3.1.1 第2课时 函数的概念(二)-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 第2课时　函数的概念(二) (教师独具内容) 课程标准：1.能正确使用区间表示数集.2.会求一些简单函数的值域.3.会判断两个函数是否为同一个函数． 教学重点：1.求一些简单函数的值域.2.判定两个给定的函数是否是同一个函数． 教学难点：掌握函数值域的求解方法． 核心素养：1.通过对区间概念的理解，判断两个函数是否为同一个函数，提升数学抽象素养.2.通过求一些简单函数的值域，提升逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　区间的概念及几何表示 (1)区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]． 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点． 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)． (2)区间的几何表示 在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 区间 数轴表示 [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] (3)含“∞”的区间的几何表示 区间 数轴表示 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b) [想一想]　区间是数集的另外一种表示形式，那么任何数集都可以用区间表示吗？ 提示：不是任何数集都可以用区间表示，如集合{1，2，3}就不能用区间表示． 知识点二　同一个函数的判定 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 知识点三　常见函数的值域 (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R． (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为，当a<0时，值域为． 1．(区间的概念)区间[1，2)表示的集合为(　　) A．{x|1<x<2} B．{x|1≤x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2} 答案：B 2．(函数的值域)函数f(x)＝3x－1，x∈[0，1]的值域是(　　) A．[－1，2] B．(－1，2) C．[0，3] D．[0，2] 答案：A 3．(同一个函数的判定)已知函数f(x)与函数g(x)＝是同一个函数，则函数f(x)的定义域为________． 答案：(－∞，0)∪(0，1] 4．(抽象函数的定义域)已知函数y＝f(x)的定义域为[1，9]，则函数y＝f(x2)的定义域为________． 答案：[－3，－1]∪[1，3] 题型一　区间的应用 例1　将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1){x|3<x<5}； (2){x|x<2}； (3){x|－1<x<0，或1≤x≤5}； (4){x|2≤x≤8，且x≠5}． [解]　(1){x|3<x<5}用区间表示为(3，5)，用数轴表示如图． (2){x|x<2}可以用区间表示为(－∞，2)，用数轴表示如图． (3){x|－1<x<0，或1≤x≤5}可以用区间表示为(－1，0)∪[1，5]，用数轴表示如图． (4){x|2≤x≤8，且x≠5}用区间表示为[2，5)∪(5，8]，用数轴表示如图． 【感悟提升】用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 【跟踪训练】 1．(1)用区间表示集合{x|x≥0，且x≠2}为________． 答案：[0，2)∪(2，＋∞) 解析：{x|x≥0，且x≠2}用区间可表示为[0，2)∪(2，＋∞)． (2)已知区间[a，2a＋1]，则a的取值范围是________． 答案：(－1，＋∞) 解析：由题意，得2a＋1>a，解得a>－1，即a的取值范围为(－1，＋∞)． 题型二　求函数的值域 例2　求下列函数的值域： (1)y＝2＋3； (2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1，0，1，2，3}； (3)y＝； (4)y＝2x－. [解]　(1)因为≥0，所以2≥0. 所以2＋3≥3. 故y＝2＋3的值域为[3，＋∞)． (2)当x＝－2，－1，0，1，2，3时，y＝11，6，3，2，3，6. 故函数的值域为{2，3，6，11}． (3)y＝＝＝2＋. 因为≠0，所以y≠2. 故函数的值域为{y∈R|y≠2}． (4)设t＝， 则t≥0，且x＝t2＋1. 所以y＝2(t2＋1)－t ＝2＋. 由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为. 【感悟提升】求函数值域的常用方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到． (2)配方法：是求“二次函数类”值域的基本方法． (3)图象法：通过画出函数的图象，由图形的直观性获得函数的值域． (4)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b±(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法． (5)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． 【跟踪训练】 2．求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1，5]； (3)y＝； (4)y＝2x＋4. 解：(1)∵0≤16－x2≤16， ∴0≤≤4， 即函数y＝的值域为[0，4]． (2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2， 由x∈[1，5]，结合函数图象知y∈[2，11]． (3)∵y＝＝＝1－，且定义域为{x|x≠－1}， ∴≠0，即y≠1. ∴函数y＝的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． (4)令t＝(t≥0)，则x＝1－t2， 则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4(t≥0)． 当t＝1时，y取得最大值4， 故函数y＝2x＋4的值域为(－∞，4]． 题型三　同一个函数的判定 例3　下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x| [解析]　对于A，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；对于B，函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数；对于C，由于f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数；对于D，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数． [答案]　B 【感悟提升】判断两个函数为同一个函数的条件 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 【跟踪训练】 3．下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．y＝2x＋1与y＝ B．y＝与y＝x0 C．y＝与y＝x－1 D．y＝2x2＋x＋1与y＝2t2＋t＋1 答案：D 解析：∵y＝＝＝|2x＋1|，∴A中的对应关系不同；B中的对应关系不同；C中的定义域不同；只有D符合题意． 题型四　求抽象函数的定义域 例4　　(1)已知函数f(x)的定义域为(－2，10)，则函数f(3x＋1)的定义域为(　　) A．(－1，3) B．(－5，31) C．(－1，31) D．(－5，3) [解析]　由3x＋1∈(－2，10)，得x∈(－1，3)，所以函数f(3x＋1)的定义域为(－1，3)．故选A. [答案]　A (2)已知函数f(x＋1)的定义域为[－2，2)，则函数f(x)的定义域为________． [解析]　对于f(x＋1)，令t＝x＋1⇒x＝t－1∈[－2，2)，则t∈[－1，3)，所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1，3)． [答案]　[－1，3) 【感悟提升】求抽象函数的定义域的方法 (1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f(g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即为定义域． (2)已知f(g(x))的定义域为[c，d]，求f(x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]的范围(值域)即为定义域． 【跟踪训练】 4．已知f(x2－1)的定义域为[1，3]，则f(2x－1)的定义域为________． 答案： 解析：由f(x2－1)的定义域为[1，3]，所以x2∈[1，9]，所以x2－1∈[0，8]，所以f(x)的定义域为[0，8]，令2x－1∈[0，8]，得2x∈[1，9]，即x∈，所以f(2x－1)的定义域为. 1．如果函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　) A．{－1，0，3} B．{0，1，2，3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 答案：A 解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，所以函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}． 2．下列函数中值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 答案：B 解析：y＝的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．故选B. 3．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　) A．f(x)＝与g(x)＝x B．f(x)＝x与g(x)＝ C．f(x)＝x0与g(x)＝ D．f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1 答案：CD 解析：对于A，两个函数的定义域均为{x|x≤0}，但f(x)＝＝|x|＝－x与g(x)＝x的对应关系不同，故不是同一个函数；对于B，g(x)＝＝|x|与f(x)＝x的定义域均为R，但对应关系不同，故不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域都是{x|x≠0}，且f(x)＝x0＝1，g(x)＝＝1，两个函数的对应关系也相同，故是同一个函数；对于D，f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应关系也相同，故是同一个函数．故选CD. 4．若[a，3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________． 答案： 解析：由题意可知3a－1>a，解得a>. 5．已知函数f(x)的定义域为(0，)，则函数y＝f(x＋)的定义域为________． 答案：(－，0) 解析：由题意，函数f(x)的定义域为(0，)，所以在y＝f(x＋)中，0<x＋<，解得－<x<0.故函数y＝f(x＋)的定义域为(－，0)． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 对点 集合与区间的互化 区间 的应 用　 函数定义域的区间表示 求函数的值域——观察法 函数定义域的区间表示 区间 的应 用　 根据函数的值域求定义域 抽象函数的定义域 求函数的值域——观察法 函数定义域、值域的区间表示 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 对点 同一个 函数的 判定　 抽象函 数的定 义域　 求函数的值域——分离常数法 根据函数的定义域求参数范围 求函数的值域——换元法 根据函数的定义域、值域求参数 根据新定义求函数值、定义域、值域 同一个函数的判定 新定义背景下函数概念的综合应用 一、单项选择题 1．集合{x|2x＋1≥5}表示成区间是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 答案：B 解析：由2x＋1≥5，得x≥2，表示成区间是[2，＋∞)．故选B. 2．已知集合A＝[－1，4)，B＝(0，5]，则A∪B＝(　　) A．[－1，5] B．(0，4) C．[0，4] D．(－1，5) 答案：A 解析：A＝[－1，4)，B＝(0，5]，根据并集的定义可知A∪B＝[－1，5]．故选A. 3．函数f(x)＝－的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：由可得－<x<1. 4．函数f(x)＝(x∈R)的值域是(　　) A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1) 答案：C 解析：因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤1，所以函数f(x)的值域为(0，1]．故选C. 5．一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为h＝130t－5t2.则该函数的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．(0，845] C．[0，26] D．[0，845] 答案：C 解析：由题意可知，炮弹发射后共飞行了26 s，所以0≤t≤26，即函数h＝130t－5t2的定义域为[0，26]．故选C. 6．若函数f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3，4a]，则实数a的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(－2，－1) 答案：A 解析：由区间的定义知解得1＜a＜2.故选A. 7．已知函数f(x)＝－3x－4的值域为[－10，5]，则函数f(x)的定义域为(　　) A．[－2，3] B．[2，3] C．[－3，－2] D．[－3，2] 答案：D 解析：函数f(x)＝－3x－4的值域为[－10，5]，则－10≤－3x－4≤5，解得－3≤x≤2，所以函数f(x)的定义域为[－3，2]．故选D. 8．已知函数f(x)的定义域是[－1，3]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[－3，1) B．(0，1) C．[0，1) D．[－3，1] 答案：C 解析：由函数f(x)的定义域是[－1，3]，结合函数g(x)＝的特征可知，解得0≤x<1，故函数g(x)＝的定义域为[0，1)．故选C. 二、多项选择题 9．下列函数中，值域为[0，4]的是(　　) A．f(x)＝x－1，x∈[1，5] B．f(x)＝－x2＋4 C．f(x)＝ D．f(x)＝x＋－2(x>0) 答案：AC 解析：当x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，所以函数f(x)＝x－1，x∈[1，5]的值域是[0，4]，故A符合题意；因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4，所以函数f(x)＝－x2＋4的值域是(－∞，4]，故B不符合题意；因为－|x|≤0，所以16－|x|≤16，又16－|x|≥0，所以0≤≤4，即函数f(x)＝的值域为[0，4]，故C符合题意；因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以x＋－2≥0，故函数f(x)＝x＋－2(x>0)的值域为[0，＋∞)，故D不符合题意．故选AC. 10．下列函数的定义域与其值域的交集是[0，1]的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝1－x2 D．y＝ 答案：BD 解析：y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，A不符合题意；y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，1]，B符合题意；y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C不符合题意；y＝的定义域A＝[－1，1]，值域B＝[0，1]，则A∩B＝[0，1]，D符合题意．故选BD. 11．下列四组函数中是同一个函数的是(　　) A．f(n)＝n＋1，n∈N；g(x)＝x－1，x∈Z B．f(x)＝|x|；g(x)＝ C．f(x)＝；g(t)＝ D．f(x)＝；g(x)＝()2 答案：BC 解析：对于A，函数f(n)的定义域为N，函数g(x)的定义域为Z，定义域不同，不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，且g(x)＝＝|x|，对应关系相同，故是同一个函数；对于C，函数f(x)的定义域为{x|x>0}，函数g(t)的定义域为{t|t>0}，且f(x)＝＝x，g(t)＝＝t，故对应关系相同，故是同一个函数；对于D，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数．故选BC. 三、填空题 12．已知函数y＝f(2x＋1)的定义域是[－1，0]，则y＝f(x)的定义域是________． 答案：[－1，1] 解析：因为x∈[－1，0]，则2x＋1∈[－1，1]，故y＝f(x)的定义域是[－1，1]． 13．函数y＝的值域为________． 答案：(－∞，3)∪(3，＋∞) 解析：因为y＝＝＝3＋，又因为≠0，所以3＋≠3，所以函数y＝的值域为(－∞，3)∪(3，＋∞)． 14．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－2] 解析：因为f(x)＝的定义域为R，所以不等式x2－2x－a－1≥0恒成立，所以由二次函数的性质可知Δ＝4－4(－a－1)≤0，解得a≤－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2]． 15．函数f(x)＝＋x－1的值域为(　　) A. B. C．[－1，＋∞) D．(－∞，－1] 答案：C 解析：记t＝(t≥0)，则x＝t2，所以y＝t＋t2－1＝－.因为t≥0，所以当t＝0时，y取得最小值，为0＋02－1＝－1.故函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．故选C. 16．已知函数f(x)＝x2－x＋的定义域和值域均为[1，m]，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：A 解析：f(x)＝x2－x＋＝(x－1)2＋1图象的对称轴为直线x＝1，顶点为(1，1)且图象开口向上，因为m＞1，所以要使f(x)的定义域和值域均为[1，m]，则所以m2－m＋＝m，解得m＝3或m＝1(舍去)． 17．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　) A．10个 B．9个 C．8个 D．4个 答案：B 解析：由2x2－1＝1，2x2－1＝7得x的值为1，－1，2，－2，符合题意且定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，所以共有4＋4＋1＝9个“孪生函数”． 18．已知函数f(x)＝(x＞1)，g(x)＝(x≥2)，若存在函数F(x)，G(x)满足：F(x)＝|f(x)|·g(x)，＝|g(x)|，学生甲认为函数F(x)，G(x)一定是同一个函数；学生乙认为函数F(x)，G(x)一定不是同一个函数；学生丙认为函数F(x)，G(x)不一定是同一个函数．你认为哪位学生的观点正确？为什么？ 解：因为f(x)＝(x＞1)， g(x)＝(x≥2)， 所以|f(x)|＝(x＞1)， 所以F(x)＝·＝(x≥2)． 因为＝|g(x)|， 所以＝(x≥2)， 解得G(x)＝(x≥2)， 所以F(x)＝G(x)＝(x≥2)． 故学生甲的观点正确． 19．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}． (1)求证：A⊆B； (2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1，3}，求集合B. 解：(1)证明：若A＝∅，则A⊆B显然成立； 若A≠∅，设t∈A，则f(t)＝t，f(f(t))＝f(t)＝t，t∈B，从而A⊆B. 综上所述，A⊆B. (2)因为A＝{－1，3}， 所以f(－1)＝－1，且f(3)＝3， 即 所以所以 所以f(x)＝x2－x－3. 因为B＝{x|f(f(x))＝x}， 所以(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x， 所以(x2－x－3)2－x2＝0， 即(x2－3)(x2－2x－3)＝0， 所以(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0， 所以x＝±或x＝－1或x＝3. 所以B＝{－，－1，，3}． 15 学科网（北京）股份有限公司 $