{x∈Z|－1<x≤3} 解析：∵M＝{x∈R|－1≤x≤3}，P＝{x∈Z|－1<x≤4}，∴M∩P＝{x∈Z|－1<x≤3}． 13．若关于x的不等式tx2－6x＋t2<0的解集为(－∞，a)∪(1，＋∞)，则a的值为________． 答案：－3 解析：因为不等式tx2－6x＋t2<0的解集为(－∞，a)∪(1，＋∞)，所以关于x的方程tx2－6x＋t2＝0的两根为a，1，且t<0，由根与系数的关系，得所以a＝2或－3，又t＝a<0，所以a＝－3. 14．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20，则xy的最大值为________，＋的最小值为________． 答案：10　 解析：∵2x＋5y＝20，x>0，y>0，∴2x＋5y≥2，∴2≤20，即xy≤10，当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，∴xy的最大值为10.＋＝(2x＋5y)＝＝≥×(7＋2)＝，当且仅当x＝y且2x＋5y＝20时，等号成立，∴＋的最小值为. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知a>0，试比较a与的大小． 解：a－＝＝. 因为a>0，所以当a>1时，>0，有a>； 当a＝1时，＝0，有a＝； 当0<a<1时，<0，有a<. 综上，当a>1时，a>；当a＝1时，a＝； 当0<a<1时，a<. 16．(本小题满分15分)求下列方程组或不等式的解集： (1) (2) (3)≥0； (4)x2－(2＋c)x＋2c<0(c为常数)． 解：(1)由已知 将①代入②得2x2＋5x＋2＝0， 解得x1＝－，x2＝－2， 将所得x值代入①有或 即所求方程组的解集为. (2)由已知 由①＋②×2得x2＋2xy＋y2＝49. 所以x＋y＝±7，将x，y看作m2－7m＋12＝0或m2＋7m＋12＝0的两解， 则m1＝3，m2＝4或m3＝－4，m4＝－3， 所以或或或 所求解集为{(3，4)，(4，3)，(－4，－3)，(－3，－4)}． (3)原不等式可化为 所以原不等式的解集为. (4)x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. ①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； ②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； ③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综上，当c>2时，所求解集为(2，c)； 当c＝2时，所求解集为∅； 当c<2时，所求解集为(c，2)． 17．(本小题满分15分)(1)已知a，b，c为不等正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋； (2)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求＋的最小值． 解：(1)证法一：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋. 故原不等式成立． 证法二：∵a，b，c为不等正数，且abc＝1， ∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋. 故原不等式成立． (2)＋＝a2＋b2＋＋＋4＝(a2＋b2)＋4＝[(a＋b)2－2ab]·＋4＝(1－2ab)＋4， 由a＋b＝1，得ab≤＝，所以1－2ab≥1－＝，且≥16， 所以＋≥×(1＋16)＋4＝， 所以＋的最小值为. 18．(本小题满分17分)若关于x的不等式x2－mx－n<0的解集是{x|－1<x<2}． (1)求不等式－nx2＋mx＋1>0的解集； (2)已知两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y≥a2－2a恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为不等式x2－mx－n<0的解集是{x|－1<x<2}， 所以x1＝2，x2＝－1是方程x2－mx－n＝0的两个根，所以m＝2＋(－1)，－n＝2×(－1)，即m＝1，n＝2. 则所求不等式为－2x2＋x＋1>0， 即2x2－x－1<0， 解得－<x<1. 所以所求不等式的解集为. (2)因为x＋2y≥a2－2a恒成立， 所以(x＋2y)min≥a2－2a， 因为＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当x＝y，即x＝y＝3时等号成立， 所以a2－2a≤9，解得－＋1≤a≤＋1， 即实数a的取值范围是[－＋1，＋1]． 19．(本小题满分17分)某建筑队在一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x米． (1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？ (2)长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？ 解：(1)依题意知△NDC∽△NAM， 所以＝， 即＝，则AD＝20－x. 故矩形ABCD的面积为S＝20x－x2. 根据条件0<x<30，要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米， 即S＝20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18. 故AB的长度应在12～18米内． (2)S＝20x－x2＝x(30－x) ≤＝150， 当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立． 此时AD＝20－x＝10. 故AB＝15米，AD＝10米时，学生公寓ABCD的面积最大，为150平方米． 9 学科网（北京）股份有限公司 $