第4章 对数运算与对数函数 章末总结-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

该高中数学导学案以指数函数、对数函数、幂函数为核心内容，围绕定义域、单调性、图象等关键性质构建学习目标。通过梳理典型问题、归纳方法策略，形成“概念-方法-应用”的递进式学习路径，体现知识建构的系统性与连贯性。 亮点在于问题驱动的分层探究设计，结合“比较对数大小”“复合函数单调性分析”等任务，引导学生运用分类讨论、等价转化思想，发展数学思维与数学语言表达能力。提供“方法归纳-例题解析-思想提炼”的复习链，支持学生深度学习，为教师单元教学提供清晰指导。

数学 必修 第一册(北师) 堵点自记：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．求对数函数的定义域时，注意真数须大于零且底数是一个大于零且不等于1的数，同时根据所有要满足的条件列出不等式组． 2．比较两个对数值的大小的常用方法 (1)底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性； (2)底数不同，真数相同时，用对数函数的图象与底数的关系比较，也可用换底公式转化为同底的问题； (3)底数和真数都不相同时，则寻求中间值进行比较； (4)涉及对数函数的单调性以及函数的取值问题，往往与底数有关，当底数与1的大小关系不确定时，则应注意对底数进行分类讨论． 3．对于复合型对数函数F(x)＝logaf(x)的单调性，一是注意f(x)>0，二是注意F(x)的单调性．当a>1时与f(x)单调性相同，当0<a<1时与f(x)单调性相反． 4．求反函数的步骤 (1)由y＝f(x)解出x＝φ(y)； (2)改写：x，y对换得反函数f－1(x)； (3)注明反函数的定义域． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式时，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 一、指数函数、对数函数、幂函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函数定义域内进行讨论． 1．求定义域 函数y＝的定义域为(　　) A．(3，9] B．(0，27] C．(0，9] D．(－∞，27] [解析]　由题意，得解得0<x≤27. [答案]　B 函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2] C．[－2，2] D．(－1，2] [解析]　要使函数有意义，需 即得x∈(－1，0)∪(0，2]． [答案]　B 2．比较大小问题 比较几个数的大小是指数、对数、幂函数的又一重要应用，其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法． 若0<x<y<1，则(　　) A．3y<3x B．logx3<logy3 C．log4x<log4y D.< [解析]　因为0<x<y<1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x<3y，A错误；对于B，根据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误；对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确；对于D，函数y＝在R上单调递减，故>，D错误． [答案]　C 比较三个数0.32，log20.3，20.3的大小． [解]　解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.3<log21＝0，20.3>20＝1， ∴log20.3<0.32<20.3. 解法二：作出函数y＝x2，y＝log2x，y＝2x的大致图象，如图所示，画出直线x＝0.3，根据直线与三个函数图象的交点位置，即可看出log20.3<0.32<20.3. 3．与指数函数、对数函数相关的单调性问题 是否存在实数a，使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增函数？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，请说明理由． [解]　设g(x)＝ax2－x，假设符合条件的a存在． 当a>1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2，4]上是增函数， 故应满足解得a>， ∴a>1. 当0<a<1时，为使函数f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上是增函数，只需g(x)＝ax2－x在区间[2，4]上是减函数， 故应满足此不等式组无解． 综上可知，当a>1时，f(x)＝loga(ax2－x)在区间[2，4]上为增函数． 二、函数的图象问题 对于给定的函数图象，要能从函数左右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．注意图象与函数解析式中参数的关系，能够通过变换画出函数的图象． 1．图象的变换 为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点(　　) A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [解析]　∵y＝lg ＝lg (x＋3)－1，∴只需将y＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，即可得到函数y＝lg 的图象． [答案]　C 2．根据函数解析式确定图象 已知f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，若f(4)·g(4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　) [解析]　由f(4)·g(4)<0知a2·loga4<0，∴loga4<0，∴0<a<1，∴f(x)和g(x)在(0，＋∞)上都是减函数．故选B. [答案]　B 三、等价转化思想的体现 一般来说，小题对指数函数、对数函数、幂函数的考查，仅限于这三类函数本身的概念、图象与性质．而解答题往往注重考查与这三类函数有关的复合函数的性质．这类题目的解题思想是：通过换元转化成其他函数，或是将其他函数通过转化与化归，变成这三类函数来处理． 已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取最大值时x的值． [解]　∵f(x)＝2＋log3x，x∈[1，9]， ∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋(2＋log3x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6，令t＝log3x， 由题意可得 即1≤x≤3，则t∈[0，1]， ∴y＝t2＋6t＋6＝(t＋3)2－3在[0，1]上单调递增， 当t＝1，即x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13. 5 学科网（北京）股份有限公司 $