第1章 集合与常用逻辑用语 单元质量测评-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教A版）

数学 必修 第一册 RJA 第一章　单元质量测评 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 求交集 全称量词命题的否定 充分不必要条件的判断 并集、补集的混合运算 由命题的真假性求参数范围 由集合间的关系求参数范围 集合间的关系及运算 充要条件的判断 交集、并集、补集的混合运算 含有量词的命题的否定；充要条件的判断 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 新定义为背景解决集合问题 由并集求参数范围 充分条件、必要条件的判断 Venn图的实际应用 全称量词命题、存在量词命题的识别及真假判断 交集运算；由必要不充分条件求参数范围 由交集、并集求参数值或范围 探求充要条件 集合中的新定义及创新型问题 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合M＝{0，2，4，6，8}，N＝{x∈N＋|0≤x<6}，则M∩N＝(　　) A．{0，2，4} B．{0，2} C．{2，4} D．{2} 答案：C 解析：由题意可知，N＝{1，2，3，4，5}，所以M∩N＝{2，4}．故选C. 2．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 答案：C 解析：“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”． 3．“x＝1”是“x2＋x－2＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由x2＋x－2＝0，得x＝－2或x＝1，所以“x＝1”是“x2＋x－2＝0”的充分不必要条件．故选A. 4．设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 5．已知“∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x”为真命题，“∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x”为真命题，那么p，q的取值范围分别为(　　) A．{p|p>0}，{q|q>0} B．{p|p>0}，{q|q>2} C．{p|p>2}，{q|q>0} D．{p|p>2}，{q|q>2} 答案：C 解析：“∀x∈{x|0≤x≤2}，p>x”为真命题，则p>2，“∃x∈{x|0≤x≤2}，q>x”为真命题，则q>0.故选C. 6．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为(　　) A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7} C．{a|a≤7} D．∅ 答案：C 解析：当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝∅⊆B；当3a－5≥2a＋1，即a≥6时，A≠∅，如图，要使A⊆B，需有解得2≤a≤7，所以6≤a≤7.综上所述，a≤7. 7．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，则满足条件的集合C的个数为(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 答案：B 解析：因为A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，则集合B的子集共有24＝16个，又因为集合C满足A∩C≠∅且C⊆B，可知C≠∅且C≠{4}，{5}，{4，5}，所以满足条件的集合C的个数为16－4＝12.故选B. 8．已知△ABC的边长为a，b，c，定义它的等腰判别式为D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}，则“D＝0”是“△ABC为等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：充分性：若D＝0，设c≥b≥a，则D＝max{a－b，b－c，c－a}＋min{a－b，b－c，c－a}＝c－a＋b－c＝0或c－a＋a－b＝0，所以a＝b或b＝c，则△ABC一定为等腰三角形，所以充分性成立．必要性：若△ABC为等腰三角形，设a＝b，当c≠a时，则b－c与c－a中必然有一个为最大值，另一个为最小值，则D＝b－c＋c－a＝b－a＝0；当c＝a时，D＝0＋0＝0，所以必要性成立．故选C. 二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩(∁RB)＝ C．A∪B＝ D．(∁RA)∪B＝R 答案：AB 解析：因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝，所以A∩B＝，A∩(∁RB)＝，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝.故选AB. 10．下列说法正确的是(　　) A．“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件 B．若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则綈p：某班至少有一个女生爱踢足球 C．“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等” D．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的充要条件 答案：AD 解析：对于A，“a2＋a≠0”⇔“a≠－1，且a≠0”，“a≠0” “a≠－1，且a≠0”，“a≠－1，且a≠0”⇒“a≠0”，所以“a≠0”是“a2＋a≠0”的必要不充分条件，所以A正确；对于B，若命题p：某班所有男生都爱踢足球，则綈p：某班至少有一个男生不爱踢足球，所以B错误；对于C，“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形，其对角线不相等”，所以C错误； 对于D，当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示，显然交y轴于负半轴，交x轴于正半轴．当一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，即x＝0时，y＝b－5<0，所以b<5.当y＝0时，x＝>0，因为b<5，所以k>4，所以D正确．故选AD. 11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　) A．当x＝，y＝时，z＝1 B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)有四个式子 C．A⊗B中有4个元素 D．A⊗B的真子集有7个 答案：BD 解析：当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，A错误；由于A＝{，}，B＝{1，}，则z有(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，B正确；由集合中元素的互异性，得集合A⊗B中有3个元素，C错误；集合A⊗B的真子集个数为23－1＝7，D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．设集合S＝{x|x>3，或x<－2}，T＝{x|a<x<a＋6}，S∪T＝R，则a的取值范围是________． 答案：{a|－3<a<－2} 解析：借助数轴可知解得－3<a<－2. 13．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空： (1)“a，b都为0”的必要条件是________； (2)“a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________． 答案：(1)①②③　(2)④　(3)① 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或④ab>0⇔或则a，b都不为0. 14．高一某班共有54名学生，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门学科中选择三门进行学习．已知选择物理、化学、生物的各有至少25人，这三门学科都不选择的有8人，这三门学科都选择的有8人，三门学科中任选两门的均至少有15人．三门学科中只选物理与只选化学的均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选择生物的学生至多有________人． 答案：9 解析：把54名学生看成全集U，选择物理的人组成集合A，选择化学的人组成集合B，选择生物的人组成集合C，选择物理与化学但未选择生物的人组成集合D.要使选择物理与化学但未选择生物的学生人数最多，因为这三门学科都不选择的有8人，这三门学科都选择的有8人，所以其他区域人数均为最少，即只选择物理与只选择化学的均有6人，选择生物的有25人，如图，得该班选择物理与化学但未选择生物的学生至多有54－(8＋6＋7＋8＋6＋7＋3)＝9(人)． 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分13分)指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)存在一组m，n的值，使m－n＝1； (4)至少有一个集合A，满足A{1，2，3}． 解：(1)是全称量词命题．因为对任意自然数x，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是存在量词命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立， 所以该命题是真命题． (4)是存在量词命题，存在A＝{3}，使A{1，2，3}成立，所以该命题是真命题． 16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x≤m－1，或x≥m＋1}． (1)当m＝0时，求A∩B； (2)若p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，且q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝0时，B＝{x|x≤－1，或x≥1}， 又A＝{x|－1<x<3}， 所以A∩B＝{x|1≤x<3}． (2)因为p：－1<x<3，q：x≤m－1或x≥m＋1，q是p的必要不充分条件，所以m－1≥3或m＋1≤－1，所以m≤－2或m≥4. 所以实数m的取值范围是{m|m≤－2，或m≥4}． 17．(本小题满分15分)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围． 解：由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2， 故集合A＝{1，2}． (1)∵A∩B＝{2}， ∴2∈B，将x＝2代入B中的方程，得 a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3. 当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件； 当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，实数a的值为－1或－3. (2)对于集合B中的方程，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)． ∵A∪B＝A，∴B⊆A. 当Δ<0，即a<－3时，B＝∅，满足条件； 当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件； 当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系， 得⇒矛盾． 综上，实数a的取值范围是{a|a≤－3}． 18．(本小题满分17分)已知两个关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0和x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，其中m∈Z，求这两个方程的根均为整数的充要条件． 解：∵mx2－4x＋4＝0是一元二次方程， ∴m≠0. 又另一方程为x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，且两方程都有实根， ∴ 解得－≤m≤1. ∵两方程的根都是整数， ∴ ∴4能被m整除． 又－≤m≤1，m≠0，m∈Z，∴m＝－1或1. 当m＝－1时，第一个方程x2＋4x－4＝0的根不是整数； 当m＝1时，两方程的根均为整数． 又以上过程均可逆， ∴这两个方程的根均为整数的充要条件是m＝1. 19．(本小题满分17分)已知集合Mn＝{1，2，…，2n}(n∈N，n≥4)，若数组An＝(a1，a2，…，an)，Bn＝(b1，b2，…，bn)满足：①{a1，a2，…，an}∪{b1，b2，…，bn}＝Mn；②ai－bi＝i(i＝1，2，…，n)．则称集合Mn为“漂亮集合”，并称(An，Bn)为Mn的“配对数组”． (1)已知A4＝(8，a，b，6)，B4＝(7，c，1，2)，若(A4，B4)是M4的一个“配对数组”，写出a，b，c的值； (2)判断M6是否是“漂亮集合”，并证明你的结论； (3)若集合Mn是“漂亮集合”，证明：集合Mn的“配对数组”为偶数个． 解：(1)根据条件②，得8－7＝1，a－c＝2，b－1＝3，6－2＝4，所以b＝4， 根据条件①，得a，c∈{3，5}， 由a－c＝2，得a＝5，c＝3. 综上所述，a＝5，b＝4，c＝3. (2)M6＝{1，2，3，…，12}，若M6是“漂亮集合”， 则M6的任意一个配对数组(A6，B6)的所有元素之和为a1＋a2＋…＋a6＋b1＋b2＋…＋b6＝1＋2＋3＋…＋12＝78， 又(a1－b1)＋(a2－b2)＋…＋(a6－b6)＝1＋2＋…＋6＝21， 解法一：将上述两式相加，得2(a1＋a2＋…＋a6)＝99， 所以a1＋a2＋…＋a6＝，与a1＋a2＋…＋a6∈N＋矛盾， 所以M6不是“漂亮集合”． 解法二：将上述两式相减，得2(b1＋b2＋…＋b6)＝57， 所以b1＋b2＋…＋b6＝，与b1＋b2＋…＋b6∈N＋矛盾， 所以M6不是“漂亮集合”． (3)证法一：假设An＝(a1，a2，…，an)，Bn＝(b1，b2，…，bn)是Mn的一个“配对数组”， 设ci＝(2n＋1)－ai，di＝(2n＋1)－bi，定义A′n＝(d1，d2，…，dn)，B′n＝(c1，c2，…，cn)， 由于(An，Bn)满足条件①，所以(A′n，B′n)也满足条件①. 又因为对于i＝1，2，…，n，di－ci＝[(2n＋1)－bi]－[(2n＋1)－ai]＝ai－bi＝i， 所以(A′n，B′n)也满足条件②. 因此(A′n，B′n)也是“配对数组”． 这样，对Mn的每一个“配对数组”(An，Bn)，通过上述操作，总可以找到另一个“配对数组”(A′n，B′n)与之对应． 下面证明这种对应是唯一的： 一方面，因为(2n＋1)－(2n＋1－ai)＝ai，(2n＋1)－(2n＋1－bi)＝bi(i＝1，2，…，n)， 所以(A″n，B″n)＝(An，Bn)； 另一方面，假设2n＋1－b2＝a2， 因为a2－b2＝2， 所以2n＋1－b2＝2＋b2，所以b2＝， 与b2∈Mn矛盾，所以(A′n，B′n)与(An，Bn)是不同的数组． 所以(An，Bn)与(A′n，B′n)产生了一一对应关系． 故集合Mn的“配对数组”为偶数个． 证法二：由题设，对集合Mn的任意一个“配对数组”(An，Bn)，作(An，Bn)的对偶数组(A′n，B′n)， 其中A′n＝(d1，d2，…，dn)，B′n＝(c1，c2，…，cn)，且di＝2n＋1－bi，ci＝2n＋1－ai，显然(A′n，B′n)也是Mn的一个“配对数组”，且如果An≠Bn，则A′n≠B′n. 再证An≠A′n.事实上，假如An＝A′n，则由a2＝d2＝2n＋1－b2＝2n＋3－a2，从而可得a2＝n＋，矛盾．从而Mn的所有“配对数组”可分成若干个对偶组，每组两个． 因此，集合Mn的“配对数组”为偶数个． 10 学科网（北京）股份有限公司 $