2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 (教师独具内容) 课程标准：1.会求一元二次方程的解集.2.掌握一元二次方程根与系数的关系． 教学重点：1.一元二次方程的解集与判别式的关系.2.一元二次方程的解集与系数的关系． 教学难点：一元二次方程根与系数的关系． 核心素养：1.通过学习一元二次方程的解集与判别式的关系培养数学抽象素养.2.通过利用一元二次方程根与系数的关系求值提升数学运算素养． 知识点一　一元二次方程的概念 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 知识点二　一元二次方程的解集 当方程为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，Δ＝b2－4ac的符号情况决定了方程的解集情况： (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅. 知识点三　一元二次方程根与系数的关系 当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集不是空集时，记方程的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝． [提醒]　一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的．利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的参数的值要代入Δ＝b2－4ac来验证． 1．(根的判别式)下列一元二次方程中，没有实根的是(　　) A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2 答案：C 2．(一元二次方程的解集)一元二次方程x2＋5x－4＝0的解集是(　　) A．∅ B．{－1，－4} C. D．{4，－1} 答案：C 3．(根与系数的关系)已知m，n是方程2x2－x－2＝0的两个实数根，则＋的值为________． 答案：－ 题型一　一元二次方程的解集及根的判别式的应用　 　(1)一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝ D.＝ [解析]　方程配方后得＝1.故选B. [答案]　B (2)方程x2－4x＋10＝0的解集为(　　) A．{－2＋，－2－} B．{2＋，2－} C．{－2＋，－2－} D．{2＋，2－} [解析]　∵a＝1，b＝－4，c＝10，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8>0，∴x＝＝＝2±，∴x1＝2＋，x2＝2－.∴方程x2－4x＋10＝0的解集为{2＋，2－}．故选B. [答案]　B (3)方程x－3＋2＝0的解集为(　　) A. B．{2，1} C．{4，1} D．{，1} [解析]　设＝y，则y≥0，且原方程可变为y2－3y＋2＝0，因此可得y＝2或y＝1，从而＝2或＝1，所以原方程的解集为{4，1}． [答案]　C (4)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________． [解析]　已知方程有两个不相等的实数根，则Δ＝(－2)2－4×1×(k－1)>0，解得k<2.故实数k的取值范围为(－∞，2)． [答案]　(－∞，2) (5)若关于x的方程(m＋1)x2＋2mx＋(m－3)＝0有实数根，则实数m的取值范围为________． [解析]　分两种情况讨论：①当m＋1＝0，即m＝－1时，此时方程为－2x－4＝0，必有实数根；②当m＋1≠0，即m≠－1时，原方程是一元二次方程，有实数根需满足Δ＝(2m)2－4×(m＋1)×(m－3)＝8m＋12≥0，解得m≥－且m≠－1.综上可知，实数m的取值范围为. [答案]　 【感悟提升】　 1．解一元二次方程时，首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如果不能用这两种方法，再考虑用公式法或配方法．公式法是解一元二次方程的通用方法，可以解所有的一元二次方程． 2．使用根的判别式解决问题时的注意点 (1)一元二次方程根的情况与判别式的对应关系． (2)利用根的判别式确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二次项系数不为0这个隐含条件，否则容易出错． 【跟踪训练】　 1．(1)方程4(1－x)2＝1的解集为(　　) A．∅ B. C. D. 答案：C 解析：由方程4(1－x)2＝1，可得方程(x－1)2＝，解得x－1＝或x－1＝－，所以x＝或x＝，即方程的解集为.故选C. (2)已知一元二次方程2x2－5x＋3＝0，则该方程根的情况是(　　) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 答案：A 解析：因为Δ＝(－5)2－4×2×3＝25－24＝1>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A. (3)方程x2＋4x＋6＝0的解集为________． 答案：{－} 解析：因为a＝，b＝4，c＝6，所以Δ＝b2－4ac＝(4)2－4××6＝0，所以x＝＝＝－，所以所求方程的解集为{－}． (4)若关于x的一元二次方程mx2－2x＋1＝0有实数根，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，0)∪(0，1] 解析：由该方程为一元二次方程，得m≠0.由该一元二次方程有实数根，得Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.综上可知，实数m的取值范围为(－∞，0)∪(0，1]． 题型二　一元二次方程根与系数的关系　 　已知一元二次方程x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，求下列各式的值： (1)x＋x；(2)|x1－x2|(x1＋x2)． [解]　由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3. (1)x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)＝(－2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝(－2)×[(－2)2－3×(－3)]＝－26. (2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×(－3)＝16， 所以|x1－x2|＝＝4， 所以|x1－x2|(x1＋x2)＝4×(－2)＝－8. 【感悟提升】　 (1)利用根与系数的关系求代数式值的步骤 ①算：计算出两根的和与积； ②变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式； ③代：代入求值． (2)常见的几种变形 ①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； ②|x1－x2|＝ ＝； ③x＋x＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]； ④＋＝； ⑤＋＝＝. 【跟踪训练】　 2．已知一元二次方程2x2＋3x－6＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值： (1)＋；(2)x－x. 解：由一元二次方程根与系数的关系，得 x1＋x2＝－，x1x2＝－3. (1)＋＝＝ ＝＝＝. (2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝－4×(－3)＝， 所以x1－x2＝±， 所以x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x) ＝[(x1＋x2)2－x1x2] ＝× ＝× ＝±. 题型三　利用根与系数的关系求字母的值或范围　 　已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值． (1)方程两实根的积为5； (2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2. [解]　Δ＝[－(k＋1)]2－4×＝2k－3， 由Δ≥0，得k≥. (1)设方程的两实根为x1，x2，则x1x2＝k2＋1＝5， k2＝16，解得k＝4或k＝－4(舍去)． (2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝. 方程为x2－x＋＝0，x1＝x2＝>0，满足题意． ②若x1<0，则x1＋x2＝0， 即k＋1＝0，k＝－1， 不符合Δ≥0，不满足题意． 综上，k＝. 【感悟提升】　利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系应用的前提条件，即Δ≥0. 【跟踪训练】　 3．(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(　　) A．－2或3 B．3 C．－2 D．－3或2 答案：C 解析：∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，解得m＝6或m＝－2.∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.∴m＝－2.故选C. (2)已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根． ①求k的取值范围； ②若此方程的两个实数根x1，x2满足x＋x＝11，求k的值． 解：①因为关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋k－1＝0有实数根，所以Δ≥0，即[－(2k－1)]2－4×1×(k2＋k－1)＝－8k＋5≥0，解得k≤，即k的取值范围为. ②由题意知x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2＋k－1， 所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2k－1)2－2(k2＋k－1)＝2k2－6k＋3. 因为x＋x＝11，所以2k2－6k＋3＝11，即k2－3k－4＝0， 解得k＝4或k＝－1，因为k≤，所以k＝－1. 1．已知集合A＝{x|x2－25＝0}，B＝{x|x2－x－30＝0}，则A∩B＝(　　) A．{5} B．{－5} C．{5，－5，6} D．∅ 答案：B 解析：因为A＝{5，－5}，B＝{x|(x－6)(x＋5)＝0}＝{－5，6}，所以A∩B＝{－5}． 2．方程(x－2)2＝t(t>0)的解集为(　　) A．{2－} B．{2＋} C．{2－，2＋} D．{±t} 答案：C 解析：因为t>0，所以x－2＝±，即x＝2±. 3．(多选)下列一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程为(　　) A．x2＋1＝0 B．x2－3x＋1＝0 C．x2＋2x＋1＝0 D．x2－x－3＝0 答案：BD 解析：对于A，x2＋1＝0⇒x2＝－1<0，故x2＋1＝0无实数根；对于B，(－3)2－4×1×1＝5>0，故x2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根；对于C，22－4×1×1＝0，故x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；对于D，(－1)2－4×1×(－3)＝13>0，故x2－x－3＝0有两个不相等的实数根．故选BD. 4．方程＋－1＝0的解集为________． 答案：{3，0} 解析：设y＝，则原方程可变为2y2＋y－1＝0，解得y＝或y＝－1，从而＝或＝－1，可得x－1＝2或x－1＝－1，即x＝3或x＝0，经检验，x＝3或x＝0为原方程的解，所以原方程的解集为{3，0}． 5．已知关于x的方程x2－5mx＋4＝0有两个相等的实数根，则实数m的取值集合为________． 答案： 解析：因为关于x的方程有两个相等的实数根，所以Δ＝(－5m)2－4×1×4＝0，即25m2－16＝0，解得m＝±.所以实数m的取值集合为. 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ 对点 利用判别式判断根的情况　 利用判别式求参数　 利用判别式求参数范围　　 一元二次方程的解集——分类讨论法　　 根与系数的关系的应用——不含参、求代数式的值 判断含参方程实数解的情况 根与系数的关系的应用——求参数 一元二次方程的解集——换元法 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用判别式及根与系数的关系求参数范围 一元二次方程的解集——因式分解法 一元二次方程的解集——分类讨论法 根与系数的关系的应用——不含参、求代数式的值 方程的解集与集合的综合　 根的判别式及根与系数的关系的综合应用 根与系数的关系的应用——含参、求代数式的值 方程的解集——换元法、分类讨论法 一、单选题 1．关于一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况，下列说法正确的是(　　) A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 答案：C 解析：因为方程的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选C. 2．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2或2 D．－3或1 答案：A 解析：原一元二次方程可化为x2＋(a＋1)x＝0，若方程有两个相等的实数根，则有Δ＝(a＋1)2＝0，解得a＝－1.故选A. 3．已知关于x的方程mx2－5x＋2＝0的解集为空集，则实数m的取值范围为(　　) A. B. C. D．∅ 答案：B 解析：由已知方程的解集为空集，可知m≠0，方程为一元二次方程，Δ＝(－5)2－4×m×2＝25－8m<0，即m>.故选B. 4．方程(x－1)2＝t－2(t为常数)的解集为(　　) A．∅ B．{1} C．{1－，1＋} D．∅或{1}或{1－，1＋} 答案：D 解析：当t－2<0，即t<2时，方程的解集为∅；当t－2＝0，即t＝2时，方程的解集为{1}；当t－2>0，即t>2时，方程的解集为{1－，1＋}．综上，方程的解集为∅或{1}或{1－，1＋}．故选D. 5．若α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，则＋的值是(　　) A. B．－ C．－ D. 答案：C 解析：因为α，β是一元二次方程3x2＋2x－9＝0的两个根，所以α＋β＝－，αβ＝－3，所以＋＝＝＝－.故选C. 二、多选题 6．关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，方程只有一个实数解 B．当m＝时，方程有两个相等的实数解 C．当m≠0时，方程有两个不相等的实数解 D．无论m取何值，方程至少有一个负数解 答案：ABD 解析：当m＝0时，x＝－1，方程只有一个实数解，A正确；当m≠0时，方程mx2＋x－m＋1＝0是一元二次方程，Δ＝1－4m(1－m)＝1－4m＋4m2＝(2m－1)2，当m＝时，Δ＝0，即方程有两个相等的实数解，B正确，C错误；方程可变形为(mx－m＋1)(x＋1)＝0，故无论m取何值，方程至少有一个负数解x＝－1，D正确．故选ABD. 7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和为45，则a的值可能为(　　) A．－9 B．－5 C．5 D．9 答案：BD 解析：设方程的两根为x1，x2，由题意，得x＋x＝45，所以(x1＋x2)2－2x1x2＝45，因为x1＋x2＝a，x1x2＝2a，所以a2－2×2a＝45，解得a1＝－5，a2＝9.又因为Δ＝a2－8a，当a＝－5或a＝9时，Δ>0，此时方程有两个实数根．故选BD. 三、填空题 8．方程x＋2－3＝0的解集为________． 答案：{5－2} 解析：设＝y，则y≥0，原方程可变为y2＋2y－5＝0，解得y＝－1＋或y＝－1－(舍去)．从而＝－1＋，即x＝5－2，所以方程x＋2－3＝0的解集为{5－2}． 9．已知关于x的方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号，则实数m的取值范围为________． 答案：{m|m<－2} 解析：由方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号及方程两根的积与方程系数的关系可得解得m<－2，所以实数m的取值范围为{m|m<－2}． 10．已知A＝{x|x2－x－12＝0}，B＝{x|x2－3x－28＝0}，则A∩B＝________，A∪B＝________． 答案：∅　{－3，4，－4，7} 解析：因为A＝{x|(x＋3)(x－4)＝0}＝{－3，4}，B＝{x|x2－3x－28＝0}＝{x|(x＋4)(x－7)＝0}＝{－4，7}，所以A∩B＝∅，A∪B＝{－3，4，－4，7}． 四、解答题 11．求方程(x＋)2＋a－8＝0的解集． 解：原方程可变为(x＋)2＝8－a， 当8－a>0，即a<8时，x＋＝±， 解得x＝－±； 当8－a＝0，即a＝8时，x＋＝0， 解得x＝－； 当8－a<0，即a>8时，方程的解集为∅. 综上，当a<8时，方程(x＋)2＋a－8＝0的解集为{－＋，－－}； 当a＝8时，方程(x＋)2＋a－8＝0的解集为{－}； 当a>8时，方程(x＋)2＋a－8＝0的解集为∅. 12．已知方程x2－3x＋2＝0的两根为x1，x2，求下列各式的值： (1)xx2＋x1x；(2)－. 解：由一元二次方程根与系数的关系， 得x1＋x2＝3，x1x2＝2. (1)xx2＋x1x＝x1x2(x＋x)＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝2×[(3)2－2×2]＝2×23＝46. (2)－＝＝ ＝±＝±. 13．集合M＝{x|ax2＋3x－1＝0}至多有1个真子集，则a的取值范围是(　　) A. B. C．{0} D.∪{0} 答案：D 解析：当a＝0时，M＝，满足题意；当a≠0时，由题意，得Δ＝9＋4a≤0，解得a≤－.综上，a的取值范围是∪{0}．故选D. 14．已知关于x的方程k2x2＋2(k－1)x＋1＝0有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8，求实数k的值． 解：(1)当k＝0时，方程为－2x＋1＝0，解得x＝，符合题意； 当k≠0时，Δ＝[2(k－1)]2－4k2＝－8k＋4≥0， 解得k≤， 所以k≤，且k≠0. 综上，实数k的取值范围为. (2)设方程的两个实数根为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以＝＝[－2(k－1)]2＝8， 解得k＝1＋或k＝1－， 由(1)知，当方程有两个实数根时，k≤，且k≠0， 所以k＝1－. 15．已知关于x的方程x2－3mx＋2n＝0的两根为m，x1，求下列各式的值： (1)(m2＋x)；(2)－1. 解：由一元二次方程根与系数的关系，得m＋x1＝3m，mx1＝2n，则x1＝2m，n＝m2. (1)(m2＋x)＝(m2＋4m2)＝5. (2)－1＝－1＝－1＝－. 16．求关于x的方程－＋a＝0的解集． 解：设＝y，则y>0，原方程可变为y2－2y＋a＝0， 即(y－1)2＝1－a， 当1－a>0，即a<1时， y－1＝±，y＝1±； 当1－a＝0，即a＝1时，y＝1； 当1－a<0，即a>1时，方程y2－2y＋a＝0的解集为∅. 所以当a≤0时，＝1＋， 即x＝， 所求方程的解集为； 当0<a<1时，＝1±， 即x＝， 所求方程的解集为 ； 当a＝1时，＝1，即x＝1，所求方程的解集为{1}； 当a>1时，方程－＋a＝0的解集为∅. 12 学科网（北京）股份有限公司 $