2.2.3 一元二次不等式的解法-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案围绕一元二次不等式的解法展开，从实际情境抽象概念，衔接初中不等式知识，设置“想一想”辨析概念本质，通过因式分解法、配方法等例题，构建从不含参数到含参数、分式及逆向应用的梯度学习支架。 资料题型分类清晰，含参数问题培养逻辑推理能力，分层练习（基础、中档、拔高）适配不同学生，实际应用题（如汽车刹车距离）体现数学建模，助力学生提升数学抽象与运算素养，便于教师开展高效教学。

数学 必修 第一册RJB 2.2.3　一元二次不等式的解法 (教师独具内容) 课程标准：1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能求解一元二次不等式的解集，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 教学重点：1.一元二次不等式的概念.2.一元二次不等式的解法． 教学难点：一元二次不等式的解法． 核心素养：1.通过学习一元二次不等式的概念培养数学抽象素养.2.通过求一元二次不等式的解集培养数学运算素养． 知识点一　一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0．一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等． [想一想]　mx2－7x＋6<0是一元二次不等式吗？ 提示：不一定，当m＝0时，mx2－7x＋6<0为－7x＋6<0，是一元一次不等式；当m≠0时，mx2－7x＋6<0是一元二次不等式． 知识点二　一元二次不等式的解法 (1)因式分解法 一般地，如果x1<x2，则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)． (2)配方法 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集． [说明]　(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集． (2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧． 1．(配方法)(多选)下列四个不等式中解集为R的是(　　) A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋6>0 C．x2－2x＋3>0 D．2x2－3x＋4<1 答案：BC 2．(因式分解法)不等式－x2＋x＋2>0的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－1，2) D．(－2，－1) 答案：C 3．(因式分解法)设集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，则A∩B＝________． 答案： 4．(分式不等式)不等式>0的解集为________． 答案：∪(4，＋∞) 题型一　不含参数的一元二次不,等式的解法)　 　求下列不等式的解集： (1)2x2＋7x＋3>0；(2)x2－4x－5≤0； (3)x2－3x＋1≤0；(4)－4x2＋18x－≥0； (5)－x2＋3x－5>0；(6)－2x2＋3x－2<0. [解]　(1)原不等式可化为(2x＋1)(x＋3)>0， 因此原不等式的解集为(－∞，－3)∪. (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 因此原不等式的解集为[－1，5]． (3)原不等式可化为－≤0， 即≤， 两边开平方得≤， 从而－≤x－≤， 因此－≤x≤＋， 所以原不等式的解集为. (4)原不等式可化为≤0， 所以原不等式的解集为. (5)原不等式可化为x2－6x＋10<0，即(x－3)2＋1<0，因此原不等式的解集为∅. (6)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，即2＋>0，因此原不等式的解集为R. 【感悟提升】　解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 【跟踪训练】　 1．求下列不等式的解集： (1)3x2＋5x－2>0；(2)x2＋4x－3≥0； (3)－9x2＋6x－1<0；(4)x2－4x＋5>0； (5)2x2＋x＋1<0. 解：(1)原不等式可化为(3x－1)(x＋2)>0，所以原不等式的解集为(－∞，－2)∪. (2)原不等式可化为(x＋2)2≥7，两边开平方得|x＋2|≥，从而x＋2≥或x＋2≤－，因此x≥－2＋或x≤－2－，所以原不等式的解集为(－∞，－2－]∪[－2＋，＋∞)． (3)原不等式可化为(3x－1)2>0，所以原不等式的解集为∪. (4)原不等式可化为(x－2)2＋1>0， 所以原不等式的解集为R. (5)原不等式可化为2＋<0， 所以原不等式的解集为∅. 题型二　含参数的一元二次不等式的解法　 　求关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集． [解]　若a＝0，原不等式为－x＋1<0，解集为(1，＋∞)； 若a<0，原不等式可化为(x－1)>0，解集为∪(1，＋∞)； 若a>0，原不等式可化为(x－1)<0，(*) 其解的情况应由与1的大小关系决定，故 ①当a＝1时，由(*)式可得解集为∅； ②当a>1时，由(*)式可得解集为； ③当0<a<1时，由(*)式可得解集为. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为∪(1，＋∞)； 当a＝0时，原不等式的解集为(1，＋∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a>1时，原不等式的解集为. 【感悟提升】　含参数的一元二次不等式的解法 【跟踪训练】　 2．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0. 由a2－a＝a(a－1)可知， ①当a<0或a>1时，a2>a，解原不等式得x>a2或x<a，不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)； ②当0<a<1时，a2<a，解原不等式得x>a或x<a2，不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)； ③当a＝0时，原不等式为x2>0， ∴x≠0，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； ④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0， ∴x≠1，不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 综上可知， 当a<0或a>1时，原不等式的解集为(－∞，a)∪(a2，＋∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为(－∞，a2)∪(a，＋∞)； 当a＝0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a＝1时，原不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞)． 题型三　解简单的分式不等式　 　求下列不等式的解集： (1)≥0；(2)>1. [解]　(1)原不等式等价于 即⇒－2≤x<3. 所以原不等式的解集为[－2，3)． (2)解法一：不等式移项，得－1>0， 通分可得>0， 将其化为整式不等式为(－2x＋1)(x＋3)>0， 即(2x－1)(x＋3)<0. 解不等式，得－3<x<. 所以原不等式的解集为. 解法二：由题意，得x＋3≠0， 所以(x＋3)2>0. 原不等式两边同乘以(x＋3)2，得 (4－x)(x＋3)>(x＋3)2且x＋3≠0， 即(x＋3)(－2x＋1)>0， 所以(x＋3)(2x－1)<0. 解不等式，得－3<x<， 所以原不等式的解集为. 【感悟提升】　 (1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零． (2)分式不等式的四种形式及解题思路 ①>0⇔f(x)g(x)>0； ②<0⇔f(x)g(x)<0； ③≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0且g(x)≠0； ④≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0或f(x)＝0且g(x)≠0. (3)不等式与不等式组的同解关系 ①f(x)g(x)≥0⇔或 ②f(x)g(x)≤0⇔或 ③f(x)g(x)>0⇔或 ④f(x)g(x)<0⇔或 【跟踪训练】　 3．(1)不等式≥2的解集是(　　) A. B. C.∪(1，3] D.∪(1，3] 答案：D 解析：≥2⇔⇔所以原不等式的解集为∪(1，3]．故选D. (2)求不等式>1的解集． 解：原不等式可化为－1>0， 即<0， 等价于(3x－2)(4x－3)<0，所以<x<. 所以原不等式的解集为. 题型四　两个“二次”间的关系　 　(1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值为(　　) A．14 B．－10 C．10 D．－14 [解析]　由已知，得ax2＋bx＋2＝0的解为－，，且a<0.所以解得所以a＋b＝－14. [答案]　D (2)已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集． [解]　因为x2＋px＋q<0的解集为，所以x1＝－与x2＝是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根， 由根与系数的关系，得 解得所以不等式qx2＋px＋1>0 即为－x2＋x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3. 所以不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}． 【感悟提升】　一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c →代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． 【跟踪训练】　 4．(1)若x2＋qx＋p>0的解集是{x|2<x<4}，则pq＝(　　) A．－12 B．－10 C．－8 D．－6 答案：D 解析：由题意，得2＋4＝－＝－pq，所以pq＝－6.故选D. (2)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解：由题意知即 代入不等式cx2－bx＋a>0， 得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)， 即6x2＋5x＋1<0，解得－<x<－， 所以所求不等式的解集为. 1．关于x的不等式x2－x－10>2x的解集是(　　) A．{x|x≥5或x≤－2} B．{x|x>5或x<－2} C．{x|－2<x<5} D．{x|－2≤x≤5} 答案：B 解析：由x2－x－10>2x，得x2－3x－10>0，即(x－5)(x＋2)>0，解得x>5或x<－2，即原不等式的解集为{x|x>5或x<－2}． 2．(多选)下列不等式中，解集非空的是(　　) A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0 C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0 答案：ABC 解析：对于A，原不等式可化为>－，这个不等式恒成立，故原不等式的解集为R；对于B，原不等式可化为(x＋2)2>0，解得x>－2或x<－2，故原不等式的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)；对于C，原不等式可化为(x＋2)2<8，解得－2－2<x<2－2，故原不等式的解集为(－2－2，2－2)；对于D，原不等式可化为<－，无解，故原不等式的解集为空集．故选ABC. 3．若不等式－2x2＋bx＋1>0的解集为，则b，m的值分别是(　　) A．1，1 B．1，－1 C．－1，1 D．－1，－1 答案：A 解析：不等式－2x2＋bx＋1>0，即2x2－bx－1<0.由已知，得－，m是关于x的方程2x2－bx－1＝0的两根，则解得故选A. 4．不等式≥1的解集为________． 答案： 解析：因为≥1等价于≥0，所以≤0，等价于解得－4<x≤.所以所求不等式的解集为. 5．不等式1<x2－3x＋1<9－x的解集为________． 答案：(－2，0)∪(3，4) 解析：由x2－3x＋1>1，得x2－3x>0，x(x－3)>0，不等式的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)；由x2－3x＋1<9－x，得x2－2x－8<0，(x＋2)·(x－4)<0，不等式的解集为(－2，4)．又(－∞，0)∪(3，＋∞)与(－2，4)的交集为(－2，0)∪(3，4)，所以原不等式的解集为(－2，0)∪(3，4)． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 一元二次不等式的概念　　 不含参数的一元二次不等式的解法——因式分解法 分式不等式的解法——直接转化法 一元二次不等式与充分、必要条件相结合 由一元二次不等式的解集求参数范围 新定义一元二次不等式的解法——因式分解法 两个“二次”之间的关系 不含参数的一元二次不等式的解法——因式分解法 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ 对点 一元二次不等式与集合间的运算相结合、因式分解法、配方法 分式不等式的解法——因式分解法、分类讨论法 一元二次不等式(组)、分式不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法——分类讨论法 分式不等式的应用　 由一元二次不等式的解集情况求参数范围 含参数的一元二次不等式的解集及应用 一元二次不等式的实际应用 一、单选题 1．下列关于x的不等式中，一元二次不等式的个数为(　　) ①(m＋1)x2＞x；②－x2＋5x＋6＞0；③(x＋a)(x＋a＋1)＜0；④2x2－x＞2. A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：由一元二次不等式的定义可知，②③④为一元二次不等式．故选C. 2．不等式－2x2＋130x－500>1300的解集为(　　) A．(20，45) B．(－20，45) C．(－45，－20) D．(－45，20) 答案：A 解析：原不等式可化为x2－65x＋900<0，(x－20)(x－45)<0，所以原不等式的解集为(20，45)．故选A. 3．不等式>0的解集是(　　) A.∪ B. C. D. 答案：A 解析：>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，故不等式的解集为∪.故选A. 4．“≥1”是“x(x－1)≤0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由≥1，得0<x≤1，所以x(x－1)≤0成立，由x(x－1)≤0，得0≤x≤1，当x＝0时，≥1不成立，所以“≥1”是“x(x－1)≤0”的充分不必要条件．故选A. 5．已知x2－2ax－8a2≤0(a>0)的解集为A，且(－1，1)⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：由x2－2ax－8a2＝(x＋2a)(x－4a)及a>0，得x2－2ax－8a2≤0(a>0)的解集A＝[－2a，4a]．因为(－1，1)⊆A，所以解得a≥.故选A. 二、多选题 6．[x]表示不超过x的最大整数，则满足不等式[x]2－3[x]－10≤0的x的值可以为(　　) A．3 B．－2.5 C．5.5 D．8 答案：AC 解析：不等式[x]2－3[x]－10≤0可化为([x]－5)([x]＋2)≤0，所以－2≤[x]≤5，所以－2≤x<6，所以x的值可以为[－2，6)内的任何实数．故选AC. 7．不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax成立的x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<3} B．{x|x<0} C．{x|x>3} D．{x|－2<x<1} 答案：BC 解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a<0，所以－＝－1＋2＝1，＝－2，所以b＝－a，c＝－2a，由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax，得a(x2＋1)－a(x－1)－2a<2ax，得ax2－3ax<0.因为a<0，所以x2－3x>0，所以x<0或x>3，所以不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax的解集为{x|x<0或x>3}．故选BC. 三、填空题 8．不等式x2－3x＋2<0的解集为________． 答案：(1，2) 解析：不等式x2－3x＋2<0可化为(x－1)(x－2)<0，故其解集为(1，2)． 9．已知M＝{x|－9x2＋6x－1<0}，N＝{x|x2－3x－4<0}，则M∩N＝________，(∁RM)∪(∁RN)＝________． 答案： 解析：由－9x2＋6x－1<0，得9x2－6x＋1>0，所以(3x－1)2>0，解得x≠，即M＝ .由x2－3x－4<0，得(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，即N＝{x|－1<x<4}，所以M∩N＝.∁RM＝，∁RN＝{x|x≤－1或x≥4}，故(∁RM)∪(∁RN)＝. 10．不等式≥1的解集为____________． 答案：∪[2，＋∞) 解析：由题意，得－1≥0，所以≥0，所以≥0，所以或解得－1≤x<或x≥2.所以原不等式的解集为∪[2，＋∞)． 四、解答题 11．解下列不等式： (1)6－2x≤x2－3x<18； (2)≥1； (3)x2－3|x|＋2>0. 解：(1)原不等式等价于 即 解得－3<x≤－2或3≤x<6， 所以原不等式的解集为(－3，－2]∪[3，6)． (2)由≥1，得－1＝≥0， 所以 解得<x≤. 所以原不等式的解集为. (3)原不等式等价于 或 解得x∈[0，1)∪(2，＋∞)或x∈(－∞，－2)∪(－1，0)． 故原不等式的解集为(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)． 12．关于x的不等式ax2－(a＋2)x＋2>0，a∈R. (1)当a＝1时，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式． 解：(1)当a＝1时，不等式为x2－3x＋2>0，整理，得(x－1)(x－2)>0，解得x<1或x>2，所以不等式的解集为{x|x<1或x>2}． (2)不等式可整理为(ax－2)(x－1)>0， 当a＝0时，－2(x－1)>0， 不等式的解集为{x|x<1}； 当0<a<2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为{x|x<1或x>1}； 当a>2时，不等式的解集为； 当a<0时，不等式的解集为. 13．(多选)已知p：≤0，q：2a－5<x<1＋a，若q是p的必要不充分条件，则整数a的值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：AB 解析：≤0⇒(x＋1)(x－1)≤0且x－1≠0，所以－1≤x<1.因为q是p的必要不充分条件，所以解得0≤a<2.故选AB. 14．若关于x的不等式(kx－k2－1)(x－1)<0有且只有一个整数解，则实数k的取值范围是(　　) A．{k|3－≤k<1或4<k≤3＋} B．{k|0<k<1} C．{k|2－≤k<1或4<k≤4＋} D. 答案：D 解析：当k＝0时，不等式为－(x－1)<0，解集为{x|x>1}，不符合题意；当k<0时，不等式的解集为，不符合题意；当k>0时，因为k＋－1＝＝>0，所以不等式的解集为，符合题意，由题意可得2<k＋≤3，解得≤k≤且k≠1.故选D. 15．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0， 将x＝0代入不等式，得(a＋1)(2a－3)>0， 所以a<－1或a>. 若a<－1，则3－2a－＝(－a＋1)>5， 所以3－2a>， 此时不等式的解集是； 若a>，则3－2a－＝(－a＋1)<－， 所以3－2a<， 此时不等式的解集是. 综上，当a<－1时，原不等式的解集为； 当a>时，原不等式的解集为. 16．在汽车行驶中，司机发现紧急情况后操作刹车时需要经历三个阶段：第一阶段，司机的反应时间为t1；第二阶段，司机踩下刹车以及系统的反应时间为t2；第三阶段，汽车开始制动至完全停止，制动时间为t3，制动距离为d.已知t3和d的大小取决于制动时汽车时速v(单位：m/s)和汽车的类型，且d＝，t3＝(k为汽车刹车时的对应参数)．假设第一阶段和第二阶段汽车均以时速v做匀速直线运动，取t1＝0.8 s，t2＝0.2 s. (1)已知某汽车刹车时的对应参数k＝60，司机发现障碍物后，紧急操作刹车的总时间为3 s，若要保证不与障碍物相撞，求司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离； (2)若不同类型汽车刹车时的对应参数k满足30≤k≤60，某条道路要求所有类型的汽车司机发现紧急情况后操作刹车时的行驶距离不大于75 m，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？ 解：(1)由题意可知汽车开始制动至完全停止，制动时间t3＝3－t1－t2＝3－0.8－0.2＝2 s， 故制动时汽车时速v＝＝40 m/s， 则制动距离d＝＝40 m， 故司机发现障碍物时距离障碍物的最小距离为d＋v(t1＋t2)＝40＋40×1＝80 m. (2)由题意可得0.8v＋0.2v＋≤75， 即≤＝－， 因为30≤k≤60，所以∈， 所以－≥，即v2＋20v－1500≤0，解得0<v≤30，即汽车在该条道路的行驶速度应该限速为30 m/s. 15 学科网（北京）股份有限公司 $