2.2.3 一元二次不等式的解法-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

2.2.3-元二〉 学习目标 1.熟练掌握用图象法和代数法（因式分 解和配方)求一元二次不等式的解集 2.掌握含参数的一元二次不等式的解 法，会正确地进行分类讨论， 3.掌握简单的分式不等式的解法，理解 解分式不等式的思想，将分式不等式转化为 整式不等式 4.会解决一元二次不等式恒成立问题， △>0 y=ax2+bx+c(a>0) 的函数图象 方程a2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 (a>0)的根 X1,x2（x1<2) ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {xlx<1或x>x2} ax2+bx+c<0(a>0)的解集 xk <x< 说明：一元二次不等式的解法： (1)图象法：一般地，当a>0时，解形 如ax2+bx+c>0(或≥0)或ax2+bx+c<0(或≤ 0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax+bx+c=0的解；②画 出对应函数y=ax2+bx+c的图象简图；③由图 象得出不等式的解集， 对于a<0的一元二次不等式，可以直接 采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先 把它化成二次项系数为正的一元二次不等 第二章等式与不等式。 欠不等式的解法 加强分类讨论思想意识，提高利用数形结合 的方法解决问题的能力 5.能从实际情境中抽象出一元二次不等 式的模型并解决问题，了解一元二次不等式 的现实意义，培养数学建模的核心素养 要点精析 一元二次函数与一元二次方程、一元二 次不等式的解的对应关系 △=0 △<0 0龙 有两个相等的实数根 x12d b 没有实数根 R 0 0 式，再求解。 (2)代数法：将所给不等式化为一般式 后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若 (x-p)(x-q)>0,则x>q或x<P;若(x-p)(x-9) <0,则p<x<q.口诀为“大于取两边，小于 取中间” 川要点1解一元二次不等式 解一元二次不等式的一般步骤： (1)通过对不等式变形，使二次项系数 学(39 N 高中数学必修第一册人教B版 大于零； (2)计算对应方程的判别式： (3)求出相应的一元二次方程的根，或 根据判别式说明方程没有实数根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写 出不等式的解集 例1解下列不等式. (1）2x2-3x-2>0. (2)-3x2+6x-2>0. (3)4x2-4x+1≤0. (4)x2-2x+2>0. 分析先求出对应一元二次方程的解， 再结合对应的二次函数的图象写出不等式 的解集 (40)学 反思感悟 一元二次不等式ax+bx+c>0(或<0)的 解集通常与以下因素有关： (1)a的符号.系数a影响着解集的最 后形式 (2)根的判别式△.△关系到不等式对 应的方程是否有解。 (3)两根1,2的大小.两根大小关系 着解集的次序」 B变式训练① 解下列不等式 (1)2+3x-2x2>0. (2)x(3-x)≤x(x+2)-1. (3)x2-2x+3>0. 川要点2三个“二次”之间的关系 1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0) 的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根，也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交 点的横坐标 2.二次函数y=ax+bx+c的图象在x轴上 方的部分，是由不等式ax2+bx+c>0的x的值 构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等 式ax2+bx+c<0的x的值构成的，三者之间相 互依存，可以相互转化. 例2已知关于x的不等式x2+ax+b<0 的解集为{x1<x<2},求关于x的不等式bx2+ ax+1>0的解集 分析由x2+ax+b<0的解集为{xl1<x< 2},可知1,2是方程x2+ax+b=0的两根， 可求出α，b的值，从而得解. 变式训练2 不等式2x2+mx+n>0的解集是{xx>3或 x<-2},则m,n的值分别是() A.2,12 B.2,-2 C.2,-12 D.-2,-12 川要点3含参数的一元二次不等式的解法！ 1.若二次项系数含有参数，则需对二次 项系数大于0、等于0与小于0进行讨论. 2.若求对应一元二次方程的根需用公 式，则应对判别式△进行讨论。 3.若求出的根中含有参数，则应对两根 的大小进行讨论， 例3解关于x的不等式：2x2+kx-k≤0 (k∈R). 分析先求出方程2x2+hx-k=0的判别 式，通过对判别式讨论，求出不等式的解集. 第二章等式与不等式。 反思感悟 在解决含参数的一元二次不等式时， 最优的处理次序是先看二次项系数，其次 考虑△，最后分析两根的大小」 B变式训练③ 解关于x的不等式x2-ax-2a<0(a∈R). 学(41 N 高中数学必修第一册人教B版 川要点4解简单的分式不等式 1.对于比较简单的分式不等式，可直接 转化为一元二次不等式或一元一次不等式组 求解，但要注意分母不为零 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分 式不等式，先移项再通分（不要去分母）， 使之转化为不等号右边为零，然后再用上述 方法求解， 例4解下列不等式. 0费02)告≤2 分析等价转化为一元二次不等式或 一元一次不等式组求解， B变式训练④ 解下列不等式 1)）2x+1>0.(2)-3x+20. 3-x x2-2x-3 (42)学 反思感悟 解分式不等式的基本思路是将分式不 等式等价转化为整式不等式，常见的四种 形式如下： 分式不等式 同解变形 fx)>0 g(x) f>0f(x)g(x)>0 g(x) f(x) g(x) f2<0今f(x)g(x)0 g(x) fx)≥0 fx)≥0 fx)g(x)≥0 g(x) g(x) g(x)≠0 fx)≤0 fx)g(x)≤0 g(x)1 fx)≤0 g(x） g(x)≠0 川要点5一元二次不等式的实际应用 一元二次不等式应用题常以二次函数为 模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的 不等关系，再利用一元二次不等式求解，确 定答案时应注意变量具有的“实际含义” 例5某农贸公司按每担200元收购某 农产品，并按每100元纳税10元（又称征 税率为10个百分点)，计划可收购a万担。 政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品， 决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预 测收购量可增加2x个百分点.。 (1)写出税收y(万元)与x的函数关 系式 (2)要使此项税收在税率调节后不少于 原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围. 分析(1)按“税收=收购总金额×税 率”可建立y与x的函数关系式.(2)将不 等关系用不等式表示，从而求解 B变式训练⑤ 产品的总成本y(万元)与产量x(台) 之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2, x∈(0,240)·若每台产品的售价为25万 元，则使生产者不亏本（销售收入不小于总 成本)的最低产量是() A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 要点6有关一元二次不等式恒成立的 问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等 式的解集为R,对于一元二次不等式ax+bx+ c>0(a≠0)，它的解集为R的充要条件为 a>0, △=b2-4ac<0. 一元二次不等式ax2+bx+c≥0(a≠0)， a>0, 它的解集为R的充要条件为 △=b2-4ac≤0. 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，它 a<0, 的解集为⑦的充要条件为 △≤0. 第二章等式与不等式。 *例6已知不等式ax2+(a-1)x+a-1<0对 于所有的实数x都成立，求a的取值范围， 分析原不等式对所有的实数x都成 立，即原不等式（关于x)的解集为R.注 意到二次项的系数为参数a,故应分a=0与 a≠0两种情况分类讨论. P变式训练6 已知“3x∈R,使得不等式x2-4x-a-1< 0”不成立，则a的取值范围为() A.(-0,-5] B.(-∞，-2] C.(-5,+∞) D.[-5,+) 数学文化 例不定方程的整数解问题是数论中一 个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早 研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请 研究下面一道不定方程整数解的问题：已知 x2w+y2=2y(x∈Z,y∈Z),则该方程的整数 解有（) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 分析原方程可化为x2+(y-1)2=1, ∴.x≤1，(y-1)2≤1，即-1≤x≤1,0≤y≤2 (x,y∈Z),再列举每种情况即可. 学(43N 高中数学必修第一册人教B版 若3-2=2，求出=2 满足)-14-22的x值为-0，子U弓，+片 x≤-1， 变式训练3解：原不等式一 或 -(x+1)+(x-3)<3 -1<x<3, x≥3， x≤-1， -1<x<3, 或 x+1+-3<3 +1--3)<3台xeR 或5或 2 x≥3， x∈⑦ 台<名原不等式的解集为世<名引 例4解：AB的中点对应的数为3+ 2 由题意，可知≤5。 即I3+x≤10，因此-10≤3+x≤10. ∴.-13≤x≤7，因此x的取值范围是[-13,7]. 变式训练4解：由题意，可刻21，即 受11，受-1>1或受-1<-1，解得m4或m<0 实数m的取值范围是(-∞，0)U(4,+∞). +1=2, 例5解：(1)由题意，知 +1=2,可以化为 -3=2, -3=2 或+1=2：或+1=-2，或 x+1=-2, 解得=1 x-3=-2x-3=-2x-3=2, .点P的坐标为P(1),此时P为AB的中点. (2)不存在这样的P(x),理由如下： .AB=3-(-1)=4<6, ∴.在线段AB上找一点P,使PAI+PBI=3+3=6是不 可能的. 变式训练5MN【解析】由已知，得M=(-1,5), N=[-1,5],故MN. 数学文化 例解：设传令兵的行进速度为'，则传令兵从排尾到 排头所需时问为二，从排头到排尾所需时问为4。 。一+，十，往返所走路程为.由传 往返共用时间t仁L+L 令兵回到排尾时全队正好前进了L,则L=vt,故t('2 v2)=2m'L, ∴(2-v2)=2tw'L,.(tm')2-2L(tm')-L2=0. 解以v't为变量的一元二次方程，有v't=(1+1/2)L, 即传令兵行走的路程为(1+/2)L. 36 2.2.3一元二次不等式的解法 要点精析 例1解：（①）如图1，方程22-3x-2=0的解是x=2 x2=2. 图1 ·函数是开口向上的抛物线 不等式的解架是收子或2 (2)如图2，不等式可化为32-6x+2<0. 图2 ·.3x2-6x+2=0的判别式△=36-4x3x2=12>0. “方程3-6x+2-0的解是=l-V5,=1+Y3 3 函数)=3x26x+2是开口向上的抛物线 不等式的解集是x1-Y3<1+Y3 3 3 （3)方程4-4+1-0的解是=子，函数)=4 4x+1的图象是如图3所示的开口向上的抛物线， :原不等式的解集是) 图3 图4 例1答图 (4)x2-2x+2=0的判别式△<0，.方程2-2x+2=0 无解.又函数y=x2-2x+2的图象是如图4所示的开口 向上的抛物线，原不等式的解集为R 变式训练1解：(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0, 即(2x+1)(x-2)<0,故原不等式的解集是 32 (2)原不等式可化为2x2-x-1≥0，即(2x+1)(x-1)≥0. 故原不等式的解集为xx≤-子或x≥1。 (3)4=(-2)2-4×3=-8<0,故原不等式的解集为R 例2解：x2+ax+b<0的解集为{x1<x<2, .1,2是x2+ax+b=0的两根. -a-1+2,即 a=-3, 由韦达定理，有 b=1x2,b=2, 代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0. 由2x-3x+1>0e(2x-lI)(x-1)>0<2或x>1 :hr+10的解第为小<分或o 变式训练2D【解析】由题意，可知-2,3是方程2x2+ m*n-0的两个根，2*3=受，-2x3=号，m=-2,ne12 故选D. 例3解：△=k2+8k=k(+8).当△>0，即k<-8或>0时 方程2x2+k-k=0有两个不相等的实数根，.不等式2x2+ k-k≤0的解集为{-k-V+8】≤≤+V个+8】 4 当△=0，即k=-8或k=0时，方程2x2+kx-k=0有两个相 等的实数根，不等式2+x-k≤0的解集为-4}，即 若k=-8时，不等式2x2+hx-k≤0的解集为{2；若k=0 时，不等式2x2+kx-k≤0的解集为{0外.当△<0时，即 -8<k<0时，方程2x2+kx-k=0无实数根，∴.不等式2x2+ kx-k≤0的解集为☑. 变式训练3解：原不等式转化为(x-2a)(x+a)0,对应 的一元二次方程的根为x1=2a,2=-a ①当2a>-a,即a心0时，不等式的解集为{xl-a<x< 2d: ②当2a=-a,即a=0时，原不等式化为x2<0,无解： ③当2a<-a,即a<0时，不等式的解集为{x2a<x<-a. 综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x-a<x< 2;当a=0时，原不等式的解集为☑；当a<0时，原 不等式的解集为{x2a<<-a. 参考答案。 例4解：山)由将0，得号0， 1-x 此不等式等价于(+2)(x-1)>0, .原不等式的解集为{x<-2或>l. (2)方法一：移项得+1-2≤0， x-2 左边通分并化简得空≤0，即≥0。 x-2 (x-2)(x-5)≥0， 它的同解不等式组为 x-2≠0， 'x<2或x≥5 ∴.原不等式的解集为{xx<2或x≥5. 方法二：原不等式可化为高=0， 此不等式等价于-5≥0， {x-2>0 或/5s0 解得x≥5或x<2, x-2<0. .原不等式的解集为{xx<2或x≥5. 变式训练4解：(1)由2+1>0，得2+<0，此不 3-x x-3 等式等价于(2x+1)(x-3)<0,.原不等式的解集为 (2)3+名0台 -3x+2>0,或 x2-3x+2<0, x2-2x-3 x2-2x-3<0 x2-2x-3>0 x<1或x>2, 1<x<2, 或 台{-1<<1或2<x<3}或☑. -1<<3 x<-1或x>3 综上，原不等式的解集是{x-1<<1或2<x<3}. 例5解：(1)降低税率后的税率为(10-x)%(0<< 10), 农产品的收购量为a(1+2x%)万担， 收购总金额为200a(1+2x%)万元. 依题意，得y=200a(1+2x%)(10-x)% =50(100+2x)(10-x)(0<<10). 1 (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 依题意，得0a(10+2x)10-x)≥200x83.2% 化简得x2+40x-84≤0， .-42≤x≤2. 又.0<x<10,.0<x≤2， .x的取值范围是0<x≤2 变式训练5C【解析】由题意，可知产量为x台时，总 售价为25x万元.欲使生产者不亏本，必须满足总售价 37 N 高中数学必修第一册人教B版 大于或等于总成本，即25x≥3000+20x0.1x2,即0.1x2+5x- 3000≥0.整理，得x2+50x-30000≥0，解得x≥150或 x≤-200（不合题意，舍去）.故使生产者不亏本的最低 产量是150台.故选C. 例6解：若a=0,则原不等式为-x-1<0,即x>-1,不 合题意，故a≠0. 令y=ax2+(a-1)x+a-1, :原不等式对任意x∈R都成立， .∴.二次函数y=aax2+(a-1)x+-1的图象在x轴的下方， ∴.a<0且△=(a-1)2-4a(a-1)<0, 郎/as0, (a-1)(3a+1)>0, 变式训练6A【解析】：“3x∈R,使x2-4x-a-1<0” 不成立台“x∈R,x2-4x-a-1≥0恒成立”，∴.只需A= 16-4(-a-1)≤0，.a≤-5.故选A 数学文化 例D【解析】设此方程的解为有序数对(x,y), .x20+y2=2y (x,yEZ), ax2+0y-1)2=1. 当x2>1或(y-1)>1时，等号是不能成立的， ≤1，(y-1)2≤1， 即-1≤x≤1,0≤y≤2(x,y∈Z) ①当=-1时，(y-1)2=0,即y=1; ②当x=0时，(y-1)2=1,即y=0或y=2: ③当x=1时，(y-1)2-0,即y=1. 综上所述，共有四组解(-1,1)，(0,0)，(0,2)， (1,1) 故选D. 2.2.4均值不等式及其应用 要点精析 例1D【解析】从均值不等式成立的条件考虑. ①.a,b0,o,b,只∈0，+0)，符合均值不 a’b 等式成立的条件，故①的推导过程正确； ②aeR,a≠0不符合均值不等式成立的条件， 小吾+0≥2√合a-4是错误的： ③由y0,得兰，士均为负数，但在推导过程中 将+士看成一个整体提出负号后，(，（女均 变为正数，符合均值不等式成立的条件，故③正确.故 选D. 38 变式训练1C【解析】由于式子x+上≥2中x的取值 范围不确定，故当x<0时，x+1<0,x+1的最小值不 能为2放0不正确：x与月号，小4日≥2， 当且仅当x=1时，等号成立，故②正确；由题意，知 x+22V2,即2V2≤2，Vy≤7，放 ③正确：由于V3十√2，当且仅当V两 1一时，取等号，即x2+3=1,即2=-2，方程无解， x+3 故④不正确.故选C 例2B【解析】a2+b2=laP+lbP≥2 lallbI,故A正确；由 a+b2≥2ab,得d≥2ab-b,当b<0时，牙≤2ab,故B 错误；由V庙≤党，放b≤，故C正确：由 a2+b2≥2ab,得2(d2+b2)≥d2+b2+2ab=(a+b)2,故D正确. 故选B. 变式训练2（合广≥学1【解折】号+1学≥ 2 德各会经 例3证明：(1)：a>0,b>0,c>0, :'.amb≥2Vab,bmc≥2Vbc,c4a≥2Vca ..2(a+b+c)=2(Vab +Vbc +Vca ) 即a+b+c≥Vab+Vbc+Vca. 由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立. .a+b+e>Vab +Vbc +Vca. (2)a,b,c为正实数，且a+b+c=1, :1-1=1-a_b+c≥2V6c>0, a aa a 同理方-1≥2%00，-1≥20， b b 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 a方-川日-1≥2c.2m.28 b C 当且仅当-b=0=了时，等号成立。 变式训练3证明：由a,b,c,d都是正数，得bcd≥ 2 Vabed >0.acbd =acb(abted)(ac+bd) 4 ≥abcd,即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.