第7章 1.4 随机事件的运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 1.4　随机事件的运算 (教师独具内容) 课程标准：1.理解并掌握随机事件的运算及事件的关系.2.能够将随机事件的运算关系知识灵活运用到实际事件中． 教学重点：1.结合“集合”知识对比学习随机事件的运算及关系.2.随机事件运算关系的实际含义． 教学难点：随机事件运算关系的应用． 知识点一　交事件与并事件 1．一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．事件A∩B是由事件A和事件B所共有的样本点构成的集合． 2．一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．事件A与事件B的并事件是由事件A或事件B所包含的样本点构成的集合． 知识点二　互斥事件与对立事件 1．一般地，不能同时发生的两个事件A与B(A∩B＝∅)称为互斥事件． 2．若A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，则称事件A与事件B互为对立事件．事件A的对立事件记作． 对互斥事件与对立事件的理解 (1)事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不可能同时发生，A与B发生与否有三种可能：A发生，B不发生；A不发生，B发生；A不发生，B不发生．即A与B两个事件同时发生的概率为0. (2)两个事件互斥的定义可以推广到n个事件中，如果事件A1，A2，A3，…，An中的任意两个事件互斥，就称事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥． (3)若事件A，B为对立事件，则在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中一个，并且必然发生其中之一． (4)若两个事件对立，那么这两个事件一定是互斥事件．若两个事件是互斥事件，那么这两个事件不一定是对立事件． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(　　) (2)设M，N是两个随机事件，若M∪N＝Ω，则事件M与事件N不会同时发生．(　　) (3)设A，B是两个随机事件，若A，B为互斥事件，则∪为必然事件．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)把红、黑、白、蓝四张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁四个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　) A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上均不对 (2)从1，2，3，…，9中任取两数，给出下列事件：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．其中是对立事件的是(　　) A．① B．②④ C．③ D．①③ 答案：(1)C　(2)C 题型一　事件的运算 　袋子里有6个红球，4个白球，现从中取3个球，设事件A＝{1红2白}，B＝{2红1白}，C＝{都是红球}，D＝{至少有一个白球}，E＝{至少有一个红球}． (1)事件A∩B，A∪B，D∪E分别指什么事件？ (2)事件E与A，B，C是什么样的运算关系？D∩E指什么事件？ [解]　(1)A∩B＝∅，事件A与B不可能同时发生，事件A∩B是不可能事件；事件A∪B表示“3个球中有红球也有白球”；D∪E＝Ω，事件D∪E是必然事件． (2)对于事件E，可能的结果为1红2白，2红1白或都是红球，故E＝A∪B∪C.对于事件D，可能的结果为1红2白，2红1白或都是白球，故D∩E＝A∪B，即事件“3个球中有红球也有白球”． 【感悟提升】　事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 【跟踪训练】 1．在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)D2∩D3，D2∩F，F∩G分别表示什么事件？ (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． 解：(1)D2∩D3＝{出现的点数大于3且小于5}＝{出现4点}＝C4. D2∩F＝{出现4点，出现6点}＝C4∪C6. F∩G＝∅，是不可能事件． (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4∪C5∪C6. 同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5. 题型二　事件的关系 　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．事件A，B，C，D分别表示取到红桃、黑桃、方块、梅花．ai，bi，ci，di分别表示红桃i、黑桃i、方块i、梅花i.判断下列事件是否为互斥事件，是否为对立事件． (1)事件A与B； (2)A∪C与B∪D； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． [解]　(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 理由是：A∪C表示“抽出红色牌”，B∪D表示“抽出黑色牌”，从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 理由是：设事件E为“抽出的牌点数为5的倍数”，事件F为“抽出的牌点数大于9”． 则E＝{a5，b5，c5，d5，a10，b10，c10，d10}，F＝{a10，b10，c10，d10}， 故E∩F＝F，所以事件E与F能同时发生，不互斥，更不对立． 【感悟提升】　互斥事件与对立事件间的关系 互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的．一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥． 【跟踪训练】 2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是(　　) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球 答案：D 解析：根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件． 1．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 答案：B 解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品． 2．从1，2，3，…，9中有放回地任取两数，其中：①恰有一个3的倍数和恰有一个5的倍数；②至少有一个3的倍数和两个都是5的倍数；③两个都是3的倍数和两个都是5的倍数；④两个都是3的倍数和两个都是6的倍数．则互斥事件的组数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：若两数为3，5，则①中的两个事件同时发生，所以它们不互斥；若两个都是5的倍数，则两数为5，它们都不是3的倍数，所以②是互斥事件，③也是互斥事件；④中的两事件可以同时发生，不是互斥事件． 3．(多选)已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　) A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥事件 D．全是红球与只有一个红球是互斥事件 答案：BD 解析：从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是一个没有，所以没有白球与至少有一个白球是对立事件，B正确；全是红球与只有一个红球是互斥事件，D正确．故选BD. 4．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示： (1)密码被破译； (2)至少有一人破译； (3)至多有一人破译； (4)恰有一人破译； (5)只有甲破译； (6)密码未被破译． 解：用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码． (1)A∪B∪C.(2)A∪B∪C. (3)A∪B∪C∪. (4)A∪B∪C. (5)A.(6). 5．判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由． 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中： (1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是男生； (4)至少有1名男生和全是女生． 解：(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件． (2)既不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，他们可能同时发生． (3)既不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生． (4)既是互斥事件，又是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他们是对立事件． 课后课时精练 一、选择题 1．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　) A．A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.与一定互斥 D.与不可能互斥 答案：B 解析：用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件，故选B. 2．从高二某班级中抽出三名学生，设事件甲为“三名学生全不是男生”，事件乙为“三名学生全是男生”，事件丙为“三名学生至少有一名是男生”，则(　　) A．甲与丙互斥 B．任何两个均互斥 C．乙与丙互斥 D．任何两个均不互斥 答案：A 解析：不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件，则事件甲“三名学生全不是男生”与事件丙“三名学生至少有一名是男生”为互斥事件，故选A. 3．从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是(　　) A．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 B．至少有一个黄球与都是黄球 C．至少有一个黄球与都是蓝球 D．至少有一个黄球与至少有一个蓝球 答案：A 解析：从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：①3个球全是黄球；②2个黄球和1个蓝球；③1个黄球和2个蓝球；④3个球全是蓝球．对于A，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故A符合题意；对于B，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故B不符合题意；对于C，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故C不符合题意；对于D，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故D不符合题意．故选A. 4．给出以下命题：①将一枚硬币抛掷两次，设事件A为“两次都出现正面”，事件B为“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；②在①中，事件A与事件B是互斥事件；③在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，事件A为“所取3件中最多有2件是次品”，事件B为“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件．其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B 解析：将一枚硬币抛掷两次，除去A，B的结果还可能出现一次正面和一次反面的情况，因此①不正确，②正确．对于③，A与B有可能出现共同结果“1件正品，2件次品”，即A与B不是互斥事件，③不正确． 5．(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A为“两次都击中飞机”，事件B为“两次都没击中飞机”，事件C为“恰有一次击中飞机”，事件D为“至少有一次击中飞机”，下列说法正确的是(　　) A．A∩D＝A B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D 答案：ABC 解析：由于至少有一次击中飞机包括两种情况：两次都击中飞机，只有一次击中飞机，故有A∩D＝A，故A正确；由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B正确；由A∪C＝D成立可得C正确；A∪C＝D为“至少有一次击中飞机”，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确．故选ABC. 二、填空题 6．两个事件互斥是这两个事件对立的________条件． 答案：必要不充分 解析：两个事件互斥不一定对立，但对立一定互斥． 7．某射手进行一次射击，下列事件中互斥事件有________，对立关系的有________． 事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环； 事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6，7，8，9，10环． 答案：A和C，B和C，C和D　C和D 解析：事件A“大于7环”与事件C“小于6环”不同时发生，事件B“10环”与事件C“小于6环”不同时发生，事件C“小于6环”与事件D不同时发生，所以它们互为互斥事件，事件C与事件D只能有一个发生，所以是对立的． 8．掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“大于2的点数出现”，则A∩B表示“________”． 答案：点数4出现 解析：A＝{2，4}，B＝{3，4，5，6}，故A∩B＝{4}，事件A∩B表示“点数4出现”． 三、解答题 9．甲、乙两同学同时解同一道数学题，事件A表示“甲解出此题”，事件B表示“乙解出此题”，回答下列问题． (1)用A，B表示“恰有一人解出此题”； (2)用A，B表示“至少有一人解出此题”； (3)表示什么事件，其对立事件是什么？ 解：(1)B∪A. (2)A∪B或B∪A∪AB. (3)表示两人都没有解出此题，其对立事件为“至少有一人解出此题”． 10．从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件． (1)“取出2个红球、1个白球”与“取出1个红球、2个白球”； (2)“取出2个红球、1个白球”与“取出3个红球”； (3)“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”； (4)“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个红球”． 解：取3球，共有以下4种可能结果：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”． (1)“取出2个红球、1个白球”与“取出1个红球、2个白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件． (2)“取出2个红球、1个白球”与“取出3个红球”不可能同时发生，是互斥事件，但可能同时不发生，故不是对立事件． (3)“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个白球”不可能同时发生，是互斥事件．其中必有一个发生，故是对立事件． (4)“取出3个红球”与“取出的3个球中至少有1个红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件． 11．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件： (1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E. 解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． (2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件． (3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件． (4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． (5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件. 12．从某大学数学系图书室中任选一本书．设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”．问： (1)A∩B∩表示什么事件？ (2)在什么条件下有A∩B∩C＝A? (3)如果＝B，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ 解：(1)A∩B∩表示事件“2000年或2000年前出版的中文版的数学书”． (2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C＝A. (3)是.＝B意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有的中文版的书都不是数学书．同时＝B又可等价成＝A，因而也可解释为：图书室中所有的数学书都不是中文版的，而且所有外文版的书都是数学书． 8 学科网（北京）股份有限公司 $