1.1.2 集合的基本关系（教学课件）高一数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的基本关系，涵盖子集、真子集、集合相等及有限集子集个数等核心知识点。通过生活情境（如戴眼镜同学与全班同学、正方形与矩形）类比导入，衔接集合概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于运用Venn图、数轴等数形结合方式，实现符号语言与图形语言转换，培养数学抽象与逻辑推理素养。“牛刀小试”“典型例题”分层训练，小结用“一句话+关键词”梳理，助学生系统掌握，教师教学更高效。

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系 1.1集合 【新教材】人教B版·高一必修第一册 学 习 目 标 1 2 3 理解子集、真子集的概念，理解集合间的包含与相等关系，能用韦恩图（Venn图）表示集合关系 能判断两个集合间的包含、相等关系，能识别给定集合的子集，能进行自然语言、符号语言与图形语言之间的转换 通过类比、从具体到抽象的过程，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养 同学们，先来看一个小问题：我们班所有戴眼镜的同学，和我们班所有同学，这两个”群体”之间是什么关系？ 所有的正方形 和 所有的矩形 所有的等腰三角形 和 所有的三角形 你本学期所有的数学课 和 你本学期所有的课 在这些例子中，前者的每一个元素，都同时属于后者。就好像一个”小圈子”完全被包含在一个”大圈子”里面。 在集合的世界里，这种”一个集合完全装在另一个集合里”的关系，就是我们今天要研究的——集合的基本关系。 生活情境 目标一：子集 ①维恩图 如果用平面上一条封闭 曲线的内部来表示集合， 那么我们就可作出示意 图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通 常称为维恩(Venn)图。如图 提醒 (1)表示集合的 Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线。 (2)用 Venn 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象，即能够直观地表示集合之间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显。 ② 子集的概念 概念 一般地,如果集合的任意一个元素都是集合的元素,那么集合称为集合的子集,记作(或),读作”包含于“(或”包含“) 图示 性质 (1)任意集合都是它自身的子集,即。(2)空集是任意一个集合的子集,即。(3)传递性:对于集合,如果,则 【知识剖析】(1)“A 是 B 的子集”的含义:集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素,即由任意的x∈A,能推出 x∈B。 (2)如果集合A中存在着不是集合B的元素,那么A不包含于B,或B不包含A,分别记作A⊈B或B⊉A。 (3)若A⊆B,则A有以下三种情况: ①A是空集; ②A是由B的部分元素构成的集合； ③A是由B的全部元素构成的集合。 故不能简单地认为“若A⊆B,则A是由B的部分元素构成的集合”。 关系判断 典例分析 牛刀小试 1、（多选）已知集合，则下列式子表示正确的是( )。 A. B. C. D. 解 由题意,得,因此,,故 A,C,D 正确。因为“”表示的是元素与集合之间的关系,而是一个集合,所以 B 不正确。 答 ACD 点评 “∈” 与 “⊆” 表示的含义不相同。 “∈” 表示的是元素与集合之间的关系， “⊆” 表示的是两个集合之间的关系。如： {a} 表示有一个元素 a 的集合，{a}⊆A 表示 {a} 是集合 A 的子集，而 a∈A 表示 a 是集合 A 的元素。 关系判断 典例分析 牛刀小试 2、（多选）已知集合，则下列式子表示正确的是( )。 A. B. C. D. 解 由题意,得,因此,,故 A,C,D 正确。因为“”表示的是元素与集合之间的关系,而是一个集合,所以 B 不正确。 答 ACD 点评 “∈” 与 “⊆” 表示的含义不相同。 “∈” 表示的是元素与集合之间的关系， “⊆” 表示的是两个集合之间的关系。如： {a} 表示有一个元素 a 的集合，{a}⊆A 表示 {a} 是集合 A 的子集，而 a∈A 表示 a 是集合 A 的元素。 目标二：真子集 概念 一般地,如果集合是集合的子集,并且中至少有一个元素不属于,那么集合称为集合的真子集,记作(或),读作”真包含于“(或”真包含“) 图示 性质 (1)任意集合都不是它自身的真子集。(2)空集是任意一个非空集合的真子集,即。(3)传递性:对于集合,如果,,则 【知识剖析】(1)真子集的概念也可以叙述为:若集合A⊆B,存在元素x∈B且x∉A,则称集合A是集合B的真子集。 (2)集合A是集合B的真子集,需要满足以下两个条件:①集合A是集合B的子集;②存在元素x∈B,且x∉A。所以,如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,反之不成立。 (3)⌀是任何非空集合的真子集,这里强调的是 “非空”两字,解题时不能丢掉空集这一情况 (4)任何集合都一定有子集,但是不一定有真子 集。空集没有真子集,一个集合的真子集的个数 比子集的个数少1。 真子集 真子集判断 典例分析 牛刀小试 1、 设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 答 由， 得或， 。 ，故为集合的子集。 由1个元素组成的集合的子集为，，。 由2个元素组成的集合的子集为。 由 3 个元素组成的集合 的子集为 。 因此 的子集有: ,共 8个;真子集有:,共 7 个。 目标三：集合相等 ①集合相等 ① 集合相等的定义 一般地,如果集合A和集合B的元素完全相同,则称集合A与集合B相等,记作A=B,读作”A等于B“。 由集合相等的定义可知:如果A⊆B且B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B且B⊆A。 证明:因为A⊆B,所以集合A中的元素都是集合B中的元素,又B⊆A,所以集合B中的元素都是集合A中的元素,这就是说,集合A中与集合B中的元素是完全相同的,所以我们说集合A与B是相等的。 ②集合相等解读 提醒 (1)若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关,如{1,2,3}={3,2,1}。 (2)如果A⊆B,B⊆A,则A=B;反之,如果A=B,则A⊆B,且B⊆A。这就给出了我们证明两个集合相等的方法,即欲证A=B,只需证A⊆B与B⊆A都成立即可。 (3)判断两个集合是否相等,要把握两个原则:①对于元素较少的有限集,可用列举法将元素一一列举出来,看两个集合中的元素是否完全相同;②若两个集合是无限集,则从“互为子集”入手进行判断。 集合相等判断 典例分析 牛刀小试 1、（多选）下列各组中的两个集合相等的有( )。 A. B. C. D. 解 A 中, 对于 , 所以 也表示偶数集, 所以 。B 中, 是由 1, 所有正奇数组成的集合, 是由 3, 所有大于 1 的正奇数组成的集合, , 所以集合 与集合 不相等。C 中, 中当 为奇数时, x==0; 当 为偶数时, , 所以 。D 中, 集合 的代表元素是数, 集合 的代表元素是有序数对, 故两集合不相等。 ③集合间的关系辨析 两集合间的关系 两个集合A,B之间的包含关系如下： 提醒 ①注意符号“⊆”与“⫋”的区别。A⊆B⇒A=B 或 A⫋B。若 A⊆B 和 A⫋B 同时成立，则 A⫋B 更能准确地表示集合A,B之间的关系。 例如,若集合 A={1,2},B={1,2,3},则集合 A 是集合 B 的子集,也是集合 B 的真子集,用 A⊆B 与 A⫋B 均可,但用 A⫋B 更准确。 ②若 A⊆B 和 A=B 同时成立,则 A=B 更能准确地表示出集合A,B之间的关系。 ③类比实数 【辨析比较】 集合之间的关系与实数的大小关系可进行类比：   实数 集合 定义 包含两层含义： 或 包含两层含义： 或 相等 若 , 且 , 则 若 , 则 传递性 若 , 则 若 , 则 若 , 则 若 , 则 各种关系综合判断 典例分析 牛刀小试 1、下列各式中正确的有( )。 ①；②； ③；④；⑤；⑥；⑦。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解 对于①，是集合与集合的关系，应为。对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集。对于③，空集是任何集合的子集。对于④，是含有元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的 真子集,所以。对于⑤,是含两个元素0与1的集合,而是以有序数对为元素的单元素集合,所以与不相等。对于⑥,是含有单元素0的集合,0与是”属于”与”不属于”的关系,所以。对于⑦,因为,所以,所以。所以②③⑦是正确的。故选C。 答 C 首先要分清是元素与集合的关系，还是集合与集合的关系，如果是集合与集合的关系，还要分清是什么关系 目标四：有限集的子集个数 由子集的定义,可知若集合 A 是集合 B 的子集, 则有 A⊆B。它包含以下几个方面: (1)A=⌀;(2)A⫋B;(3)A=B。 由以上知识,可以得到: 集合 元素个数 所有子集 子集个数 1 2 3 4 综上所述,集合中的元素个数每增加1个,其子集的个数变为原来的2倍,易知非空集合的真子集个数比子集个数少1,当集合中元素个数为时,有如下结论: ①含有个元素的集合有个子集; ②含有个元素的集合有个真子集; ③含有个元素的集合有个非空子集; ④含有个元素的集合有个非空真子集。 子集个数推算 典例分析 牛刀小试 1、已知集合 满足 ，则满足条件的集合 的个数 为__________。  解 方法一:由题意可以确定集合必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合的元素个数分类如下。 含有 3 个元素:,,。 含有4个元素:,,。 含有5个元素:。 故满足条件的集合为,,,,,,,共7个。 方法二:由题意,可知集合的个数即集合的非空子集的个数,故集合的个数为。 列举法和公式法 目标五：典型例题 1 题型一 集合关系判断 写出下列每对集合之间的关系: (1) (2) (3) (4)G={x|x是对角线相等且互相平分的四边形}, H={x|x是有一个内角为直角的平行四边形}.  解:(1)因为B的每个元素都属于A,而4∈A且4∉B,所以B⊆A. (2)不难看出,C和D包含的元素都是1和-1,所以C=D. (3)在数轴上表示出区间E和F, 由图可知，F⊆E. 解:(4)如果x∈G,则是对角线相等且互相平分的四边形, 所以是矩形,从而可知x是有一个内角为直角的平行四边形, 所以x∈H,因此G⊆H. 反之,如果x∈H,则是有一个内角为直角的平行四边形, 所以是矩形,从而可知x是对角线相等且互相平分的四边形, 所以x∈G,因此H⊆G, 综上可知,G=H. 典例分析 例 2 题型一 集合关系判断 下列正确表示集合 和 关系的维恩图是( )。  解 由 ，得 。 对照维恩图可知选项 B 正确。 我们常用封闭曲线的内部表示集合,称为Venn 图。用 Venn 图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。 典例分析 例 3 题型一 集合关系判断 已知集合，集合，则集合与的关系是______。  解 在数轴上表示出集合,如图所示,易知。 数轴示意图 用数轴或数轴上的部分来表示集合的方法叫作 数轴法。 典例分析 例 4 题型二 利用集合间的关系求参 设集合,且,则的值为______。 解 ,且 或。由,得或,满足题意;由,得,经检验,时集合不满足集合中元素的互异性,舍去。故或。 答 -1或2 点评 解此题的关键是利用子集的概念，并注意结合集合中元素的互异性对的值进行检验。 典例分析 例 5 题型二 利用集合间的关系求参 已知集合 。 若 ,求实数 的取值范围； 若 ,求实数 的取值范围。 答 (1)若 ,则集合 肯定不是空集, 则有 或 无解,   不存在。 即不存在实数 使 。 此类问题的易错点有三个地方:①忽略A=⌀ 的情况;②在数轴上表示两个集合时,没有分 清实心点与空心圈;③没有弄清包含关系,没 有正确地列出不等式或不等式组。 ①若 ,则 ,即 , 此时满足 ; ② 若 , 则 由①②可得,符合题意的实数 的取值范围 为 。 典例分析 例 目标六：针对训练 举一反三 1.已知集合，集合.若集合，则实数的取值范围是() A. B. C. D. 解析: 集合，集合， 若集合，则.故选 A.   2.已知集合，，则(D) A. B. C. D. 解析: 集合，， A，B，两个数集之间应是包含关系而不是属于关系，故A不正确. 由条件可得，且，所以B，C错误，D正确.故选D.     举一反三 3.下列命题中，正确的有() ①空集是任何集合的真子集; ②若，，则; ③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集; ④若不属于的元素一定不属于，则. A.①② B.②③ C.②④ D.③④  解析：①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故①错误; ②真子集具有传递性，故②正确; ③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错误; ④由维恩图易知④正确.故选C. 4.下列命题中，正确的有() ①空集是任何集合的真子集; ②若，，则; ③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集; ④若不属于的元素一定不属于，则. A.①② B.②③ C.②④ D.③④  解析: 由得或，即或或.当时，，，符合题意;当时，，，不符合元素的互异性，舍去; 当时，，，符合题意.综上，或. 故选 C. 举一反三 5.已知集合，则满足 的集合的个数为() A.16 B.14 C.8 D.2 解析: 由集合， 可得集合中的元素有， 所以集合的任何一个子集， 添加元素后都可以作为集合, 所以符合条件的集合共有个.故选A. 举一反三 6.设集合 ，集合 ，若 ，则实数 取值集合的真子集的个数为() A.2 B.3 C.7 D.8 解析: 由，得，解得或， 所以. 当时，，满足； 当时，，因为，所以或，解得或. 综上，实数取值的集合为， 所以实数取值集合的真子集的个数为，故选C. 目标七：小结 学海拾贝 知识小结 本节课我们学习了集合之间的三种基本关系，可以用”一句话 + 三个关键词”来总结： 一句话： 集合之间的关系，本质上就是”谁包含谁”的问题。 三个关键词： 子集：子集 A 的每个元素都在 B 里A⊆B （或 B⊇A ） 真子集： A 是 B 的子集，且 B 里还有 A 没有的元素A⫋B 集合相等： A、B 互相包含，元素完全一样 A=B 学海拾贝 易混符号：∈ 和 ⊆ 别搞混： ∈ 是”元素属于集合”， ⊆ 是”集合包含于集合”。一个是个体与集体的关系，一个是集体与集体的关系。 空集：空集是个特殊角色， ∅ 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。遇到含参数的集合问题，别忘了检验空集的情况！ 子集的个数公式： 若一个集合有 n 个元素，则它有 2 n 个子集， 2 n −1 个真子集， 2 n −2 个非空真子集。 学海拾贝 【思想方法】 数形结合： 用 Venn 图直观表示集合关系，把抽象的符号变成看得见的图形。 分类讨论： 遇到含参数的集合关系问题，按”空集 → 非空集合”的顺序逐一讨论，做到不重不漏。 【新教材】人教B版·高一必修第一册 感谢聆听! $