第4章 指数函数与对数函数 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 一、指数函数、对数函数的图象及应用 识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的变化趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特殊点对应的函数值． 指数函数与对数函数的图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0(a>0，且a≠1)． 典例1　(1)若函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) [解析]　由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A中函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；B中对应函数解析式为y＝x3，与图象相符；C中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x>0时，y<0，与图象不符；D中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上单调递减，与图象不符．故选B. [答案]　B (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝. ①在下图中画出函数f(x)的图象； ②根据图象写出函数f(x)的单调区间及值域． [解]　①先作出当x≥0时，f(x)＝的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象，如图所示． ②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]． [素养训练1]　(1)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 答案：A 解析：由f(x)的图象知，0<a<1，b<－1，故g(x)＝ax＋b的图象为A. (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象一定经过的点为________． 答案：(0，－2) 解析：函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，0)，y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象是由y＝logax(a>0，且a≠1)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，故其恒过定点(0，－2)． 二、指数函数、对数函数的性质及应用　　 指数函数、对数函数性质的应用主要体现在以下几个方面：(1)以指数函数、对数函数的性质为依托，考查函数的图象；(2)利用指数函数、对数函数的单调性比较大小、解不等式；(3)以指数函数、对数函数为载体的复合函数的单调性、奇偶性的判断及应用． 典例2　(1)设a＝0.20.5，b＝log53，c＝50.2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b [解析]　因为0<a＝0.20.5＝<＝，1>b＝log53>log55＝，c＝50.2>50＝1，所以a<b<c.故选A. [答案]　A (2)已知函数f(x)＝x2＋log2|x|，则不等式f(x＋1)－f(2)<0的解集为________． [解析]　根据f(x)＝x2＋log2|x|可知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且该函数为偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，又f(x＋1)－f(2)<0，即f(x＋1)<f(2)，所以解得－3<x<1且x≠－1，因此不等式的解集为(－3，－1)∪(－1，1)． [答案]　(－3，－1)∪(－1，1) [素养训练2]　设函数f(x)＝kax－a－x(a>0，且a≠1)是定义域为R的奇函数，且f(1)＝. (1)若f(m2＋2m)＋f(m－4)>0，求m的取值范围； (2)若g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值． 解：(1)由题意，得f(0)＝0，即k－1＝0， 解得k＝1， 经检验，满足函数f(x)是奇函数， 由f(1)＝，得a－a－1＝， 解得a＝2或a＝－(舍去)， 所以f(x)＝2x－2－x. 因为f(x)为奇函数且是R上的增函数， 所以由f(m2＋2m)＋f(m－4)>0， 得f(m2＋2m)>f(4－m)，所以m2＋2m>4－m， 解得m<－4或m>1. 所以m的取值范围为(－∞，－4)∪(1，＋∞)． (2)g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2， 令t＝2x－2－x，由x≥1，得t≥21－2－1＝， 又y＝t2－2mt＋2的图象的对称轴为直线t＝m， 当m≥时，ymin＝m2－2m2＋2＝－2， 解得m＝2(m＝－2舍去)； 当m<时，ymin＝－3m＋2＝－2，解得m＝， 又>，所以m＝舍去． 综上，m＝2. 三、函数零点与方程的根 确定函数零点个数的方法：(1)解方程f(x)＝0得几个解即函数有几个零点；(2)利用图象找y＝f(x)的图象与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数． 典例3　设函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋k. (1)函数f(x)有零点吗？ (2)为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，k应该怎样限制？ (3)当k＝－1时，函数g(x)有零点吗？如果有，把它求出来；如果没有，请说明理由． [解]　(1)画出函数f(x)的图象，如图1，可以看出，图象与x轴没有交点，故函数f(x)没有零点． (2)从图1可以看出f(x)>0. 对于g(x)＝f(x)＋k，为了使方程g(x)＝0有且只有一个根，f(x)的图象必须向下移动，但移动的幅度要小于1，否则g(x)＝0就有两个根了． 所以k应限制为－1<k<0.几何解释如图2. (3)有．由2x－1＝0，得x＝0； 由－x－1＝0，得x＝－1. 0和－1均是函数g(x)的零点． [素养训练3]　(1)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________． 答案：x1＜x2＜x3 解析：令x＋2x＝0，得2x＝－x；令x＋ln x＝0，得ln x＝－x；在同一平面直角坐标系中画出y＝2x，y＝ln x，y＝－x的图象，如图，可知x1＜0＜x2＜1.令h(x)＝x－－1＝0，则()2－－1＝0，所以＝，即x3＝＞1，所以x1＜x2＜x3. (2)已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，1) 解析：画出f(x)的图象如图所示，要使方程f(x)－a＝0有三个不同的实数解，则需f(x)的图象与直线y＝a有三个交点，由图可知，实数a的取值范围是(0，1)． 四、函数模型的应用　　 解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答． 典例4　某工厂因排污比较严重，决定着手整治，整治后前四个月的污染度如下表： 月数 1 2 3 4 … 污染度 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)，h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度． (1)试问用哪个函数模拟比较合理，并说明理由(参考数据：log23≈1.58)； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? [解]　(1)用h(x)模拟比较合理．理由如下： f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30； f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.6. 由此可得h(x)更接近实际值， 所以用h(x)模拟比较合理． (2)因为h(x)＝30|log2x－2|在[4，＋∞)上是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60. [素养训练4]　某野生核桃树在自然繁衍的初始阶段，累计野生核桃树棵数N(单位：棵)与时间t(单位：年)的关系为N(t)＝a·(2e)mt，其中指系数m与野生核桃树品种在自然繁衍的初始阶段的棵数N0相关，相邻两代的平均时间T(单位：年)近似满足m＝，若已经测算出N0＝17.9，T＝2.3.据此，累计野生核桃树棵数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　) A．1年 B．2年 C．3年 D．4年 答案：C 解析：因为N0＝17.9，T＝2.3，所以m＝＝，所以N(t)＝a·(2e) ，设累计野生核桃树棵数增加1倍需要的时间为t1年，则a·(2e) ＝2a·(2e)，所以(2e)＝2，所以＝log(2e)2＝＝≈＝，所以t1≈＝3.故选C. 7 学科网（北京）股份有限公司 $