4.3.3 对数函数y=logax的图象和性质课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第四章 对数运算与对数函数 4.3.3 对数函数的图象和性质 1. 掌握对数函数的图象和性质. 2. 理解反函数的核心概念,能用对数函数的性质解决应用问题. 掌握对数函数的图象和性质. 底数的变化对对数函数图象和性质的影响. 2 上节课,我们研究了的图象和性质: 函数的图象是怎样的,又具有什么性质呢? 函数在定义域上是增函数,且值域为R. 当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0; 当x趋近于正无穷大时,y趋近于正无穷大; 当x趋近于0时,y趋近于负无穷大. 3 画出对数函数的图象,并说出它的性质. 1 2 4 8 2 1 0 -1 -2 -3 方法1 描点法 描点画出函数图象: 列表: x y 方法2 由指数函数的图象得到对数函数的图象 对数函数和指数函数所表示的和这两个变量之间的关系是一样的,在同一系中函数和的图象是一样的(如图(1) (2)). 习惯上用表示自变量,表示函数值,把轴和轴的字母表示互换,就得到的图象(图(3)). 习惯上轴在水平位置,轴在竖直位置,将图象翻转,得到通常的的图象(如图(4)). 1 O 1 O 1 O 1 O (1) (2) (3) (4) 从图象可以看出: 函数的图象位于y轴的右侧; 从靠近y轴最上端的位置逐渐下降,过点( 1,0),继续下降,函数值越来越小,直至无穷小. 函数的性质: 函数在定义域上是减函数,且值域为R. 当0<x<1时, y0;当x>1时, y0; 当x趋近于正无穷大时y趋近于负无穷大;当x趋近于0时y趋近于正无穷大. 更一般地,当时,的图象是什么样的?有怎样的性质呢? 结合上节课所学知识及函数的图象可知当时,的图象如图: 从图象可以看出: 函数的图象位于y轴的右边;从靠近y轴最上端的位置逐渐下降,过点( 1,0),继续下降,函数值越来越小,直至无穷. 当时,函数的性质: 在定义域上是减函数,且值域为R . 当0<x<1时, y0,当x>1时, y0; 当x趋近于正无穷大时, y趋近于负无穷大;当x趋近于0时, y趋近于正无穷大. 上节课研究了的图象和性质,请总结一下,当时,的图象是什么样的?有怎样的性质呢? 由函数的图象可知,当时,的图象如图所示: 从图象可以看出: 函数的图象位于y轴的右边;从靠近y轴最下端的位置逐渐上升,过点( 1,0),继续上升,函数值越来越大,直至无穷. 由此得到当时,函数的性质: 函数在定义域上是增函数,且值域为R . 当0<x<1时, y<0 ;当x>1时, y>0 . 当x趋近于正无穷大时, y趋近于正无穷大;当x趋近于0时, y趋近于负无穷大. 总结出对数函数(a>0,且a≠1)的图象和性质. 图象 性质 (1)定义域:(0,) (2)值域:R (3)过定点:(1,0),即时,0 (4)当时,;当时,. (4)当时,;当时,. (5)在定义域(0,)上是增函数; 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大 (5)在定义域(0,)上是减函数; 当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大; 当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大 对数函数,当时,讨论a的变化对函数图象的影响. 当时,越大,对数函数的图象在向右的方向越接近x轴.当x越趋近于0时,图象越趋近于y轴. 当时,越小,对数函数的图象向右的方向越接近x轴.当x越趋近于0时,图象越趋近于y轴. x x y y 设,且,求下列函数的定义域: (1);(2). 解: (1)为使函数有意义,只需,即,所以函数定义域为; (2)为使函数有意义,只需>0,即,所以定义域为. 对数的真数大于0,底数大于0且不为1. 11 比较下列各题中两个数的大小:(1),;(2),; (3),;(4),. 解 (1)因为2>1,在定义域内递增.由5.3>4.7,得. (2)因为0<0.2<1,在定义域内递减.由7<9,得. (3)因为3>1,在定义域内递增.由,得 同理可得.因此. (4) 对底数分类讨论: 当a>1时,在定义域内递增,此时由3.1<5.2,得 当0<a<l时,在定义域内递减,此时由3.1<5.2,得. 底数相同,真数不同的,可利用函数的单调性比较大小;底数不同的,可以利用特殊值比较大小,底数范围未知的,需要对底数范围进行讨论. 12 若,,则a,b,c的大小关系为 . 解 :因为在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4, 所以>>>,即1>a>0>c. 同理>=1,所以b>a>c. 底数不相同,真数也不相同的几个数,可通过特殊值来比较大小,常用的特殊值是“0”和“1”. 13 若<1,则a的取值范围为_. 解:<1,即<, 当a>1时,在定义域内递增,所以<a>,得到a>1; 当0<a<1时,在定义域内递减,由<,得a<,即0<a<. 综上可知