4.2.1 指数函数的概念-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 4.2.1　指数函数的概念 (教师独具内容) 课程标准：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 教学重点：1.指数函数的概念.2.指数函数的实际应用． 教学难点：指数函数的实际应用． 核心素养：1.通过教材中的实例抽象出指数函数概念的过程，发展数学抽象素养.2.借助指数函数的实际应用，培养数学建模素养． 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． [想一想]　指数函数中为什么要规定a>0，且a≠1? 提示：(1)如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义． (2)如果a<0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义． (3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1. 知识点二　指数增长模型 在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． 1．(指数函数的判断)下列函数是指数函数的是(　　) A．y＝3×2x B．y＝2x＋1 C．y＝x3 D．y＝3－x 答案：D 2．(由指数函数的定义求参数范围)若函数y＝(4－3a)x是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B. C．(－∞，1)∪ D. 答案：C 3．(指数函数的解析式)若指数函数f(x)的图象过点(2，4)，则指数函数f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝2x 题型一　指数函数的概念　　 例1　　下列函数中，指数函数的个数是(　　) ①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2×3x. A．1 B．2 C．3 D．0 [解析]　①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0，且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D. [答案]　D 【感悟提升】指数函数解析式必须具备的三个特征 (1)底数是大于0且不等于1的常数． (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上． (3)ax的系数必须为1. 【跟踪训练】 1．若函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，则a＝________． 答案：－1 解析：因为函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，所以a2＝1，2－a>0，且2－a≠1，解得a＝－1. 题型二　指数函数的解析式及应用 例2　(1)若点(a，27)在函数y＝()x的图象上，则a的值为(　　) A．6 B．1 C．8 D．0 [解析]　∵点(a，27)在函数y＝()x的图象上，∴27＝()a，即33＝3，∴＝3，解得a＝6. [答案]　A (2)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)＝(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 [解析]　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由指数函数y＝f(x)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(4)f(2)＝24×22＝64. [答案]　D 【感悟提升】求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)． (2)利用已知条件求底数a. (3)写出指数函数的解析式． 【跟踪训练】 2．指数函数y＝f(x)的图象经过点(π，)，则f(－π)＝________． 答案： 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由题意知，f(π)＝aπ＝，∴a＝()，∴f(x)＝()，∴f(－π)＝()＝()－1＝. 题型三　指数型函数的实际应用 例3　目前某县有100万人，经过x年后有y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(可借助于计算器，结果精确到0.1万人)． [解]　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； …… 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)，即y＝100×1.012x(x∈N*)． (2)当x＝10时，y＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人． 【感悟提升】常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 【跟踪训练】 3．(1)一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为(　　) A．na(1－b%)万元 B．a(1－nb%)万元 C．a[1－(b%)n]万元 D．a(1－b%)n万元 答案：D 解析：1年后价值为a(1－b%)万元，2年后价值为a(1－b%)2万元，…，n年后价值为a(1－b%)n万元．故选D. (2)某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以a%的增长率生长．若经过4周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过6周，该植物的长度大约是原来的(　　) A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 答案：C 解析：设植物原来的长度为m，经过4周后，该植物的长度为原来的倍，即m(1＋a%)4＝m，即(1＋a%)4＝，即1＋a%＝，再过6周后，该植物的长度为m(1＋a%)10＝m×10＝m×＝m××＝m.因此，再经过6周，该植物的长度大约是原来的倍．故选C. 1．给出下列函数，其中为指数函数的是(　　) A．y＝x4 B．y＝xx C．y＝πx D．y＝－4x 答案：C 解析：因为指数函数的形式为y＝ax(a>0，且a≠1)，所以y＝πx是指数函数．故选C. 2．若指数函数f(x)的图象过点(3，8)，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x C．f(x)＝ D．f(x)＝x 答案：B 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则由f(3)＝8，得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x.故选B. 3．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　) A．y＝0.9576 B．y＝0.9576100x C．y＝ D．y＝1－0.0424 答案：A 解析：设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%＝1×(1－t%)100，则1－t%＝0.9576，故x年后的剩留量为y＝0.9576. 4．若函数f(x)＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a＝________． 答案：3 解析：由f(x)＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，可得解得a＝3. 5．已知函数f(x)为指数函数，且f＝，则f(－2)＝________． 答案： 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f＝a＝，即a＝3，∴a＝3，∴f(x)＝3x，∴f(－2)＝3－2＝. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 指数函数的判断 指数型函数的应用——分段函数求值 指数函数的概念 指数型函数解析式的应用 指数函数解析式的求解及求值 指数函数解析式的求解及求值 指数函数解析式的应用 指数函数解析式的应用 指数函数的概念及应用——求参数值及函数值 指数函数解析式的应用 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 指数增长型函数的实际应用 待定系数法求指数函数的解析式；比较指数函数值的大小 指数型函数解析式的求解及求值 指数型函数的应用——求参数值 指数函数解析式的应用 指数衰减型函数的实际应用 指数型函数的应用——整体代换法求函数值 一次函数、指数增长型函数的实际应用 指数型函数解析式的应用 一、单项选择题 1．给出下列函数： ①y＝4x＋1；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝－6x；⑤y＝(－2)x. 其中指数函数的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函数叫指数函数，由定义知只有y＝3x是指数函数．故选B. 2．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝(　　) A．2 B. C．0 D. 答案：B 解析：f(－1)＝2－1＝，f(f(－1))＝f＝3＝.故选B. 3．若函数y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1)∪(1，＋∞) B．[0，1)∪(1，＋∞) C.∪(1，＋∞) D. 答案：C 解析：因为函数y＝(2a－1)x是指数函数，所以解得a>且a≠1.故选C. 4．已知集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是(　　) A．y＝2x B．y＝x＋2 C．y＝2|x| D．y＝2x 答案：C 解析：对于A，集合M中的元素－1在集合N中没有元素与之对应，A不符合题意；对于B，集合M中的元素1在集合N中没有元素与之对应，B不符合题意；对于C，集合M中的每个元素，按照y＝2|x|的对应关系，在集合N中都有唯一的元素与之对应，C符合题意；对于D，集合M中的元素－1在集合N中没有元素与之对应，D不符合题意．故选C. 5．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，若f＝，则f(2)＝(　　) A. B. C．10 D．100 答案：A 解析：依题意，由f＝，得a＝，所以f(2)＝a2＝(a)4＝＝.故选A. 6．已知指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点，则＝(　　) A. B. C．2 D．4 答案：A 解析：由指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点，得解得a＝b＝2，所以＝＝.故选A. 7．已知f(x)＝3x，g(x)＝9x，若f(a)g(b)＝，则下列各式正确的是(　　) A．a＋b＝－1 B．a＋b＝1 C．a＋2b＝－1 D．a＋2b＝1 答案：C 解析：由3a·9b＝，得3a·32b＝3－1，即3a＋2b＝3－1，所以a＋2b＝－1.故选C. 8．下列函数中，满足f(x＋1)＝f(x)的是(　　) A．f(x)＝4x B．f(x)＝4－x C．f(x)＝2x D．f(x)＝2－x 答案：D 解析：对于A，f(x＋1)＝4x＋1＝4×4x＝4f(x)，A不符合题意；对于B，f(x＋1)＝4－(x＋1)＝×4－x＝f(x)，B不符合题意；对于C，f(x＋1)＝2x＋1＝2×2x＝2f(x)，C不符合题意；对于D，f(x＋1)＝2－(x＋1)＝×2－x＝f(x)，D符合题意．故选D. 二、多项选择题 9．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则下列结论正确的是(　　) A．a＝8 B．f(0)＝－3 C．f＝2 D．f(2)＝16 答案：AC 解析：由题意知a－3＝1，所以a＝8，所以f(x)＝8x，f(0)＝1，f＝8＝2，f(2)＝82＝64.故选AC. 10．设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f＝f(x)－f(y) D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) 答案：ABD 解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D正确．故选ABD. 11．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．本金为a(单位：元)，每期利率为r，本利和为y(单位：元)，存期数为x，则下列命题是真命题的是(参考数据：1.02253≈1.069，1.02254≈1.093)(　　) A．本利和y关于存期数x的函数解析式为y＝a(1＋r)x B．本利和y关于存期数x的函数解析式为y＝a(1＋r)x－1 C．若存入本金1000元，每期利率为2.25%，则1期后的本利和为1022.5元 D．若存入本金1000元，每期利率为2.25%，则4期后的本利和约为1069元 答案：AC 解析：本利和y关于存期数x的函数解析式为y＝a(1＋r)x，A正确，B错误；若存入本金1000元，每期利率为2.25%，则1期后的本利和为1000×(1＋2.25%)＝1022.5元，C正确；4期后的本利和为1000×(1＋2.25%)4≈1093元，D错误．故选AC. 三、填空题 12．已知函数f(x)是指数函数，若＝4，则f(－2)________f(－3)．(选填“>”“<”或“＝”) 答案：< 解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．∵＝4，∴＝4，解得a＝，∴f(x)＝，∴f(－2)＝＝4，f(－3)＝＝8，故f(－2)<f(－3)． 13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，4)，(0，3)，则函数f(x)的解析式为________，f(－2)f(2)＝________． 答案：f(x)＝＋2　 解析：由已知，得解得所以f(x)＝＋2.f(－2)f(2)＝×＝. 14．已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝2，则a的值为________． 答案： 解析：当a<1时，f(1－a)＝41－a＝2，解得a＝；当a>1时，f(1－a)＝2a－1＋a＝2，解得a＝1(舍去)．综上，a的值为. 15．已知函数y＝f(x)，x∈R，且f(0)＝1，＝2，＝2，＝2，…，＝2，n∈N*，则y＝f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝4x B．f(x)＝2x C．f(x)＝4x－1 D．f(x)＝2x－1 答案：B 解析：因为f(0)＝1，故排除C，D；又＝2，排除A；经验证，f(x)＝2x满足题中条件．故选B. 16．(多选)氡(Radon)又名氭，是一种化学元素，符号是Rn.氡元素对应的单质是氡气，为无色、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是3.82天，经x天衰变后变为原来的ax(a>0，且a≠1)，取0.8347.64＝，则(　　) A．经过7.64天以后，氡元素会全部消失 B．经过15.28天以后，氡元素变为原来的 C．a＝0.834 D．经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的 答案：BC 解析：对于A，因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，所以经过7.64＝2×3.82天以后，氡元素变为原来的＝，A错误；对于B，因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，所以经过4×3.82＝15.28天以后，氡元素变为原来的＝，B正确；对于C，因为放射性元素氡的半衰期是3.82天，所以a3.82＝，因为0.8347.64＝(0.8343.82)2＝，所以0.8343.82＝，所以a＝0.834，C正确；对于D，经过3.82天以后剩下的氡元素为原来的，经过7.64天以后剩下的氡元素为原来的，故经过3.82天以后剩下的氡元素是经过7.64天以后剩下的氡元素的2倍，D错误．故选BC. 17．已知f(x)＝2x＋，若f(a)＝7，则f(2a)＝________． 答案：47 解析：因为f(x)＝2x＋，f(a)＝7，则f(a)＝2a＋＝7，所以f(2a)＝22a＋＝(2a)2＋＝－2＝47. 18．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，那么该年5月份哪个食堂的营业额较高？ 解：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x. 由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8， 则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a， 乙食堂的营业额 y2＝m(1＋x)4＝， 因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0， 所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高． 19．已知f(x)＝，a是大于0的常数． (1)求f(x)＋f(1－x)的值； (2)利用(1)的结论求f＋f＋…＋f的值． 解：(1)∵f(x)＝， ∴f(1－x)＝＝＝， ∴f(x)＋f(1－x)＝1. (2)由(1)知f(x)＋f(1－x)＝1， ∴f＋f＋…＋f ＝＋＋…＋ ＝50×1＝50. 2 学科网（北京）股份有限公司 $