2.2.4 均值不等式及其应用（第一课时）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦均值不等式及其应用，涵盖算术与几何平均值概念、推导及简单代数问题。课堂导入通过回顾一元二次不等式，搭建先前知识与新知的联系支架。 资料通过课前自测辨析概念，课中设置判断、求最值、证明等题型，结合几何意义（如周长一定矩形中正方形面积最大）培养数学眼光，通过辨析与应用深化推理意识，助力学生理解并运用均值不等式解决问题。

主备人： 2.2.4 均值不等式及其应用（第一课时） 【课前案】 【学习目标】 1.理解算术平均值、几何平均值的意义； 2.记忆理解均值不等式； 3.了解均值不等式的推导过程； 4.会用均值不等式解决简单代数问题． 【知识梳理】 知识点一 算术平均值的概念 给定两个正数a，b，数 称为a，b的算术平均值． 知识点二 几何平均值的概念 给定两个正数a，b，数 称为a，b的几何平均值． 知识点三 均值不等式的概念 如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当 时，等号成立．（一正、二定、三相等）． 另一种写法： ①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2； ②当a＞0，b＞0，则． 不等式链：若a＞0，b＞0，则 几个重要的不等式： 【课前自测】 1．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　) 2．若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2.(　　) 3．a，b同号时，＋≥2.(　　) 4．函数y＝x＋的最小值为2.(　　) 【课中案】 导：回顾一元二次不等式． 思：均值不等式可以有哪些变形？ 议： 题型一 利用均值不等式概念判断正误 例1 下列命题中正确的是(　　)． A．当a，b∈R时，＋≥2＝2 B．若a<0，b<0，则≤ab C．当a＞2时，a＋的最小值是6 D．当a＞0，b＞0时，≥ 变式训练1 (多选)下列结论不正确的是(　　)． A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4 B．当x>0时，＋≥2 C．当x≥2时，x＋的最小值为2 D．当0<x≤2时，2x＋的最小值为2 题型二 利用均值不等式求最值 例2（直接求最值）已知t＞0，求y＝的最小值． 例3（拼凑法求最值） 已知x>2，求y＝x＋的最小值． 题型三 利用均值不等式证明 例4 设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c． 展：提问，质疑，展示． 评：知识清单 1. 均值不等式的几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大（课本第77页）。 2. 推广：周长相等的三角形中，等边三角形面积最大；平面上，周长相等的所有封闭图形中，圆的面积最大． 检：自主回顾． 练：课后案． 【课后案】 1.已知，则的最小值为（ ）． A．1 B．2 C．4 D．8 2.设，则函数的最小值为（ ）． A．1 B．2 C．4 D．8 3.已知，求证，并推导出等号成立的条件． 4.求的最小值，以及取最小值时的值． 5.当x<0时，求＋4x的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $