第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

该高中数学单元学案以不等式的性质、求解、最值及应用为核心，通过基础题（50%）、中档题（40%）、拔高题（10%）的梯度设计，覆盖不等式判断、一元二次不等式求解、基本不等式应用等知识点，构建从单一知识到综合运用的连贯学习路径。 亮点在于结合实际情境任务，如“铁丝切割制作直角三角形框架”的基本不等式应用，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力，通过恒成立问题、有解问题的逻辑推理，发展数学思维。题目分类明确且解析详尽，为教师实施针对性复习教学和学生深度学习提供有力支持。

数学 必修 第一册 RJA 第二章　单元质量测评 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 对点 不等式的性质——判断命题的真假 不含参数的一元二次不等式的求解 利用基本不等式的变形求最值 已知一元二次不等式的解集求参数 常数代换法求最值 基本不等式的实际应用 一元二次不等式恒成立问题 基本不等式中的有解问题 利用不等式的性质比较大小 消元法、常数代换法求最值 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★★ ★ ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 对点 新定义背景下基本不等式等号成立的条件；一元二次不等式的求解 简单分式不等式的求解 基本不等式中的恒成立问题 基本不等式等号成立的条件；二次函数求最值 构造多个基本不等式证明不等式 已知一元二次不等式的解集求参数；基本不等式中的恒成立问题 基本不等式和一元 二次不等 式的实际 应用　　 分式不等式的求解；基本不等式求最值(换元法) 一元二次不等式与集合、充分必要条件相结合；一元二次方程根的分布问题 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列命题中正确的是(　　) A．若ab>0，a>b，则< B．若a>b，则a|c|>b|c| C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若a>b，c<d，则> 答案：A 解析：∵ab>0，a>b，∴a·>b·，∴>，故A正确；取c＝0，可排除B，D；取a＝2，b＝1，c＝0，d＝－2，满足a>b，c>d，但a－c<b－d，故排除C.故选A. 2．不等式－x2＋3x－2>0的解集是(　　) A．{x|x<1} B．{x|x>2} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1，或x>2} 答案：C 解析：不等式－x2＋3x－2>0，即x2－3x＋2<0，即(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2.故选C. 3．已知a>0，b>0，且满足ab＝a＋b，则a＋b的最小值是(　　) A．2 B．4 C．3 D．6 答案：B 解析：a>0，b>0，故ab≤，即a＋b≤，可得a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，则a＋b的最小值为4.故选B. 4．若关于x的不等式x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥1}，则ab＝(　　) A．12 B．－12 C．6 D．－6 答案：D 解析：∵不等式x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤－3，或x≥1}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根分别为x1＝－3，x2＝1.由根与系数的关系可得a＝－(x1＋x2)＝2，b＝x1x2＝－3，∴ab＝－6.故选D. 5．若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　) A．1＋ B.＋ C．2＋ D. 答案：B 解析：∵正数m，n满足2m＋n＝1，∴＋＝(2m＋n)＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当n＝m＝－1时，等号成立，∴＋的最小值为＋. 6．将一根铁丝切割成三段，做成一个面积为4 m2、形状为直角三角形的工艺品框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合适(够用且浪费最少)的是(注：≈1.414)(　　) A．9 m B．9.5 m C．10 m D．10.5 m 答案：C 解析：由题意，设直角三角形的两条直角边长分别为x，y(x>0，y>0)，则S＝xy＝4，则xy＝8，此时三角形框架的周长L＝x＋y＋≥2＋＝4＋4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，由于≈1.414，所以4＋4≈4×1.414＋4＝9.656.故选C. 7．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－1<a<1} B．{a|0<a<2} C. D. 答案：C 解析：因为(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，则(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，解得－<a<.故选C. 8．若两个正实数x，y满足＋＝2，且存在这样的x，y使不等式x＋2y<m2－3m＋5有解，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|1<m<2} B.{m|－2<m<－1} C．{m|m<1，或m>2} D.{m|m<－2，或m>－1} 答案：C 解析：由＋＝2，得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋，又x，y均为正实数，所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，所以(x＋2y)min＝3，因为存在x，y使不等式x＋2y<m2－3m＋5有解，所以m2－3m＋5>3，即m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2，所以实数m的取值范围是{m|m<1，或m>2}．故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A.< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．a2>b2 答案：AC 解析：由<<0，得b<a<0.对于A，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0，所以<成立，所以A正确；对于B，因为b<a<0，所以－b>－a>0，则－b>|a|，即|a|＋b<0，所以B错误；对于C，因为b<a<0，且<<0，则－>－>0，所以a－>b－，所以C正确；对于D，因为b<a<0，所以b2>a2，所以D错误．故选AC. 10．已知正实数x，y满足x＋＝4，下列说法正确的是(　　) A.的最大值是2 B．x－y的最大值是1 C．xy的最小值是2 D.＋y的最小值是2 答案：AD 解析：∵x>0，y>0，x＋＝4，∴4－>0，解得y>，∴0<x<4.对于A，x＋≥2，即4≥2，解得≤2(当且仅当x＝2，y＝1时取得最大值2)，A正确；对于B，x－y＝4－－y＝4－≤4－2(当且仅当y＝，x＝4－时取得最大值4－2)，B错误；对于C，xy＝y＝4y－2>4×－2＝0，C错误；对于D，＋y＝×＝≥2(当且仅当x＝2，y＝1时取得最小值2)，D正确．故选AD. 11．以数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名的“高斯函数”为y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.5]＝－2，则(　　) A．∀x∈R，[x＋1]＝[x]＋1 B．当|x|≥1时，[|x|]＋的最小值为2 C．不等式[x]2－[x]<6的解集为{x|－1≤x<3} D．方程x2＝4[x]＋3的解集为{，} 答案：ACD 解析：对于A，设x的整数部分为a，小数部分为b，则[x]＝a，[x＋1]＝a＋1，得[x＋1]＝[x]＋1，故A正确．对于B，当|x|≥1时，[|x|]≥1，[|x|]＋≥2＝2，当且仅当[|x|]＝，即[|x|]＝时，等号成立，这与[|x|]∈N＋矛盾，故B错误．对于C，由[x]2－[x]<6，解得－2<[x]<3，则－1≤x<3，故C正确．对于D，由x2＝4[x]＋3知，x2为整数且4[x]＋3≥0，解得[x]≥－，可知[x]≥0，可得x≥0，因为[x]2≤x2<([x]＋1)2，即[x]2≤4[x]＋3<([x]＋1)2，由[x]2≤4[x]＋3，解得2－≤[x]≤2＋≈4.6，可得0≤[x]≤4；由4[x]＋3<([x]＋1)2，解得[x]>1＋或[x]<1－(舍去)，可知3≤[x]≤4，即[x]＝3或[x]＝4.综上所述，[x]＝3或[x]＝4.当[x]＝3时，x2＝4×3＋3＝15，可得x＝；当[x]＝4时，x2＝4×4＋3＝19，可得x＝.所以方程x2＝4[x]＋3的解集为{，}，故D正确．故选ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．不等式≤1的解集是________． 答案：{x|1<x≤6} 解析：由≤1，得≤0，故解得1<x≤6. 13．若不等式≥a对x<2恒成立，则a的最大值是________． 答案：2 解析：∵x<2，∴＝＝(2－x)＋≥2(当且仅当x＝1时，等号成立)，∵≥a对x<2恒成立，∴a≤2，即a的最大值为2. 14．已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝________时，＋＋取得最小值________． 答案：　6 解析：依题意，1＋2xy＝4x2＋y2≥4xy，即xy≤，当且仅当x＝＝时，等号成立，所以＋＋≥2＋＝＋2＝－2≥(＋)2－2＝6，当且仅当x＝＝时，等号成立． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：＋＋<＋＋. 证明：证法一：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋. 故原不等式成立． 证法二：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1， ∴＋＋＝bc＋ca＋ab＝＋＋>＋＋＝＋＋. 故原不等式成立． 16．(本小题满分15分)已知关于x的不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}． (1)求a，b的值； (2)当x>0，y>0，且满足＋＝1时，有2x＋y≥k2－1恒成立，求k的取值范围． 解：(1)解法一：因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}， 所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0， 所以解得 解法二：因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}， 所以1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0， 由1是ax2－3x＋2＝0的根，有a－3＋2＝0⇒a＝1， 将a＝1代入ax2－3x＋2>0， 得x2－3x＋2>0⇒x<1或x>2， 所以b＝2. (2)由(1)知a＝1，b＝2，于是有＋＝1， 又x>0，y>0， 故2x＋y＝(2x＋y)＝4＋＋≥8， 当且仅当时，等号成立，依题意得(2x＋y)min≥k2－1，即8≥k2－1，得k2≤9⇒－3≤k≤3， 所以k的取值范围为{k|－3≤k≤3}． 17．(本小题满分15分)据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本(单位：万元)由两部分构成：①固定成本(与生产产品的数量无关)：20万元；②生产所需材料成本：万元，x(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量x为何值时，平均每万套的成本最低？一万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产x万套产品，每万套售价为万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元？ 解：(1)设平均每万套的成本为y万元， 由题意，得y＝＝＋＋10≥2＋10＝12， 当且仅当＝，即x＝20时，等号成立， 所以该企业每月的产量为20万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为12万元． (2)设月利润为P万元， 则P＝x－10x－－20＝＋20x－20， 由题知＋20x－20≥625， 整理，得x2＋400x－430×30≥0，解得x≥30， 所以该企业每月生产不少于30万套产品，才能确保该制冷杯每月的利润不低于625万元． 18．(本小题满分17分)已知y＝(x≠a，a为非零常数)． (1)解不等式<x； (2)若x>a时，y＝有最小值6，求a的值． 解：(1)由<x，整理，得(ax＋3)(x－a)<0. 当a>0时，(x－a)<0， 所求不等式的解集为； 当a<0时，(x－a)>0， 所求不等式的解集为. (2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)， 所以y＝＝t＋＋2a≥2＋2a＝2＋2a. 当且仅当t＝，即t＝时，等号成立，即y有最小值2＋2a. 依题意有2＋2a＝6， 解得a＝1. 19．(本小题满分17分)已知y＝x2－2ax＋a. (1)设a>0，若关于x的不等式y<3a2＋a的解集为A，B＝{x|－1≤x≤2}，且x∈A的充分不必要条件是x∈B，求实数a的取值范围； (2)方程y＝0有两个实数根x1，x2， ①若x1，x2均大于0，求实数a的取值范围； ②若x＋x＝6x1x2－3，求实数a的值． 解：(1)由y<3a2＋a，得x2－2ax＋a<3a2＋a， 即x2－2ax－3a2<0，即(x－3a)(x＋a)<0， 又a>0，∴－a<x<3a， 即A＝{x|－a<x<3a}， ∵x∈A的充分不必要条件是x∈B， ∴B是A的真子集， 则解得得a>1， 即实数a的取值范围是{a|a>1}． (2)方程为y＝x2－2ax＋a＝0， ①若x1，x2均大于0， 则满足解得 故a≥1， 即实数a的取值范围为{a|a≥1}． ②若x＋x＝6x1x2－3， 则(x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2－3， 则(x1＋x2)2－8x1x2＋3＝0， 即4a2－8a＋3＝0，即(2a－1)(2a－3)＝0， 解得a＝或a＝，由Δ≥0，得a≥1或a≤0， ∴a＝，即实数a的值是. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1 学科网（北京）股份有限公司 $