1.1.2 集合的基本关系-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦“集合的基本关系”，涵盖子集、真子集、集合相等的定义与性质，以及维恩图的应用。通过复习元素与集合关系导入，以定义辨析、性质归纳、注意事项为支架，衔接前后知识，帮助学生构建集合关系的认知框架。 资料亮点在于知识点讲解精准（如辨析{0}、∅、{∅}），题型分层（判断关系、求子集、参数问题），结合维恩图与数轴直观教学，培养数学抽象、逻辑推理素养，习题梯度设计助力巩固，便于学生自主学习与教师教学评估。

数学 必修 第一册RJB 1.1.2　集合的基本关系 (教师独具内容) 课程标准：1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集.3.能使用维恩图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 教学重点：1.子集、真子集定义的理解.2.写出给定集合的子集.3.两个集合之间关系的判定.4.用子集观点解释两个集合的相等关系． 教学难点：根据集合之间的关系求参数的取值范围． 核心素养：1.通过对子集、真子集概念的学习培养数学抽象素养.2.通过根据集合之间的关系求参数的值或取值范围培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　子集 一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 对应地，如果A不是B的子集，则记作AB(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)． 规定：空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A. [注意]　(1)子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． (2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”．因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素． (3)并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1，2}，B＝{1，3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 知识点二　子集的性质 (1)任意集合A都是它自身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 知识点三　真子集 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”)． [提醒]　在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. 知识点四　真子集的性质 (1)空集是任意非空集合的真子集． (2)对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC． 知识点五　维恩图 如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图． 知识点六　集合相等与子集的关系 (1)如果A⊆B且B⊆A，则A＝B. (2)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A． [想一想]　{0}，∅，{∅}之间的区别与联系是什么？ 提示：{0}是含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，因此∅{0}，而{∅}是含有一个元素∅的集合，因此∅作为一个元素时，有∅∈{∅}，∅作为一个集合时，有∅{∅}． 1．(维恩图)下列图形中，表示MN的是(　　) 答案：C 2．(集合间的基本关系)(多选)下列选项中正确的是(　　) A．N∈Q B．RQ C．{x|x2＝16}＝{－4，4} D．{(x，y)|x＋y＝1}⊆ 答案：BC 3．(真子集)给出下列集合：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是菱形}，D＝{x|x是正方形}，它们的关系可以表示为________________． 答案：DBA，DCA 题型一　判断集合之间的关系　 　判断下列各组集合的关系： (1)A＝{1，2，4}，B＝{x|x是8的正约数}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是有一个内角是60°的等腰三角形}； (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)A＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}． [解]　(1)集合A中的元素1，2，4都是8的正约数，从而这三个元素都属于B，即A⊆B；但B中的元素8不属于A，从而A≠B，所以AB. (2)等边三角形的三个内角都是60°且等边三角形都是等腰三角形，即A⊆B；有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，即B⊆A，所以A＝B. (3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. (4)解法一：两个集合都表示一些正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合A含有元素“1”，而集合B不含元素“1”，故BA. 解法二：由列举法知A＝{1，3，5，7，…}，B＝{3，5，7，9，…}，所以BA. 【感悟提升】　判断集合间关系的方法 (1)用定义判断 ①对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B； ②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则AB； ③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B. (2)数形结合判断 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍． 【跟踪训练】　 1．(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x∈N|x<8}，则下列结论正确的是(　　) A．A＝B B．{2}∈C C．2⊆C D．AC 答案：AD 解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的所有解组成的集合，即A＝{1，2}，而C＝{x∈N|x<8}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．所以A＝B，{2}C，2∈C，AC.故选AD. (2)已知集合A＝{x|－2≤－x＋1<3}，B＝{x|－1≤x≤3}，则用维恩图表示它们之间的关系正确的是(　　) 答案：C 解析：因为A＝{x|－2≤－x＋1<3}＝{x|－2<x≤3}，B＝{x|－1≤x≤3}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知，BA.故选C. (3)若集合M＝，N＝，则集合M，N间的关系是________． 答案：MN 解析：因为M＝＝，N＝＝，若x∈M，则x＝＝，因为k∈Z，所以2k－1∈Z，所以x∈N，所以M⊆N，又因为0∈N，0∉M，所以MN. 题型二　确定集合的子集和真子集　 　(1)写出集合{a，b，c}的所有子集和真子集． [解]　因为集合{a，b，c}中有3个元素，所以其子集中的元素个数只能是0，1，2，3. 有0个元素的子集：∅； 有1个元素的子集：{a}，{b}，{c}； 有2个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}； 有3个元素的子集：{a，b，c}． 因此集合{a，b，c}的所有子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}． 集合{a，b，c}的所有真子集为∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}． (2)已知集合A＝，B＝{3，4}，集合C满足B⊆C⊆A，求所有满足条件的集合C的个数． [解]　因为a∈N，∈N， 所以a－2＝1或a－2＝2或a－2＝3或a－2＝4或a－2＝6或a－2＝12， 即a＝3或a＝4或a＝5或a＝6或a＝8或a＝14， 所以A＝{3，4，5，6，8，14}， 又因为B＝{3，4}且集合C满足B⊆C⊆A， 所以集合C中一定含有元素3和4，可能含有5，6，8，14中的n(0≤n≤4，n∈N)个，即集合C的个数等于集合{5，6，8，14}的子集的个数，所以满足条件的集合C的个数为24＝16. 【感悟提升】　 1．求集合子集、真子集的三个步骤 2．求集合子集、真子集的个数 集合的子集、真子集个数的规律为：含n(n∈N＋)个元素的集合有2n个子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身不要漏掉． 【跟踪训练】　 2．(1)已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：B 解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个． (2)已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集． 解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}， ∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}， ∴A的子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}． A的真子集有∅，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}． (3)已知集合A满足{x|x2－1＝0}⊆A{－1，0，1，2，5}，求集合A的个数，并用列举法写出所有可能的集合A. 解：因为{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，所以{－1，1}⊆A{－1，0，1，2，5}，所以集合A中一定含有元素－1，1，可能含有元素0，2，5中的0个，1个或2个，即集合A的个数等于集合{0，2，5}的真子集的个数，有23－1＝7个．用列举法写出所有可能的集合A是{－1，1}，{－1，1，0}，{－1，1，2}，{－1，1，5}，{－1，1，0，2}，{－1，1，0，5}，{－1，1，2，5}． 题型三　由集合间的包含关系求参数的值或取值范围　 　(1)(新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C. D．－1 [解析]　因为A⊆B，若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．综上所述，a＝1.故选B. [答案]　B (2)已知集合M＝{x|x2－2x－8＝0}，N＝{x|ax＋4＝0}，且N⊆M，则由a的取值组成的集合是________． [解析]　因为M＝{x|x2－2x－8＝0}，所以M＝{4，－2}．若a＝0，则N＝∅，满足N⊆M；若a≠0，则N＝{x|ax＋4＝0}＝，要使N⊆M，则－＝4或－2，解得a＝－1或a＝2.所以满足条件的a的取值集合为{0，－1，2}． [答案]　{0，－1，2} (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若BA，求实数m的取值范围． [解]　①当B≠∅时，如图所示： 由题意可得或 解这两个不等式组，得2≤m≤3； ②当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}． 【感悟提升】　 1．由集合之间的包含关系求参数的两类问题 (1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合之间的关系，可转化为解方程(组)求解，此时要注意集合中元素的互异性． (2)若集合中的元素有无限多个，无法一一列举(如不等式的解集)，常借助于数轴转化为不等式(组)求解，此时要注意端点值能否取到． 2．由集合之间的包含关系求参数的关注点 空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成漏解． 【跟踪训练】　 3．(1)已知集合A＝{－3，m}，B＝{m2＋4m，－1}，且A＝B，则实数m＝________． 答案：－1 解析：由题意，得A＝B，当m＝－1时，A＝{－3，－1}，m2＋4m＝－3，则B＝{－3，－1}，符合题意．当m＝m2＋4m时，解得m＝0或m＝－3，若m＝0，则A＝{－3，0}，B＝{0，－1}，不符合题意；若m＝－3，则A＝{－3，－3}，不符合题意．综上所述，m＝－1. (2)已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝________． 答案：－1或2 解析：因为B⊆A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①由a2－a＋1＝3，得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合题意，当a＝2时，A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，符合题意．②由a2－a＋1＝a，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，当a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合元素的互异性．综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2. (3)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． 解：B⊆A，分两种情况考虑： ①当B＝∅时，m＋1≤2m－1， 解得m≥2； ②当B≠∅时，有 解得－1≤m<2. 综上，实数m的取值范围为{m|m≥－1}． 1．给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅A，则A≠∅. 其中说法正确的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：①空集是它本身的子集，错误；②空集只有一个子集，错误；③空集不是它本身的真子集，错误；④空集是任何非空集合的真子集，正确． 2．(多选)已知集合A＝{0，2}，则(　　) A．∅⊆A B．2∈A C．{0，2}∈A D．A⊆{x|x<3} 答案：ABD 解析：对于A，由于空集是任何集合的子集，所以有∅⊆A，故A正确；对于B，因为A＝{0，2}，所以2∈A，故B正确；对于C，集合与集合之间的关系不能用“∈”符号来连接，故C错误；对于D，因为0<3且2<3，所以0∈{x|x<3}且2∈{x|x<3}，所以A⊆{x|x<3}，故D正确．故选ABD. 3．已知集合P＝{0，1}，Q＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则集合P，Q间的关系是(　　) A．P＝Q B．PQ C．QP D．不确定 答案：B 解析：由x2＋y2＝1，x∈N，得y＝±1，0，即Q＝{－1，0，1}，所以PQ.故选B. 4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有________个． 答案：7 解析：依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7个． 5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． ①若A是B的真子集，则实数a的取值范围为________； ②若B是A的子集，则实数a的取值范围为________； ③若A＝B，则实数a的值为________． 答案：①(2，＋∞)　②[1，2]　③2 解析：①若AB，由图可知a＞2，故实数a的取值范围为(2，＋∞)． ②若B⊆A，由图可知1≤a≤2，故实数a的取值范围为[1，2]． ③由A＝B，可得a＝2，故实数a的值为2. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 判断集合间的包含关系 集合的非空真子集个数 利用集合间的包含关系确定集合 集合间的包含关系、元素与集合的关系 判断集合间的真包含关系、相等关系 利用集合间的包含关系求参数值 利用集合的子集个数求参数值 利用集合间的包含、真包含关系确定集合 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 利用集合间的真包含关系求参数范围 利用集合间的相等关系求参数值 判断集合间的关系 利用集合间的包含关系求参数范围 利用集合间的包含关系求参数值 利用集合间的真包含关系、元素与集合的关系确定集合 利用集合间的包含关系求参数范围 利用集合间的真包含关系确定集合及参数范围 一、单选题 1．下列关系式不正确的是(　　) A．{1}⊆{1，2} B．{0}⊆{1，2} C．{2}⊆{1，2} D．1∈{1，2} 答案：B 解析：∵0∉{1，2}，∴{0}⊆{1，2}不正确，故B不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确． 2．已知集合A＝{x∈N|－2<x<3}，则集合A的所有非空真子集的个数是(　　) A．6 B．7 C．14 D．15 答案：A 解析：由题意可得A＝{0，1，2}，所以集合A的所有非空真子集的个数是23－2＝6.故选A. 3．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0，1，2，3}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：D 解析：∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0，2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0，2}，共4个．故选D. 4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论正确的是(　　) A．1∈A B．B⊆A C．(1，1)⊆B D．∅∈A 答案：B 解析：A项中集合A是一个点集，故1∉A；B项中B＝＝{(1，1)}，故B⊆A；C项中“⊆”表示集合与集合之间的关系，而(1，1)是一个元素，应为(1，1)∈B；D项中“∈”表示元素与集合之间的关系，而∅与A都是集合，应为∅⊆A.故选B. 5．若集合M＝，N＝，P＝，则M，N，P的关系是(　　) A．M＝NP B．MN＝P C．MNP D．NPM 答案：B 解析：M＝，N＝＝(n∈Z，q＝n－1∈Z)，P＝.所以MN＝P.故选B. 二、多选题 6．已知集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，若A⊆B，则实数a的值可以为(　　) A. B．1 C．0 D．以上都不对 答案：ABC 解析：因为集合A＝{x|ax＝1}，B＝{0，1，2}，A⊆B，所以A＝∅或A＝{1}或A＝{2}，所以不存在或＝1或＝2，解得a＝0或a＝1或a＝.故选ABC. 7．已知集合A＝{x|mx2＋4x＋1＝0}有2个子集，则m的值可以是(　　) A．0 B．2 C．3 D．4 答案：AD 解析：由题意可知，集合A中只有一个元素，当m＝0时，A＝，满足题意；当m≠0时，由题意，得Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.综上，m＝0或m＝4.故选AD. 三、填空题 8．满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－4＝0}的集合M共有________个． 答案：3 解析：因为{x|x2＋1＝0}＝∅，{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，其非空子集为{－2}，{2}，{－2，2}，所以满足条件{x|x2＋1＝0}M⊆{x|x2－4＝0}的集合M共有3个． 9．设A＝(－1，3]，B＝{x|x>a}，若AB，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1] 解析：根据题意画出数轴，如图所示．∵AB，∴a≤－1. 10．已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝________，y＝________． 答案：－1　－1 解析：由已知，得A＝B＝{0，|x|，y}，所以0∈A.若x＝0，则A＝{0，0，－y}，不满足元素的互异性；若xy＝0，即y＝0，则B＝{0，|x|，0}，也不满足元素的互异性．所以只有x－y＝0，即y＝x.所以A＝{x，xy，x－y}＝{x，x2，0}，B＝{0，|x|，x}．所以x2＝|x|，所以x＝0(舍去)或x＝1或x＝－1.当x＝1时，A＝B＝{1，1，0}，不满足元素的互异性，故x≠1.当x＝－1时，A＝B＝{－1，1，0}，满足题意．所以x＝y＝－1. 四、解答题 11．判断下列集合间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}； (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}； (3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}； (4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}． 解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA. (2)因为B中n∈Z，所以n－1∈Z，B与A都表示偶数集，所以A＝B. (3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}， B＝{x|2x－5≥0}＝， 利用数轴判断A，B的关系． 如图所示，所以AB. (4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}， B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B. 12．已知集合A＝{x|2m≤x≤m＋2}，B＝[－3，5]，若A⊆B，求实数m的取值范围． 解：①当A＝∅时，满足题意，此时，2m>m＋2， 即m>2； ②当A≠∅时，由A⊆B，得 解得－≤m≤2. 综上可得，实数m的取值范围是. 13．(多选)已知集合A＝{x|ax≤4}，B＝{4，}，若B⊆A，则实数a的值可能是(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：ABC 解析：因为B⊆A，所以4∈A，∈A，则解得a≤1.故选ABC. 14．非空集合P满足下列两个条件：(1)P{1，2，3，4，5}；(2)若元素a∈P，则6－a∈P，则集合P的个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 解析：由题意，若元素a∈P，则6－a∈P，可以推导出集合P中1，5要同时存在，2，4要同时存在，3可以存在也可以不存在，故集合P的个数是23－2＝6.故选C. 15．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围． 解：易知A＝{－4，0}，因为B⊆A， 所以分B＝A和BA两种情况． ①当A＝B时，B＝{－4，0}，则有－4，0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，于是得a＝1. ②当BA时，若B＝∅， 则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0， 解得a<－1； 若B≠∅，则B＝{－4}或{0}， Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0， 解得a＝－1，验证知B＝{0}满足条件． 综上可知，实数a的取值范围为{a|a＝1或a≤－1}． 16．已知集合P＝{x∈R|x2＋b＝0}，Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}． (1)若b＝4，存在集合M使得PMQ，求这样的集合M； (2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围． 解：(1)当b＝4时，方程x2＋4＝0无实根， 所以P＝∅， 又Q＝{x∈R|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}＝{－4，－1，1}， 所以PQ. 由已知，得M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，故可得这样的集合M共有23－2＝6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4，1}，{－1，1}． (2)当P＝∅时，P是Q的一个子集，此时b>0. 当P≠∅时，因为Q＝{－4，－1，1}，若P⊆Q，则b＝－1. 综上，b的取值范围是(0，＋∞)∪{－1}． 13 学科网（北京）股份有限公司 $